GM（1，1）模型在區(qū)域似大地水準(zhǔn)面精化中的應(yīng)用研究

羅文生，倪 津，施 昆，楊建文

（1．昆明理工大學(xué) 國土資源工程學(xué)院，云南 昆明650093；2．云南省測(cè)繪產(chǎn)品檢測(cè)站，云南 昆明650034）

灰色模型是灰色系統(tǒng)理論的一個(gè)重要分支，自鄧聚龍教授首次提出以來，在農(nóng)業(yè)、交通、地質(zhì)、測(cè)繪、金融、生態(tài)等眾多領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用，并取得了豐碩成果，產(chǎn)生了顯著的社會(huì)效益和經(jīng)濟(jì)效益［1－2］。GM（1，1）模型是灰色模型中迄今為止應(yīng)用最廣泛的模型之一，該模型計(jì)算簡便、實(shí)用廣泛，因此在灰色預(yù)測(cè)中占有重要地位［3］。目前國內(nèi)外在精化區(qū)域似大地水準(zhǔn)面的常用方法主要有地球重力場模型法和數(shù)學(xué)模型擬合法。常用的地球重力場模型有EGM96、EGM2008，雖然其分辨率很高，但精度相對(duì)較低，并且相應(yīng)區(qū)域的重力數(shù)據(jù)很難獲取，不能滿足一般工程建設(shè)的實(shí)際需要［4］。數(shù)學(xué)模型擬合法包括曲線擬合法、曲面擬合法、非參數(shù)回歸法等，其對(duì)建模要求較高，并且要根據(jù)區(qū)域地形特征和對(duì)已知點(diǎn)數(shù)量的多少來選擇相適應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，在地形復(fù)雜、控制點(diǎn)稀少的區(qū)域難以建立精確的似大地水準(zhǔn)面模型。在缺少重力數(shù)據(jù)的區(qū)域，GM（1，1）模型建模不像一般的函數(shù)模型那樣，根據(jù)地形特征與已知點(diǎn)數(shù)量的多少?zèng)Q定選擇哪種數(shù)學(xué)模型更好，在已知控制點(diǎn)稀少，不用考慮地形特征的情況下，GM（1，1）模型建模的效果一樣很好。

本文針對(duì)GM（1，1）模型建模只需少量數(shù)據(jù)的優(yōu)勢(shì)，利用該模型來擬合高程異常值序列，并在我國地形復(fù)雜、交通不便、等級(jí)控制點(diǎn)稀少的偏遠(yuǎn)山區(qū)建立了區(qū)域似大地水準(zhǔn)面精化模型，以充分預(yù)測(cè)似大地水準(zhǔn)面的變化趨勢(shì)，為工程建設(shè)提供保障。

1 似大地水準(zhǔn)面精化的原理

近年來，在我國經(jīng)濟(jì)發(fā)達(dá)的中、小城市的地形圖測(cè)繪中，對(duì)厘米級(jí)似大地水準(zhǔn)面的需求十分迫切，因此區(qū)域似大地水準(zhǔn)面精化是一個(gè)國家或地區(qū)建立現(xiàn)代高程基準(zhǔn)的主要任務(wù)之一［5］。在工程實(shí)踐中，利用GPS技術(shù)可以獲取基于WGS－84參考橢球的地面控制點(diǎn)的大地高H，同時(shí)利用常規(guī)的水準(zhǔn)測(cè)量方法可以提取基于我國常用的正常高系統(tǒng)上的正常高h(yuǎn) 由這兩種方式而建立的地面控制點(diǎn)成為GPS水準(zhǔn)點(diǎn)。同一GPS水準(zhǔn)點(diǎn)的大地高和正常高有如下的關(guān)系：

式中ζ稱為高程異常。

通常情況下，可通過離散點(diǎn)的高程異常值建立數(shù)學(xué)模型來擬合區(qū)域似大地水準(zhǔn)面精化模型，從而求解待定點(diǎn)的高程異常值。高精度的區(qū)域似大地水準(zhǔn)面所求取高程異常值結(jié)合GPS定位技術(shù)所獲得大地高可求得正常高。這能夠改變傳統(tǒng)高程測(cè)量作業(yè)模式，以滿足1∶1萬、1∶5000甚至更大比例尺測(cè)圖的迫切需要，加快數(shù)字中國、數(shù)字區(qū)域、數(shù)字城市等的建設(shè)，能夠節(jié)約大量人力、物力，產(chǎn)生巨大的經(jīng)濟(jì)效益，因此具有特別重要的科學(xué)意義和社會(huì)效益。

2 GM（1，1）模型的建立

2．1 模型的建立

設(shè)某工程測(cè)區(qū)有n個(gè)GPS水準(zhǔn)點(diǎn)，且各水準(zhǔn)點(diǎn)的高程異常值已知，其相應(yīng)的高程異常值序列為ζ（0）＝ （ζ（0）（1），ζ（0）（2），…，ζ（0）（n））；其一次累加生成序列為ζ（1）＝ （ζ（1）（1），ζ（1）（2），…，ζ（1）（n））。且滿足

對(duì)式（2）在區(qū)間 ［ki，ki＋1］上積分，則有

令

于是求解得

以上是通過高程異常值序列建立GM（1，1）模型的過程，建模過程顯示，只需利用少量的GPS水準(zhǔn)點(diǎn)就可以建立似大地水準(zhǔn)面精化模型，并且可進(jìn)行似大地水準(zhǔn)面的變化趨勢(shì)的預(yù)測(cè)。

2．2 GM（1，1）模型的預(yù)測(cè)步驟

2．2．1 已知建模數(shù)據(jù)的檢驗(yàn)與處理

為了保證GM（1，1）模型建模的可行性，通常需要對(duì)高程異常值序列進(jìn)行檢驗(yàn)處理。設(shè)建模需用的高 程 異 常 值 序 列 為 ζ（0）＝ （ζ（0）（1），ζ（0）（2），…，ζ（0）（n）），計(jì)算序列的級(jí)比為

2．2．2 建立過程與計(jì)算流程

根據(jù)式（1）可建立基于GM（1，1）模型的似大地水準(zhǔn)面精化模型，本文采用MATLAB語言編程對(duì)建模算法加以實(shí)現(xiàn)，其計(jì)算流程［7］如圖1所示。

圖1 基于MATLAB軟件的建模算法流程

2．2．3 檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷念A(yù)測(cè)值

對(duì)檢驗(yàn)GM（1，1）模型的精度進(jìn)行驗(yàn)證，可保證模型的可靠性，方便以后利用模型進(jìn)行預(yù)報(bào)。通常可采用殘差值級(jí)比偏差值進(jìn)行檢驗(yàn)。

令殘差為ε（k），則

令級(jí)比偏差為ρ（k），則

通常認(rèn)為，當(dāng)ε（k），ρ（k）越小時(shí)，模型精度越高，達(dá)到的要求也越高。

2．2．4 GM（1，1）模型的預(yù)測(cè)預(yù)報(bào)

由GM（1，1）模型得到相應(yīng)區(qū)域內(nèi)的預(yù)測(cè)值，根據(jù)似大地水準(zhǔn)面精化模型的實(shí)際需要進(jìn)行預(yù)測(cè)，給出似大地水準(zhǔn)面的變化趨勢(shì)。

3 算例與分析

以云南省“興地睦邊”農(nóng)田整治重大項(xiàng)目的某工程為例，測(cè)區(qū)均勻布設(shè)了10個(gè)GPS控制點(diǎn)，采用Tri mble天寶接收機(jī)施測(cè)了四等GPS控制網(wǎng)，利用其后處理軟件進(jìn)行基線處理，并在 WGS－84坐標(biāo)系進(jìn)行三維無約束網(wǎng)平差和在1980國家坐標(biāo)系進(jìn)行二維約束網(wǎng)平差，從而獲得控制點(diǎn)的平面坐標(biāo)（x，y）和大地高H。高程控制測(cè)量采用四等光電測(cè)距三角高程測(cè)量，并對(duì)高差進(jìn)行加常數(shù)改正、乘常數(shù)改正、大氣折光改正、地球曲率改正和溫度改正，獲得控制點(diǎn)的正常高h(yuǎn)，由此得到了GPS控制點(diǎn)的三維坐標(biāo) （x，y，h），其成果見表1。

表1 測(cè)區(qū)GPS控制點(diǎn)的成果

根據(jù)GM（1，1）模型的建模及預(yù)測(cè)步驟，對(duì)工程測(cè)區(qū)的10個(gè)GPS控制點(diǎn)建立了似大地水準(zhǔn)面精化模型，并對(duì)其精度進(jìn)行驗(yàn)證。

通過計(jì)算，得到GM（1，1）模型的各種計(jì)算及檢驗(yàn)指標(biāo)值的結(jié)果見表2。

表2 GM（1，1）模型的檢驗(yàn)

由表2可知，利用GM 1 1模型建立的區(qū)域似大地水準(zhǔn)面精化模型的殘差、相對(duì)誤差和級(jí)比偏差都很小，能夠有效地反應(yīng)似大地水準(zhǔn)面的變化趨勢(shì)，滿足實(shí)際需求。

4 結(jié)束語

本文提出了一種利用灰色GM（1，1）模型來擬合高程異常值序列的方法，就其建模理論和計(jì)算流程進(jìn)行了系統(tǒng)的介紹，采用MATLAB軟件可靠的計(jì)算功能和強(qiáng)大的函數(shù)資源［5］對(duì)算法加以實(shí)現(xiàn)，并以某區(qū)域似大地水準(zhǔn)面精化數(shù)據(jù)為例，驗(yàn)證了通過GM（1，1）模型建立區(qū)域似大地水準(zhǔn)面精化模型的可行性。通過對(duì)模型的背景值進(jìn)行重構(gòu)，殘差進(jìn)行修正，擴(kuò)展一些灰色模型的特性，可以提高建立似大地水準(zhǔn)面模型的精度，進(jìn)而更精確地預(yù)測(cè)似大地水準(zhǔn)面的變化趨勢(shì)，為工程建設(shè)提供更有力的保障。

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