附加誤差修正的GM（1，1）模型在衛星鐘差預報中應用

劉鐵柱，楊登科，馬向向

（1．鄭州市市政工程勘測設計研究院，河南 鄭州450046；2．華亭煤業集團公司，甘肅 平涼744000）

在衛星導航系統中，衛星鐘差產品的實時性與精度是決定系統實時導航定位的關鍵因素，尤其是精密單點定位技術（PPP）［1－3］。目前，IGS提供的事后精密鐘差產品有13 d的滯后時間，即便超快速精密鐘差也有3 h的延遲，因此，使得PPP技術主要停留在事后處理模式中，然而PPP的真正優勢在于實時應用，因此，針對衛星鐘差預報，已有大量學者開展相關研究［4－7］，并得出許多有益的結論。目前，采用GM（1，1）模型預報衛星鐘差已得到大多數學者認可［8－9］。為提高 GM（1，1）模型預報精度，又有學者對GM（1，1）模型進行改進研究［10］，但其改進方法較為復雜，不利于編程實現與實際應用。為此，本文通過大量統計實驗，提出一種附加誤差修正的GM（1，1）模型，并與傳統 GM（1，1）模型進行比較。實驗結果表明，方法明顯改善衛星鐘差的預報精度。

1 附加誤差修正的GM（1，1）模型

1．1 GM（1，1）模型原理

GM（1，1）模型基本思路如下［11－12］：假定x（0）（k）為原始鐘差數據序列，其中k＝1，2，…，n，即

對序列x（0）（k）進行一次累加，生成一個新的累加序列，如式（2）所示。

一般來說，可以認為累加序列x(1)k 是時間t的連續函數，將其用一階微分方程來表示

式中：a為發展系數；u為內生控制灰數。通過最小二乘法求解式（3）的微分方程，算式為

式中：B為（n－1）×2階矩陣，Y 為（n－1）×1階矩陣。

由最小二乘求解得模型的時間響應函數為

將時間代入式（7），并對其進行一次累減，即可得到原始數據模型

其中：當k≤n時，得到的值是原始數據的擬合值；當k＞n時，得到的數據為預報值。

1．2 誤差修正思路

GM（1，1）模型預報衛星鐘差的殘差在短時間內一般為系統性的偏差，尤其當衛星鐘差呈現單調遞增與遞減時，為此，本文提出利用GM（1，1）模型預報殘差進行二次預報，其基本思路如下：假定要預報未來200個數據，首先，利用GM（1，1）模型預報300個數據，其中前100個預報數據的觀測值已知；其次，利用前100個數據的預報殘差求解得到一個線性模型；最后，利用該模型對剩下的200個預報數據進行補償，從而削弱其系統偏差，提高GM（1，1）模型預報的精度。同時，為了提高其預報的可靠性與穩定性，應對前100個預報數據進行統計，若85%的預報殘差的絕對值小于1 ns且最大值小于1．5 ns，則進行誤差修正，若未能滿足上述條件，則認為該GM（1，1）模型的預報結果精度較高，因而不進行補償，從而避免因錯誤補償而造成更大的誤差。

2 實例分析

為了驗證本文方法的有效性與可靠性，采用IGS網站提供的5 min采樣間隔的事后精密GPS衛星鐘差數據進行實驗分析。本文選用GPS系統第1 791周第一天的數據進行建模，預報接下來一天的鐘差。值得注意的是：根據本文誤差修正的思路，附加誤差修正的GM（1，1）模型采用第一天的第177～188個數據進行建模，預報剩下的鐘差以及第二天的鐘差，根據上文提出的修正方法對預報結果進行補償，而傳統GM（1，1）模型是采用第一天最后12個數據建模，預報接下來一天的衛星鐘差。由于衛星鐘差的預報結果與衛星鐘的類型有較大關系，因此，選用不同類型的衛星進行分析，衛星原子鐘類型和衛星號對照表如表1所示，每個類型的原子鐘各選用2顆，分別為 PRN01、PRN27、PRN05、PRN32、PRN11、PRN18、PRN07、PRN12。

表1 GPS衛星原子鐘類型和衛星號對照表

圖1為衛星PRN01與PRN07的預報結果，其中圖（a）與圖（b）分別是PRN01與PRN07衛星的鐘差預報殘差結果。為了更加清晰地看出其前100個鐘差的預報殘差，對其進行局部放大，其結果分別是各個子圖中的小圖。從局部放大圖中可以明顯看出，PRN01與PRN07衛星前100個預報結果小于給定的閾值，因此不進行補償，此外，這兩顆衛星采用GM（1，1）模型預報鐘差的精度都在ns級，而影響導航定位精度的是預報鐘差較大的衛星鐘，因此，提高GM（1，1）模型較大偏差的鐘差是提高導航定位精度的關鍵。

圖1 未進行誤差修正的衛星鐘差預報殘差結果

圖2是PRN32與PRN11衛星的鐘差預報結果，限于篇幅，其他衛星的預報結果本文并未給出，但其預報結果與圖2基本一致。從圖2可以看出，經過誤差修正后的衛星鐘差殘差小于傳統GM（1，1）模型的預報結果，尤其是PRN32衛星，經誤差修正后的預報精度基本在ns級，相對于傳統GM（1，1）模型的預報結果提高一個數量級。這說明本文提出的附加誤差修正的GM（1，1）模型預報衛星鐘差是有效的。為了進一步對比其預報效果，又分別統計這8顆衛星的預報殘差的絕對值、最大值、最小值以及標準差，其結果如表2所示。從表2中可以看出，本文提出的附加誤差修正的GM（1，1）模型預報精度都優于傳統的GM（1，1）模型，尤其是標準差，附加誤差修正的GM（1，1）模型預報精度有較大提高。此外，由于PRN01與PRN07衛星并未經誤差修正，但其預報精度仍高于傳統GM（1，1）模型，這說明GM（1，1）模型受模型初始值影響較大。

圖2 進行誤差修正的衛星鐘差預報殘差結果

表2 所有衛星鐘差預報誤差統計結果 ns

3 結 論

本文提出的附加誤差修正的GM（1，1）模型相對于傳統GM（1，1）模型在衛星鐘差預報中，通過采用不同類型的衛星進行比較分析，結果表明，本文提出的修正模型能有效提高其預測精度，相對于傳統GM（1，1）模型，標準差最大改善精度可達90%，最小也提高30%，同時，也保證其預測結果的穩定性，具有一定實際應用價值。另外，本文還為衛星鐘差長期預報提出思路，即以天為單位，進行建模預報，并根據本文方法進行誤差修正，最后對修正后的預報鐘差進行內插，以滿足其采樣要求。盡管本文提出的模型精度有較大改善，但仍存在不足：1）GM（1，1）模型預報結果受建模數據的影響；2）在表2中PRN01與PRN07衛星本文并未進行改進，而是直接采用GM（1，1）模型的預報結果，盡管其預報精度仍是ns級，已滿足導航精度要求，但如何在其基礎上提高精度，仍是下一步的研究目標。

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