利用速度的定義求解繩斜拉物體模型中的速度

劉勝功 趙汝花

（山東省陽谷縣第一中學，山東 陽谷 252300）

拜讀了貴刊2010年第3期刊登的《也談交點速度問題的解法》一文，和文中提到的前面幾期上刊登的相關類型問題的分析，受益匪淺.聯系自己平時講授這類問題的情況，覺得從速度的定義出發解決繩子斜拉物體或物體斜拉繩問題，是易于接受，又便于理解的快捷方法.現對這種方法作簡單闡述，以與同行進行商榷.

繩子斜拉物體或物體斜拉繩的模型在高中物理中比較常見.筆者曾經講授這類問題時，按照速度分解要根據實際效果進行分解的思想，通過分析得出：繩子斜拉物體或物體斜拉繩時，物體運動的速度是合速度，沿繩長伸長或縮短方向的速度是一個分速度，垂直于繩即繩端轉動的方向的速度為另一個分速度.但是學生接受起來好像知其然不知其所以然.在后來的講授中，筆者從理解瞬時速度的定義出發，通過一兩個例題，引導學生共同分析，學生反映接受的效果較好.下面是講授這類問題的基本思路.

按照現行人民版《物理》必修1中速度的定義：物理學中用位移與發生這個位移所用時間的比值表示物體運動的快慢，這就是速度.一般來說，物體在某一時間間隔內運動快慢不一定是一樣的，所以只能理解為這是物體的平均速度.為了使描述精確些，可以把Δt取得小一些.物體在從t到t＋Δt這樣一個較小的時間間隔內運動快慢的差異也就小一些.Δt越小，運動的描述就越精確，如果Δt非常小，就可以認為表示的是物體在時刻t的瞬時速度.

我們可以根據以上思路來分析繩子斜拉物體或物體斜拉繩問題.由于拉動繩子，一方面船和滑輪間的繩子變短，另一方面繩子連接物體的一端轉過一個小的角度.設想物體在很短的時間Δt內發生了很短的位移，進而利用幾何關系求出一個物體在Δt時間內沿實際效果方向分位移間與實際位移的關系，根據速度的定義，求出且當Δt很小時，就可認為是這兩個方向的分速度.為了進一步說明此方法，下面舉幾個例子.

例1.如圖1，人在岸上以恒定的速度v0通過滑輪用不可伸長的繩拉水中的小船，當繩與水平方向成θ角時，小船沿水面向岸靠近的速度v多大？

解析：在拉動小船的過程中，小船與滑輪間的繩子長度減小，另一方面，繩子繞滑輪轉動.

圖1

設在很短的時間Δt內，小船向前運動了Δx，則繩子也轉過一個小角度，使得繩子與水平方向的夾角增加 了 Δθ.連 接AB 使A、B與滑輪間距離相等，船與滑輪間繩子的長度縮短了長度BC，如圖2所示.

圖2

例2.如圖3所示，使動滑輪以速度v向上運動，當不可伸長的繩與墻成α角的瞬時，求物體速度大小.

解析：在拉動滑輪的過程中，繩子固定端與滑輪間的繩子長度增大，另一方面，繩子在繞固定端轉動.

圖3

設想在很短的時間Δt內，動滑輪由A位置升高到B位置，升高量為y，如圖4，則滑輪到墻上固定點的距離增加量等于的長度.由數學知識＝ycosθ.由于滑輪升高量故物體共升高了y＋ycosθ.

圖4

例3.如圖5所示，臨界角為45°液面上有一點光源S，用遮光紙遮住，只留下一束豎直向下垂直入射到水平放置于液體中且距離液面為d的平面鏡M 上.當平面鏡M繞垂直過中心O的軸以角速度ω逆時針勻速轉動時，觀察者發現水面上有一光斑掠過.設t＝0時平面鏡處于水平位置且鏡面向上，試確定觀察者所觀察到的光斑在水面上移動速度v與時間t的函數關系式.

圖5

解析：反射光束一方面繞O點轉動，同時在水中的長度要伸長.如圖6所示，設經過時間t，平面鏡轉過角度θ＝ωt，則反射光線和入射光線的夾角為2θ，反射光線轉動的角速度為2ω，此時光線反射到水面上的P點.設經過一個很小的時間間隔Δt，平面鏡又轉過Δθ＝ωΔt，反射光線與入射光線的夾角增加了2Δθ＝2ωΔt，反射光束轉到OQ，水面上的光斑由P點移到Q點.作OR＝OP，則QR就是在Δt內反射光束在水中增加的長度.PR為P點繞O點轉過的小短弧.由于Δt很小，PR接近直線，且∠PRO近似等于90°，三角形QRP可以看作直角三角形，且∠QPR＝2θ，PR＝而在三角形OSP中所以

圖6

例4.如圖7所示，物體M套在光滑的豎直桿上，和m通過細繩和定滑輪相連，定滑輪與桿間的距離為d，當M下落h時，速度達到vM，求此時m的速度vm.

解析：當M下落時，M與滑輪間繩子變長，同時繩子繞滑輪轉動.如圖8所示，設物體下落h時，繩子與桿的夾角為θ，再經過一段很短的時間Δt，M下落y，M與滑輪間繩子長度增加了x，即物體m上升的位移為x.

圖7

圖8

由于Δt很小，角θ變化也很微小，可認為vMsinθ＝vm，所以有

以上幾個例題都屬于繩斜拉物體模型的問題.通過例題可以看出，在根據實際問題設出一個微小時間Δt后，輔之簡單的幾何關系，根據速度的定義求解繩斜拉物體模型的分速度，比較易于掌握.由于是從速度的定義出發去分析求解，故可適用于一切求速度分解的問題，但在有的題目中過于強調這種方法則有繁瑣之感.求解速度的分解問題，應視具體問題而定.讓學生掌握這種方法，既可鞏固學生對速度概念的掌握，又能提高學生發散思維能力，培養學生分析問題的基本技能.