時標上具有反饋控制的兩種群競爭系統的持久性分析

(1.玉溪市教育局；2.玉溪市第四中學，云南 玉溪 653100)

自20世紀以來，生態問題越來越受到人們的普遍關注，而以常微分方程為理論基礎的數學生態學已經形成了比較完善的體系，對整個生物學領域產生了重要的影響.在生態數學中,種群生態學是人們最感興趣的分支之一.自然界中任何一種物種都不是孤立存在的，它必然與其他物種有各種關系，而在這些關系中最常見的則為物種競爭的關系.人們只有了解種群的演變規律和掌握了種群之間的相互關系，才能夠合理的控制和改善生態系統，對生態系統進行合理的保護、開發和利用.

1 模型簡介

文獻[1]研究了如下連續系統

(1)

其中，x1，x2，u1，u2分別表示關于時間t的種群密度和關于時間t的反饋控制變量(詳細生物背景見文獻[1]及其參考文獻).

應用微分方程比較原理及不等式技巧，文獻[1]得到了系統(1)概周期解存在的充分條件.文獻[2,3]等文獻則研究了離散時的系統的持久性及其概周期解的存在性.而眾所周知，在自然界中，種群的存在和分布并不都是理想中的連續分布，許多情形是既有連續又存在離散.1988年，德國數學家Stefan Hilger整合統一了連續分析和離散分析，發現了微積分算法和差分演算法之間的深層關系，最終提出了時間尺度(Time Scales)上的分析理論[4].文獻[5～7]均在時間尺度上對種群生態系統的持久性等動力學行為進行了研究.受以上文獻思想的啟發，筆者對如下兩種群競爭系統進行討論：

(2)

(3)

因此，本文的主要目的是討論時間尺度上帶有反饋控制兩種群競爭系統的持久性問題，即系統(2)的持久性.

在本文中，我們假設如下條件成立：

(H1)ri(t),ai(t),bi(t),ci(t),di(t),hi(t),ei(t),fi(t)(i=1,2)是定義在時間尺度上的右連續有界實值函數且使得如下成立：

2 預備知識

在這一部分，先介紹本文用到的一些基本定義和引理．這些概念的定義以及引理的證明可以參見文獻[4].

σ(t)=inf{s∈∶s>t},ρ(t)=sup{s∈∶s

一個點t∈稱作是左稠密的，如果t>inf且ρ(t)=t；稱作是左分散的，如果ρ(t)t.如果有一個左分散的最小值m，那么k={m};否則k=.如果有一個右分散的最小值m，那么k={m}，否則k=．

一個函數f∶?R稱作是右稠密連續的，如果它在中的右稠密點是連續的，且在中的左稠密點的左極限是存在的．如果f在每一個右稠密點與左稠密點均是連續的，則稱f是上的連續函數．我們定義C[J,R]={u(t)∶u(t)是J上連續的}，以及C1[J,R]={u(t)∶u△(t)是J上連續的}.

對于y∶t→R，其中t∈k，我們定義y(t)的delta導數y△(t)是這樣一個(如果它存在)具有如下性質的數：對于給定的ε>0，存在t的一個鄰域U使得

|[y(σ(t))-y(s)]-y△[σ(t)-s]|<ε|σ(t)-s|

對于所有的s∈U都成立.

如果y是連續的，那么y是右稠密連續的，如果y在t是delta可微的，那么y在t是連續的.

如果y是右稠密連續的，令Y△(t)=y(t)，則我們定義delta積分如下：

定義1 系統(2)是持久的，如果對系統(2)的任意解(x1(t),x2(t),u1(t),u2(t))T，存在正常數mi,qi,Mi和Qi(i=1,2)使得如下成立

引理1[7]設-a∈R+.

3 持久性

命題1 假設條件(H1)-(H3)成立.則系統(2)的所有解(x1(t),x2(t),u1(t),u2(t))T滿足

其中

證明設(x1(t),x2(t),u1(t),u2(t))T是系統(2)的任意正解，則由系統(2)的第一個方程和Bernoulli不等式exp{x}≥1+x，對任意的x∈，可得

(4)

應用引理1的結果，(4)式可得

(5)

(6)

應用引理1，(6)式可得

(7)

設ε→0，應用類似的討論方法，系統(2)的第四個方程可得

(8)

應用引理1，(8)式可得

(9)

同理，由系統(2)的第二個方程和(9)式，

≤r2(t)-b2(t)(x2(t)+1)+d2(t)eu2*+ε

(10)

應用引理1，(9)式可得

當ε→0,(7)式和(9)式可得

(11)

(12)

證畢.

命題2 設條件(H1),(H4)-(H5)成立.則系統(2)的所有解(x1(t),x2(t),u1(t),u2(t))Τ滿足

證明設(x1(t),x2(t),u1(t),u2(t))Τ是系統(2)的任意正解，我們首先證明

對任意小的常數ε≥0，存在一個點Τ1∈且Τ1≥Τ0使得如下不等式成立

(13)

由系統(2)的第一個方程和條件(H)，當t>Τ1時，

我們斷定

(14)

則可得

(15)

當ε→0時，可得

(16)

從而，對任意小的ε>0，存在一個點Τ2∈使得x1(t)≥x1*-ε,t≥Τ2.于是,由系統(2)的第二個方程可得

應用類似(16)的方法，可得

(17)

(18)

應用引理1，可得

(19)

類似以上證明方法，不難得出

也即

(20)

當ε→0時，可得

(21)

(22)

故性質2證畢.

定理1 若條件(H1)-(H5)成立，則系統(2)是持久的.記集合Ω是系統(2)的所有解(x1(t),x2(t),u1(t),u2(t))Τ且滿足

?t∈.事實上，由命題1和2的證明結果可知，定理1是成立的并且Ω是系統(2)的一個不變集.

[1]Z.Liu,Persistence and periodic solution in two species competitive system with feedback controls[J].Biomath,2002(17):251-255.

[2]X.Liao,Z.Ouyang,and S.Zhou,Permanence of species in non-autonomous discrete Lotka-Volterra competitive system with delays and feedback controls[J]. Journal of Computational and Applied Mathematics,2008,211(1):1-10.

[3]T.Zhang,Y.Li,and Y.Ye,Persistence and almost periodic solutions for a discrete fishing model with feedback control[J]. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation,2011,16(3):1564-1573.

[4]M.Bohner and A.Peterson,Advances in Dynamic Equations on Time Scales[M].Birkh user,Boston,Mass,USA,2003.

[5]Y.K.Li,X.F.Han,Almost periodic solution for aN-species competition model with feedback controls on time scales[J].Journal of Applied Mathematics & Informatics,2013,31(1-2),247-262.

[6]Y.H.Zhi,Z.L.Ding,Y.K.Li,Permanence and Almost Periodic Solution for an Enterprise Cluster Model Based on Ecology Theory with Feedback Controls on Time Scales[J].Discrete Dynamics in Nature and Society,Vol.2013,Article ID:639138:14.

[7]H.T.Zhang,F.D.Zhang,Permanence of anN-species cooperation system with time delays and feedback controls on time scales[J].Journal of Applied Mathematics and Computing,2014,46(1-2):17-31.