幻方形式美五則

(玉溪師范學院,云南 玉溪 653100)

幻方，顧名思義，就是幻化，奇幻、魔幻的方陣的意思.從洛書(三階幻方)算起，歷經公元前后兩千多年，即至今長達四千年之久.人們對幻方的興趣和研究長盛不衰.而且，正如我國著名科普作家兼娛樂數學專家談祥柏老先生所言：幻方研究中，新發現層出不窮[1].

本文中,筆者從形式美的角度著眼，介紹五則具有形式美的幻方.

1 反序數對稱幻方

所謂反序數，即有這樣成對的數，其特點是其中的一個數字的排列順序完全顛倒過來，就變成一個數.如102和201，36和63等即是.簡單的理解就是順序相反的兩個數，我們把這種成對數互稱為反序數.據說,反序數在實際生活中也有許多應用，例如在密碼的編制上.

下面是一個將兩個3階幻方進行“合成”再得一個新的3階幻方的例子，而所得的這個新的3階幻方便是一個反序數對稱幻方，如圖1所示

圖1 2個3階幻方合成新的3階幻方

圖1中的第3個數陣便是反序數中心對稱幻方,而且其各方格內的兩個數字的和都是10.

這樣的幻方，還可以構成幾個，如圖2所示：

圖2 3階幻方構成

2 金鑲玉幻方

在文獻[1]里，談祥柏老先生專門饒有興趣地用一節介紹了金鑲玉邊幻方的探索故事.如圖3便是一個金鑲玉邊幻方的例子.從圖3可以觀察到，5階方陣的4條金邊的確形成了：其周邊和數的平方和都等于1 105.但是文獻[1]沒有把“玉”的情況標示出來.筆者于是將其他行列相關和數的平方和算出來，有1 005、1 055、1 155、1 205等4種情況.是否可以說，這表示“玉”并非白璧無瑕,而是由4種不同“成色”的“玉”組成，這未免令人遺憾，也使這種金鑲玉邊顯得有點美中不足.

圖3 5階方陣的4條金邊圖4 “白玉無瑕”的金鑲玉的幻方

下面,筆者提供幾種更為“美觀”的金鑲玉邊供大家欣賞.

首先，我們看如圖4所示的幻方,這時“金邊”是390，而“玉”則都是358，所以是“白玉無瑕”、貨真價實的金鑲玉幻方.有趣的是，據此還可派生出一個“玉嵌金邊”和一個“金枝玉葉”(或稱為“金波玉浪”)的幻方，如圖5所示：

圖5 “玉嵌金邊”和“金枝玉葉”幻方

順便說明一下，這樣的4階幻方好像再沒有了，另外3階幻方顯然不會構成金鑲玉邊.

下面再介紹兩例5階的(圖6)，因為筆者是手算，更高階的金鑲玉邊，還待感興趣的讀者去探索.

圖6-1 5階金鑲玉邊幻方例一圖6-2 5階金鑲玉邊幻方例二

可以看出,圖6的兩個幻方都比圖3的為好，尤其是圖6-2.遺憾的是,兩圖中的“玉”也都有欠缺.5階幻方有無像上面所舉的4階幻方那樣的“金純玉潔”，這一問題目前暫無明確的答案,尚需繼續探索.

3 雙螺旋結構“幻方”(或稱半幻方)

圖7 DNA雙螺旋模型的紀念郵票

1953年，美國科學家沃森和英國科學家克里克發現DNA的雙螺旋結構，誕生了分子生物學，對研究對象的探討也由細胞水平深入到了分子水平，兩位科學家因此榮獲1962年度的諾貝爾生理學和醫學獎.圖7是三張關于DNA雙螺旋模型的紀念郵票.

令人感到神奇的是，幻方中也有雙螺旋結構——那就是有名的富蘭克林8階幻方.富蘭克林8階幻方具有很獨特的性質，讀者可參看文獻[2].另外，富蘭克林16階幻方也是雙螺旋結構.以下,筆者將文獻[2]的8階幻方略作改變，并暫稱其為F型“幻方”,如下圖8所示.

圖8富蘭克林8階幻方

此外，用下面的幻方A與幻方B相乘而得的12階幻方，若用紅線將圖中的數據按自然數的順序串起來，也呈現奇特的雙螺旋結構(橫看)和兩橢圓相套交結構(豎看)，很有意思,如圖9所示.

圖9幻方A與幻方B相乘而得的12階幻方

4 楊輝置換

請看下列圖10中的兩個9階幻方：

圖10-1 9階幻方例一圖10-2 9階幻方例二

圖10-1中的9階幻方，是用3階幻方相乘而得的(見文獻[2]的第62頁、64頁)，圖10-2中的9階幻方則是楊輝構造出來的(見文獻[2]第18頁).曹陵老師在他的專著《幻方再論》[4]第三講里將上面的稱為叉積，統稱為克羅內爾積.曹老師也注意到，這里的克羅內爾乘積與其原義有了質的差異.鑒于此，筆者倒是認為，何不將第一種積稱為阿氏(Allex Adler)積，以紀念這種乘積方法的發明者，而將第二種乘積命名為楊輝積.

一般地說，若記幻方A與幻方B的阿氏積為A?B，其楊輝積為BA，則可證A?BBA，其中表示要經過一定的行列置換(以下可以看到，此置換便是我們所稱的“楊輝置換”).下面,不妨以一個3階幻方與一個4階幻方的乘積為例(見圖11)來進行說明.

圖11-1A?B

圖11-2AB

續圖11-2AB

圖11-3B?A

圖11-4BA

從圖11可以看出，若記A?B從左到右，從上到下的行列序數為1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12，用代數置換的符號

則在Y2置換下，A?B與AB相同，且同樣有BA與AB相同.特別地，A?B在Y1置換下與AA相同，這就是圖9上下兩個9階幻方的內在聯系.不過，這時的楊輝置換Y序為

有趣的是，對于任意的9階幻方，在Y1的作用下，幻方特點保持不變，更有甚者，對任意的9階數陣，在Y1的作用下，其行、列、泛對角線的數字和均保持不變，這也就是我們之所以名之楊輝置換的用意所在.顯然，以上討論對一般對任意兩個幻方A、B均是適用的，但限于篇幅，筆者在此不做過多的討論.

5 勾股幻方

圖12 畢達哥拉斯幻方一例

此幻方見于文獻[3]，那兒叫做畢達哥拉斯魔方，有兩例，以下只取其一：

圖12欣賞：△ABH是直角三角形，其中∠AHB=90°，斜邊AB上有一個正方形ABCK，二直角邊上分別有正方形AGFH、BDEH.撇開具體數字，這個圖形是經典的勾股定理證法之一例.斜邊上正方形為5×5個面積單位，二直角邊上的兩個正方形分別為3×3、4×4面積單位，從而有22+23=45，即BH2+AH2=AB2.

別有異趣的是，這一個正方形各小方格配上數字后，依次為一個3階幻方、一個4階幻方和一個5階幻方，它們的幻和分別為147、46、125.因此，三個幻方的總數字和為441、184、625.而且有441+184=625.

這些數字等式顯示出勾股幻方設計者的初衷.

據說，這樣的勾股幻方(畢達哥拉斯幻方)已有5個.

[1]談祥柏.奇妙的幻方[M].濟南：明天出版社，1994：32.

[2]吳鶴齡.好玩的數學——娛樂數學經典名題[M].北京：科學出版社，2003:38.

[3]Eli Maor.勾股定理·悠悠4000年的故事[M].馮速,譯.北京：人民郵電出版社，2010:113.

[4]曹陵.幻方再論[M].香港:香港天馬圖書有限公司,2003.