(2+1)維非線性偏微分方程的精確解

(西安培華學院 基礎部,陜西 西安 710125)

隨著現代數學和物理學的發展,非線性偏微分方程的求解問題特別是對一些高維的非線性微分方程的求解成為研究的熱點.近年來,對非線性偏微分方程尋找對稱約化和構造精確解方面的研究取得了很大的進展.為了得到非線性偏微分方程的精確解,研究者提出了很多方法來解決,諸如經典的李群方法[1]、非經典的李群方法[2]、CK直接法[3]和改進的CK直接法[4].本文研究(2+1)維Calogero-Bogoyavlenskii-Schiff(CBS)方程

4uxt+uxxxz+4uxuxz+2uxxuz=0

(1)

文獻[5]利用Hirota雙線性法求出了CBS方程的部分多孤子解;文獻[6]利用經典的李對稱方法給出了CBS方程的李點對稱;文獻[7]給出了(2+1)維廣義CBS方程的無窮多對稱及其約化;文獻[8]利用李群分析法和行波約化法給出了(2+1)維CBS方程的相似解;文獻[9]利用拓展的雙曲函數展開法求出了該方程的行波解.本文利用非古典對稱方法得到(2+1)維CBS方程的群不變解,然后將該方程約化為常微分方程,最后得到了該方程一些新的精確解.

1 (2+1)維CBS方程的對稱

非線性發展方程

Φ(x,z,t,ux,ut…)=0

(2)

稱函數σ(x,z,t,ux…)為方程(2)的一個對稱，如果

Φ'(u)σ=0

(3)

對于任意的u都成立.其中

對于(2+1)維CBS方程(1),利用(2)可得到方程(1)的對稱滿足的方程如下:

σxxxz+4σxt+4σxuxz+4σxzux+2σxxuz+2uxxσz=0.

(4)

下面利用待定系數法[10，11]求解方程(1)的σ.假設方程(1)有如下形式的解

σ=a(x,z,t)ut+b(x,z,t)ux+c(x,z,t)uz+d(x,z,t)u+e(x,z,t)

(5)

其中a,b,c,d,e為待定函數.將方程(5)代入方程(1),并且利用-4uxt-4uxuxz-2uxxuz替換uxxxz,即可得到關于a,b,c,d,e的偏微分方程組

ax=0,az=0,bz=0,cx=0,dz=0,dxx=0,d-bx=0,4dx+bxx=0,2bt+ez=0

4ext+exxxz=0,3dxx+4ct+bxxx+4ex=0,dt+bxt+exz=0,at-2bx-cz=0

通過求解該決定方程組可得

a=2f1t2+(2f2+f3)t+f4,b=(f1t+f2)x+φ(t),d=f1t+f2c=(2f1z+f5)t+f3z+f6,e=-x(2f1z+f5)-2zφ'(t)+ψ(t)

(6)

其中φ(t),ψ(t)為t的任意函數,fi(i=1,2,3,4,5,6)為常數.則方程(1)的對稱為

σ=[2f1t2+(2f2+f3)t+f4]ut+[(f1t+f2)x+φ(t)]ux+[(2f1z+f5)t+f3z+f6]uz+

[f1t+f2]u+[-x(2f1z+f5)-2zφ'(t)+ψ(t)].

(7)

2 (2+1)維CBS方程的群不變解

為得到方程(1)的對稱約化,利用σ=0和方程(1)的相容性,先求解σ=0時方程(1)的特征方程組

(8)

現在討論以下幾種情況:

情況(1):令f1=f4=φ(t)=f5=f6=ψ(t)=0,f2=f3=1

特征方程為

解特征方程可得到它的不變解為

(9)

將(9)式代入方程(1).就可以將方程(1)約化為下面的方程

6hθθhω-8hθ-4θhθθ-4ωhθω+12hθhθω+3hθθθω=0.

(10)

情況(2):令f1=f2=f3=f4=f5=ψ(t)=0,f6=-a

其特征方程為

解特征方程可得到它的不變解為

(11)

將(11)代入方程(1)得到約化方程為

(12)

情況(3):令f1=f4=f6=φ(t)=ψ(t)=0,f3=-2,f2=f5=1

其特征方程為

解特征方程可得到它的不變解為

(13)

將(13)代入方程(1)得到約化方程為

(14)

情況(4):令f1=f4=f5=f6=ψ(t)=0,f2=f3=1,φ(t)=t

其特征方程為

解特征方程可得到它的不變解為

(15)

將(15)代入方程(1)得到約化方程為

6ω2hθθθω-6ωhθθθ+6ωhθhθω-2θω2hθθ+3ωhθθhω-3hhθθ-2ω3hθω-2ω2hθ=0

(16)

情況(5):令f1=f2=f3=f6=ψ(t)=0,f4=f5=φ(t)=1

其特征方程為

解特征方程可得到它的不變解為

(17)

將(17)代入方程(1)得到約化方程為

hθθθω+4θhθω-4hθhθω+2hω-2hωhθθ-4hθθ=0

(18)

3 (2+1)維CBS方程的精確解

通過解約化方程(12)就可得到方程(2+1)維CBS方程的一些新的精確解,然后作下面的變換

(19)

方程(12)就可約化為常系數常微分方程

(20)

(21)

即方程(1)就可約化為方程(20).對方程(20)兩邊同時積分后在同時乘以h''在積分,然后令h'=g得

(22)

求解上式方程的解就可以得到方程(1)的一些新的精確解:

a)如果b=c=0,ak<0方程(22)的解如下

(23)

(24)

因此方程(20)的解為

(25)

(26)

由方程(21)、(25)、(26)可得方程(1)的新精確解為

(27)

(28)

b)如果b=c=0,ak>0方程(1)的解為

(29)

則方程方程(1)的解為

(30)

則方程(1)的解為

(31)

則方程(1)的解為

(32)

4 結 論

本文通過李群分析法得到(2+1)維CBS方程的對稱，然后利用特征方程得到群不變解將該方程約化為常微分方程，并求得該方程一些新的精確解，其中包括雅克比橢圓函數解、三角函數解.這些解在數學物理中有著重要的應用,這種方法也可以適用于其他高維的非線性微分方程的求解.

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