由2010年山東高考理科數(shù)學(xué)壓軸題所想到的

張曉

辨析：在2013年的備考復(fù)習(xí)過程中，高三學(xué)生做這道題，很多學(xué)生都轉(zhuǎn)化為f（x）min≥g（x）max，事實(shí)上，“若這樣，對(duì)任意x1∈[0，2]，都有任意的x2∈[1，2]，使f（x1）≥g（x2）”，就將該問題范圍縮小了。用圖像通俗地解釋就是函數(shù)f（x）的圖像上任意一點(diǎn)都在函數(shù)g（x）圖像的上方。

而正確的解法是：要想滿足題意，只需使f（x）min≥g（x）min。用圖像來解釋就是函數(shù)f（x）的圖像上任意一點(diǎn)都可以在函數(shù)g（x）圖像找到一點(diǎn)在它的下方。

變式題目：已知函數(shù)f（x）=（x-1）2，g（x）=x3-3x2-6x+m，

（1）若對(duì)任意的x1∈[-2，2]，x2∈[-2，2]，都有f（x1）≤g（x2）成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。

（2）若對(duì)于任意的x1∈[-2，2]，都有f（x1）≤g（x2）成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。

（3）若對(duì)于任意的x1∈[-2，2]，總存在x2∈[-2，2]，使得f（x1）=g（x2）成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。

對(duì)于（1）有學(xué)生這樣解：

即h（x）=g（x）-f（x）

=x3-4x2-4x+m-1，

轉(zhuǎn)化為該函數(shù)的最小值大于等于0。

該題中，“若x1∈I，x2∈I都有f（x1）≤g（x2）”與“若x1∈I，都有 f（x1）≤g（x2）”意義是不同的。前者表明函數(shù)f（x）在[-2，2]上一點(diǎn) x1的函數(shù)值不超過g（x），在[-2，2]上一點(diǎn)x2（x1與x2不一定相等）的函數(shù)值，用圖像通俗地解釋就是在兩條平行x=±2之間，函數(shù)f（x）圖像上不但沒有一點(diǎn)在函數(shù)g（x）的上方，而且f（x）圖像上的最高點(diǎn)不高于圖像g（x）上的最低點(diǎn)，由于x1，x2的任意性，即函數(shù)f（x）在[-2，2]的最大值不超過函數(shù)g（x）的最小值。而后者則表示f（x）在[-2，2]上任一點(diǎn)x1的函數(shù)值不超過g（x）在[-2，2]上同一點(diǎn)x1的函數(shù)值，用圖像通俗的解釋就是在兩條平行x=±2之間，函數(shù)f（x）圖像上沒有一點(diǎn)在函數(shù)g（x）的上方。兩者很容易混淆。上述解法是錯(cuò)誤的，實(shí)際上是（2）的正確解答。（1）的解法應(yīng)該轉(zhuǎn)化為f（x）max≤g（x）min，得m≥25。

關(guān)于（3），要正確理解“若對(duì)于任意的x1∈[-2，2]，總存在x2∈[-2，2]，使得f（x1）=g（x2）成立”的含義，它說明f（x）的值域∈g（x）的值域，轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系即可。

編輯 薛直艷