初中數學共點與中點問題的探究

洛圓圓

摘 要：中考中共點問題與中點問題是一個重點，也是一個難點，本文對此考點進行探究。

關鍵詞：共點問題，中點問題，數學思想與方法，旋轉、轉化、由特殊到一般的數學思想。

中圖分類號：G632 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2014）19-008-01

一、研究目的

本專題的探究是基于學生對四邊形的理解與掌握的基礎上的升華，在中考中的共點與中點問題也是重點與難點，因此，本專題的探究內容在初中階段的學習中具有不容忽視的重要的地位。

本專題的內容前面承接新人教版教材的三角形與中點全等的內容，后面是變式相似的內容，所以學好這個內容為學好以后的圖形變式打下牢固的基礎，而且它在整個教材中也起到了承上啟下的作用。本內容包含的一些作輔助線知識，是今后中考中的得分點。

本專題的內容是對學生學習了三角形及四邊形之后的升華部分，利用了等邊三角形、等腰三角形、等腰直角三角形的特點，中線倍長的思想，三角形中位線，平行線的性質對本次研究的圖形進行認識并解決本專題的問題。而本專題的后續是講公共頂點的兩個等腰直角三角形變為一般的等腰三角形，但頂角要相等。同時也可變式為復雜的圖形：將等腰直角三角形轉化為正方形。那么在初三中考復習中，可以將變式3中的圖形證全等變式為證相似。同樣也可將正方形轉化為一般的矩形并用相似進行解決。本節課不僅探究了兩線段的大小關系還要探究它們的位置關系，而對于頂角不是直角的圖形則要應用三角函數的相關內容。其變式多樣，適合于發展學生的思維，為大連地區中考的25題（由全等到相似）類型題培養解決圖形類問題的思想方法。

二、研究過程

1、由基本題出發，問題1已知：如圖1，△ABC和△DBE是等腰直角三角形，A、B、D在同一條直線上，M、N、P分別是AD、AC、DE邊上的中點，試說明MP和MN的關系。學生在探究問題的時候有困難，于是教師給出提示問題：1、圖中如何構造出兩個全等的三角形；2、本題的基本型可否是有共點的兩個等邊三角形（如圖2）3、變式成有共點的兩個等腰直角三角形時（如圖3），以上研究等邊三角形的結論還是否成立。

學生在研究圖2時，就有思路了，因為它是書上課后習題，并且在練習冊中也經常出現，對于圖2的研究過程及其變式參看圖3、4、5、6

進而轉化為有共點的兩個等腰直角三角形再進行探究，如圖7、8、9、10。

有了這么多的基本圖形的解決做鋪墊，學生進而對于問題1的解決有了思路與解決方法，能夠很容易想到分別連接AE與CD構造全等三角形，并且探究AE與CD的關系（位置與數量），從而利用三角形的中位線，得到了所要求的MN與MP的關系（圖11），從中總結了方法：找基本型，并體會轉化的數學思想，乃至由特殊到一般的數學理念。進而對于問題1的變式1：將等腰直角三角形DBE繞點B旋轉至如圖12所示的位置，其他條件不變，上述結論仍然成立。旋轉到圖13結論不變。

對于問題1也可進行變式2，如圖14若將兩個等腰直角三角形△ABC和△DBE的銳角頂點B重合，M、N、P分別是AD、CB、BE邊上的中點，試說明MP和MN的關系。學生很容易就聯系到問題1的解決辦法做出輔助線（圖15）并且這道題構造輔助線的方法還運用了倍長中線的思想，體現了數學知識之間的聯系。再與圖12進行類比，讓學生形成思想方法。

如果還想拓展學生的思維能力，可以再來一個變式3：如圖16若將兩個等腰直角三角形△ABC和△DBE的銳角頂點B重合，F是CE的中點，連接AF、DF，試說明AF和DF的關系。本變式再次鞏固了本次探究問題的解決思路與方法，真正掌握的同學一定會很快做出。

三、研究總結

本探究僅僅是研究了有共點的兩個等腰直角三角形的變式過程，并且共點處是兩個頂角的頂點，并且探究了其中兩個中點連線的兩條線段的關系。而對于共點處是兩個底角的頂點的研究又會如何，我們還會再次探究。