基于HPM視角數學歸納法教學后學生的認知研究

夏芳

基于HPM視角數學歸納法教學后學生的認知研究

夏芳

數學歸納法是證明數學命題的一種方法，是中學數學的重要內容，同時也是教學的難點。有些學生能發現其中的規律，做到舉一反三，真正理解數學歸納法并將其深記于心；有些學生只會死記步驟，而不會具體應用。近年來，隨著中學教育的改革，HPM理念逐漸應用于數學教學中。本文以數學歸納法為載體，將數學史融入數學歸納法教學中，對學生的認知進行研究。

HPM；數學歸納法；學生認知

一、研究背景

數學歸納法在數學上通常是用來證明與自然數N有關命題的一種特殊方法，主要研究的是與正整數相關的數學問題，在高中數學教學中常用來證明等式成立或數列通項公式的成立。數學歸納法歷來作為高中數學教學中的難點，僅有極少數的學生能夠真正掌握數學歸納法的原理、發現其中的規律并將其應用于不同形式的數學問題中。大多數學生對數學歸納法的掌握僅限于死記硬背公式及解題步驟的生搬硬套，沒有真正理解，不能做到靈活應用。

近年來，HPM在我國數學教學中發展迅速，許多關于HPM的研究性文章及綜述性文章出現于HPM領域，基本上包括了HPM的研究現狀及未來的發展趨勢。本文主要從HPM的視角對學生進行數學歸納法教學，進而研究教學后學生的認知。

二、學生在數學歸納法學習過程中的難點

數學歸納法作為數學教學的難點，讓每位教師又愛又恨，愛的是數學歸納法證明題規律的巧妙性，恨的是使學生理解數學歸納法的原理是多么的困難。數學歸納法證明一般包括運用所掌握的數學歸納法知識進行的基礎步驟和運用數學歸納法對規律進行的遞推步驟。對學生能力的要求較高，即在掌握一定數學歸納法知識的基礎上證明基礎步驟的能力，在掌握了數學歸納法一般規律及相關原理的基礎上證明遞推步驟的能力，在兩者的基礎上將題目的答案以正確形式展示出來的能力。鑒于以上種種能力要求，學生在學習數學歸納法的過程中出現很多困難和錯誤，導致對數學歸納法的認知水平存在較大差異。

首先，對數學歸納法的概念理解困難。很多學生對于由P（k）推導P（k+1）的概念不理解，經常會出現“若不知道P（k）能否成立，又怎樣去推導P（k+1）”這樣的問題。相關研究表明，很多學生認為遞推就是把一個關于n的等式，在等號的兩邊添加某些項使其變成一個關于n+1的相似等式。因此，他們將數學歸納法理解為由單個數學例子得出一個一般化結論的技術性操作。在解題過程中，大多數學生并不能理解數學歸納法的內涵，只是單純地套用一個例子的模式。學生學習數學歸納法的概念時，不能理解從P（1）跳躍到P（k）進而推導出P（k+1），解題過程中常常漏掉這一步，而丟掉這一步證明得到的結果是錯誤的。

其次，有些學生具有基礎步驟理解的能力，可以理解第一步n=1的情況，但是對于復雜一點的情況卻不能應用數學歸納法給予證明。第二步是數學歸納法教學中的難點，學生在學習的過程中容易形成思維定式，認為數學歸納法就是由P（k）成立去推導P（k+1）也成立，而沒有意識到這種情況有時候是不成立的，有些題目是由P（k）成立去推導P（k+2）也成立，這些疏忽會給學生對數學歸納法的學習帶來一定的困難。

再次，部分學生不能正確使用總和符號，不能正確使用基本代數論證，他們在遞推步驟中，應用n去代替k+1的過程中出現困難。除了上述提到的困難之外，Ernest把學生學習數學歸納法時出現的錯誤理解分為6大類。我國學者認為，這些困難與相關錯誤出現的主要原因是學生對數學歸納法的原理理解不夠透徹，而且在遞推步驟的證明過程中存在多變、不易操作及學生對歸納假設存在疑慮等原因，導致在使用數學歸納法進行數學題證明的過程中常常出現錯誤。

三、HPM視角下數學歸納法教學

為使學生更好地理解掌握數學歸納法的相關知識，培養學生應用數學歸納法解決數學問題的能力，應將數學知識的歷史演進脈絡（數學史）有效融合到數學歸納法教學中，使學生在理解相關數學知識的基礎上，更加科學準確地理解數學歸納法的原理與本質。將數學史融入數學歸納法的教學中，可以使教學更加符合學生的認知水平，避免數學歸納法的相關原理抽象地出現在學生面前，更利于他們對數學歸納法的理解，提高其學習興趣，激發探索數學知識的情趣，增強自信心。

融入HPM的數學歸納法教學案例。

引入歷史，呈現問題：在印度，有一個古老的傳說，大梵天創造世界的時候做了三根金剛石柱子，在一根柱子上從下往上按照大小順序摞著64片黃金圓盤。大梵天命令婆羅門把圓盤從下面開始按大小順序重新擺放在另一根柱子上。并且規定，在小圓盤上不能放大圓盤，在三根柱子之間一次只能移動一個圓盤。教師拿出課前準備好的漢諾塔模型，通過游戲引導學生探索問題，并進行歸納猜想，尋找其中的規律。

教師提出是否可以運用比較簡單的方式來代替這個煩瑣的遞進關系，進而運用遞推證明教師所提出的一般性規律。首先驗證n=1時規律的成立，再假設n=k時規律也成立，這時k大于等于1，由n=k時成立我們推導出n=k+1時也成立，那么得出該規律對于所有的正整數都成立。

提出數學問題，進行猜想驗證：比較n2與2n的大小。首先讓學生進行歸納猜想，老師通過引導使學生對猜想進行驗證。

通過以上的教學及學生思考，教師對數學歸納法的原理進行敘述。根據以上的解題思路，可以將其分為兩步，一是基礎步驟，也就是n取第一個值的時候，這里需要注意的是n的第一個取值不一定都是1，咱們將其設為n0，這時命題成立；二是遞推步驟，也就是假設n=k時，命題成立，n=k+1時，命題也成立，這時k必須滿足k大于等于n0，且屬于自然數，這時就可以將該命題從n=n0開始都成立，這就是我們今天要學習的數學歸納法。

最后通過練習來鞏固數學歸納法。

四、基于HPM視角數學歸納法教學后學生認知的研究

把古老的漢諾塔傳說引到數學歸納法教學中，可以有效激發學生的學習興趣及強烈的探知欲望，極短的時間內就可以讓學生經歷挫折的沮喪及成功的喜悅，親身體驗從猜想到結論規律論證的整個過程，進而培養學生科學嚴謹的數學學習態度及發散思維。課程融入數學史之后，學生普遍對數學歸納法的原理掌握較好。學生通過探究問題認識到了數學的價值，認識到數學問題存在于日常生活之中，來自于平凡的生活，也應用于平凡的生活，認識到數學知識的靈活性。同時也了解到歷史上的先人早就在應用這些知識，可以有效激發學生的探究欲望。在課堂中教師運用古代傳說引出問題，激發學生進行猜想，使課堂上的每一位學生都激情四射，積極進行思考。同時，也有利于其在日常生活中發現數學問題，激發學生的好奇心，增強數學邏輯思維能力；融入數學史的數學歸納法教學在一定程度上促進學生的情感態度及價值觀念的發展。傳統的數學歸納法教學及固定模式的題型，教給學生的只是標準的答案，使學生在問題解答的時候，只能依照固定的答題步驟，生搬硬套，不利于他們個性的發展及優勢的發揮。而融入數學史的教學方法，可以使學生展開想象，真正感悟數學學習的興趣、樂趣與價值，體會數學知識與日常生活的聯系，在獲得成功經驗的同時，增強學習數學的自信心。

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［3］曾文潔，左培培.HPM視角下探究性作業的設計與實踐［J］.上海中學數學，2013（3）：14-18.

［4］雷思琪.基于HPM視域下中學數學教師的專業發展［J］.西北成人教育學院學報，2014（5）：127-131.

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責任編輯：蘇航

G623.5

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1671-6531（2015）23-0094-02

夏芳/鎮江高等職業技術學校講師（江蘇鎮江212001）。