解分式方程謹防“四個失誤”

□李昊然

解分式方程謹防“四個失誤”

□李昊然

例1解方程

誤解：

方程兩邊同乘以（x＋1）（x－1），得2（x－1）＋3（x＋1）＝6，

整理得5x＝5，x＝1，所以原方程的根為x＝1.

剖析：解分式方程是通過轉化為整式方程來解的，其中有可能產生增根，因此必須檢驗.

正解：方程兩邊同乘以（x＋1）（x－1）得2（x－1）＋3（x＋1）＝6，

整理得5x＝5，x＝1.

檢驗：當x＝1時，（x＋1）（x－1）＝0，

因此x＝1是增根.所以原方程無解.

失誤二：解分式方程失根

例2解方程

失誤一：解分式方程漏檢驗

誤解：方程兩邊通分得

所以（x－4）（x－3）＝（x－5）（x－1），

即x2－7x＋12＝x2－6x＋5，所以x＝7，經檢驗x＝7是原方程的根.

剖析：上述解法錯在兩邊同除以（3x＋1）造成了失根，注意解方程，當兩邊同除以含未知數的整式時，要先假定此整式不等于零，之后還要討論此整式等于零的情況.

正解：方程兩邊分別通分得

所以（x－4）（x－3）＝（x－5）（x－1），即x＝7.

失誤三：解分式方程漏乘

例3解方程

誤解：去分母，得（x＋1）＋1＝4，解之得x＝2.

檢驗：當x＝2時，公分母x－5＝－3≠0，所以x＝2是原方程的根.剖析：去分母時，右邊的整式項“4”漏乘公分母（x－5）而導致錯誤.正解：去分母，得（x＋1）＋1＝4（x－5），整理得3x＝22，所以x=，經檢驗x=是原方程的根.

失誤四：解分式方程錯符號

例4解方程

誤解：方程兩邊同乘以最簡公分母3（x＋2）（x－2）得3（x＋2）＝3（x＋2）－6－x，以下步驟略.

剖析：去分母時有兩處錯誤：方程左邊一項乘以3（x＋2）（x－2）應等于－3（x＋2）；方程右邊第二項乘以公分母后應等于－（6－x）＝－6＋x.

正解：去分母，得－3（x＋2）＝3（x＋2）－（6－x），整理得7x＋6＝0，解之得x=-，經檢驗x=-是原方程的根.