2011江蘇高考數(shù)學(xué)卷第18題的多種證法及其推廣探討

王金玲

【摘 要】 近年來(lái)江蘇幾乎每年都會(huì)出關(guān)于圓錐曲線的定點(diǎn)及其定值的考題，因?yàn)槠渖婕暗搅吮姸嗟臄?shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)，可以用多種思路、方法進(jìn)行解答。本文針對(duì)2011江蘇高考數(shù)學(xué)卷第18題的證法及其數(shù)學(xué)價(jià)值進(jìn)行分析。

【關(guān)鍵詞】江蘇高考;數(shù)學(xué);證法

雖然2011年的高考已經(jīng)過(guò)去了三年，但是也為今后的數(shù)學(xué)教學(xué)指明了方向。圓錐曲線的定點(diǎn)、定值的問題涉及了幾何、代數(shù)、向量以及三角等多個(gè)方面的知識(shí)，因此有多種求解的思路與方法，能夠?qū)Υ痤}者的素質(zhì)、能力進(jìn)行較好的檢測(cè)，因此這也是歷年考題都會(huì)出現(xiàn)的類型，在日常數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中應(yīng)當(dāng)注重此類題目的教學(xué)。現(xiàn)筆者針對(duì)2011江蘇高考數(shù)學(xué)卷第18題的證法進(jìn)行分析， 盡可能的挖掘其數(shù)學(xué)價(jià)值。

一、一道試題的多種證法

2011江蘇高考數(shù)學(xué)卷第18題的題干如下：如圖1所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，M、N分別是橢圓 + =1的頂點(diǎn)，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交橢圓于P，A兩點(diǎn)，其中P在第一象限，過(guò)P作x軸的垂線，垂足為C，連接AC，并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)B，設(shè)直線PA的斜率為k。（1）（2）略;（3）對(duì)任意k>0，求證PA⊥PB。

證法一：設(shè)點(diǎn)法

由題意設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x0，y0），A的坐標(biāo)為（-x0，-y0），B的坐標(biāo)為（x1，y1），則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（x0，0）。通過(guò)“A，C，B三點(diǎn)是共線”、“點(diǎn)P，點(diǎn)B兩點(diǎn)均在橢圓上”，加以分析得出“PA⊥PB”。

證法二：直線法

將P、A、C以及直線AC采用代數(shù)式表示，通過(guò)帶入法得出kPA·kPB=k·（- ）=-1，因此PA⊥PB。

證法三：幾何轉(zhuǎn)化法

點(diǎn)A的坐標(biāo)為（x1，y1），B的坐標(biāo)為（x2，y2），則中點(diǎn)N的坐標(biāo)為（x0，y0），由此可得P的坐標(biāo)為（-x1，-y1），C點(diǎn)的坐標(biāo)為（-x1，0）。由“ACB三點(diǎn)共線”“點(diǎn)A，點(diǎn)B均在橢圓上”、“ON∥PB”，可得PA⊥PB。

本題考查的主要知識(shí)點(diǎn)為定值的問題，同時(shí)對(duì)學(xué)生解方程組的能力，運(yùn)算求解以及共線問題的解答都有所涉及，是對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)綜合性能力的考查。

二、同一試題的不同變法

根據(jù)本文所述試題，可以將條件和結(jié)論進(jìn)行變更，從而得到新的命題。

命題一，假設(shè)PA⊥PB，將AB連接，交x軸于點(diǎn)C，則求證PC⊥AB。

命題二，求證kPB·kAB=- 。

三、同一試題的多種推廣

1.命題二推廣的不同方法

推論A：橢圓 + =1（a、b均>0且b

推論B：雙曲線 - =1（a、b均>0），穿過(guò)（0，0）點(diǎn)的直線與雙曲線相交，交點(diǎn)為A、P。點(diǎn)B為雙曲線上不同于A、P兩點(diǎn)的任意點(diǎn)，求證：kBA·kPB= 。

下文為推論A的證明過(guò)程，推論B可仿照此解題過(guò)程完成。

證明：設(shè)P的坐標(biāo)為（x1，y1），A的坐標(biāo)為（-x1，-y1）B的坐標(biāo)為（x2，y2），因?yàn)?+ =1 - =1所以kBA·kPB= = =- 。

四、解題思路的推廣

根據(jù)上述分析不難發(fā)現(xiàn)，在同一題型、題目中，學(xué)生可以從多方面展開思考， 通過(guò)不同的思維切入點(diǎn)找到解題關(guān)鍵。事實(shí)上，數(shù)學(xué)這門學(xué)科本就是辯證思維的過(guò)程，同一題目，學(xué)生所用的方式、思維習(xí)慣不同，表現(xiàn)出的解題思路便會(huì)有所差異。一道好的數(shù)學(xué)題本應(yīng)如此，讓學(xué)生可從多角度著手，在無(wú)限與有限、退與進(jìn)、整體與局部中逐步探索，發(fā)現(xiàn)試題以及解題思路中的變化。

由此，作為一名高中數(shù)學(xué)教師，在日常教學(xué)中也應(yīng)注重學(xué)生解題思維的培養(yǎng)，一道題目不再單純采用同一方式講解，而應(yīng)激發(fā)學(xué)生思維，對(duì)學(xué)生展開引導(dǎo)性教育。目前教學(xué)上存在一個(gè)弊端，即在講解某一知識(shí)點(diǎn)時(shí)，會(huì)用當(dāng)下的新知識(shí)點(diǎn)解題，沒有重視解題對(duì)以往知識(shí)的綜合性運(yùn)用。根據(jù)本次研究不難發(fā)現(xiàn)，一道題目在解題思路上可呈多樣化，教師在教學(xué)中也應(yīng)借鑒這一高考題，引導(dǎo)學(xué)生在不同思路下解題，達(dá)到發(fā)散學(xué)生思維、綜合運(yùn)用知識(shí)的效果。

五、結(jié)論

本文主要針對(duì)江蘇省2011年高考數(shù)學(xué)試題中的某一典型題展開研究，通過(guò)分析其多種解題方法、不同解題思路，為今后教學(xué)以及對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)提供幫助。根據(jù)資料以及筆者自身的經(jīng)驗(yàn)可知，同一試題的證法可以是多種的，因此要求學(xué)生必須具備扎實(shí)的基本功，能夠靈活的運(yùn)用所學(xué)知識(shí)進(jìn)行解答。與此同時(shí)，改變題目中的條件和結(jié)論就能夠得到一個(gè)新命題，教師應(yīng)當(dāng)培養(yǎng)學(xué)生舉一反三的能力。同一試題的講解應(yīng)當(dāng)將其相關(guān)的推論，知識(shí)點(diǎn)等進(jìn)行系統(tǒng)的講解，使學(xué)生能夠具備較好的綜合素質(zhì)。

【參考文獻(xiàn)】

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[2]劉彩萍.高考數(shù)學(xué)中數(shù)學(xué)思想方法的研究及啟示[D].上海師范大學(xué)，2010

（作者單位：陜西師范大學(xué)

江蘇丹陽(yáng)第五中學(xué)）