解題思想策略在平面向量案例解答運用初析

張志華

【摘 要】本文作者簡要論述了數形結合、函數或方程、分類討論以及轉化等思想策略在平面向量案例解答中的運用。

【關鍵詞】平面向量;問題案例;解題思想策略;運用初探

解題思想策略是學習對象系統化、條理化觀察、探究、分析問題案例的方法手段。筆者認為，解題思想策略應用廣泛、意義深刻，在高中數學每一章節案例解析中都不同程度滲透和運用到解題思想策略。教者應強化解題思想策略內涵、應用等方面的教學。本人先結合平面向量案例解答活動，對解題思想策略運用進行簡要論述。

一、抓住平面向量外在形象性，運用數形結合解題思想策略

平面向量兼具了數字精確性的“數”特點和圖形直觀性的“形”特點，是“數”與“形”融合的統一體。平面向量案例解析中，利用平行四邊形、三角形法則、模的幾何意義、向量的方向（夾角）幾何圖形等進行探析，其中滲透了數形結合解題思想策略。

問題1：已知△ABC中，AB=a，AC=b。對于平面ABC上任意一點O，動點P滿足OP=OA+λa+λb，λ∈[0，+∞）。在動點P的運行軌跡中是否存在某一個定點？說出你的理由。

分析：該問題是要求出動點P的軌跡是否過某一個定點的內容，解析問題條件發現，僅從問題表面進行猜想和思考分析較難開展，需要利用平面向量的相關知識，結合問題的“OP=OA+λa+λb，λ∈[0，+∞）”條件，構造圖形，作出如圖所示的圖形，通過數形結合的思想進行問題案例解析活動，從而確定出動點P的軌跡特征。

二、抓住平面向量內涵豐富性，運用函數或方程解題思想策略

在解析平面向量案例過程中，應該利用平面向量與相關函數知識點之間關系，將解析平面向量問題轉化為函數方面案例，或采用構建方程（組）形式進行分析。

問題2：已知O為原點，點A、B的坐標分別為（a，o），（0，a），其中a為正數，點P是線段AB上的一點，如果 =t （0≤t≤1），試求出 · 的最大值是多少？

解析：根據題意可知，該問題是有關數量積與函數方面綜合應用的問題。需要運用向量的數量積坐標公式解答，可以利用向量與函數之間的內在聯系，轉化為求解函數最值的問題。已知 =t ，由此得到 = + = +t = +t（ - ）=（a，O）+t[（0，a）-（a，0）]=（a-at，at），得到 · 的值為a2（1-t）.由于此公式是一次函數關于t方面的解析式，切t∈[0，1]上減函數，因此得到 · 的最大值是a2。

評注：利用向量的運算將向量，借助于函數的知識進行解題分析探究活動。

問題3：現在分別以原點和點A（5，2）作為頂點，作等腰△OAB，已知∠B=90°，那么點B和 的坐標為多少？

分析： 本題是向量的數量積綜合運用方面的問題案例，主要是關于向量的性質和坐標表示三角形中的應用。通過分析問題條件可以知道，本題解答的關鍵是要準確求出B的坐標。根據題意，設B（x，y），由 | 并且 = ，可以列出關于xy之間的方程組，通過解方程組從而得到x，y的值，從而求出 的坐標值。

評注：在解三角形方面的問題時，要認真分析問題條件內容，掌握條件中已知的三角形邊和角的特征，如遇到直角與垂直方面的聯系，等腰和等距方面聯系，就要通過方程思想策略，構建方程組進行解答。

三、抓住平面向量解題嚴密性，運用分類討論解題思想策略

由于平面向量的特殊性，需要對平面向量問題進行逐一分類，認真甄別，討論研究，加以解決， 如因向量的方向不確定、向量的位置關系不確定、向量問題的敘述不明確、參數的最優值不明確等情況時，運用分類討論解題思想策略。

問題4：如圖所示，已知在一個平面上有三個坐標分別是A（-2，1）、點B（-1，3）、點C（3，4）。如果使ABCD四個點成為一個平行四邊形的四個頂點，試確定D的坐標值。

分析：本題要求出點D的坐標，并且由ABCD四個點成為平行四邊形ABCD的四個頂點。但通過對問題條件的研析發現，該問題未能明確頂點的順序，此時就需要進行分類討論的方法， 分別從以AC為對角線作平行四邊形ABCD1、以BC為對角線作平行四邊形ACD2B、以AB為對角線作平行四邊形D3ACB等三種情況進行討論，如圖所示。

評注：本問題是關于平面向量共線的充要條件與向量坐標運算之間的案例，主要培養學生向量的坐標理解和運用能力。當四邊形ABCD為平行四邊形時，較為容易想到，但問題條件中未能指出其D點的位置，以及平行四邊形的順序，需要通過分類討論解題思想進行討論。

四、抓住平面向量外延廣闊性，運用轉化解題思想策略

平面向量與其他知識點之間有著密切深刻的聯系，在分析解答問題案例時，可以將平面向量問題案例通過問題情境、特殊與一般、等價轉化等形式，轉變為解析其他知識點的問題。如在平面向量的夾角、向量的平行、向量的垂直關系等案例解析中，都要運用到轉化解題思想策略。

問題5：在水平的路面上，王洪和李明同時拉車，王洪用45N的力F1向東拉車。小明用60N的力向北拉這輛車，試求他們兩個人的合力F是怎樣？

分析：通過對本題條件以及解題要求等內容的分析，可以發現，該問題主要是考查向量的加法運算。本題看似是一道物理方面的案例，實際是關于向量合成的問題。需要通過轉化手段，把物理方面問題變為數學方面問題，根據向量平行四邊形法則以及解三角形等方面的知識進行問題的求解。

評注：解答該案例時，應該利用平面向量的平行四邊形法知識，將其轉化成解三角形方面的案例。

值得注意的是，解題思想策略實際運用過程中，不是孤立、單獨的存在，而是相互融合，滲透于同一問題案例解析之中，需要高中學生在實際解析實踐中認真研究、深刻探析。

（作者單位：江蘇省海門中學證大校區）