非線性囚禁離子振動模式互關聯函數的研究

王中結，方 旭

(安徽師范大學物理與電子信息學院，蕪湖241000)

引 言

近年來，激光束操控囚禁離子的研究已成為非常活躍的研究領域。囚禁離子系統不僅在工程的量子態方面是非常重要的［1-2］，而且在諸如量子隱形傳態和量子計算中有重要的應用價值［3-5］。在Lamb-Dicke極限下，囚禁離子與經典駐波光場的相互作用通常是由類似于腔量子電動力學的Jaynes-Cummings(J-C)模型描述。在J-C模型基礎上，為制備各種非經典狀態，人們提出了許多方案，例如Fock態的制備［6］、糾纏態的制備［7］、壓縮相干態的制備［8］、糾纏態的制備［9］、激發薛定諤貓態的制備［10］、簇態的制備［11］等。但是，在遠離 Lamb-Dicke極限下，囚禁離子與經典駐波光場的相互作用必須由非線性J-C模型來描述。近來，在非線性J-C模型基礎上，人們提出了制備非線性相干態的方法［12］，并對二能級囚禁離子的量子動力學進行了研究［13-15］，如參考文獻［13］中，作者研究了二能級囚禁離子的非線性J-C模型，分析了非線性對離子布居數的影響。然而，在關于囚禁離子的非線性J-C模型的研究中，人們大多集中考慮二能級囚禁離子與駐波激光束的相互作用。

本文中研究了單個三能級2維囚禁離子與經典駐波激光場的相互作用，得到了這個非線性J-C模型的嚴格解，數值分析了2維囚禁離子的振動運動之間的交叉關聯效應。結果表明，非線性參量對交叉關聯效應有明顯地影響。

1 模型及其演化算符

考慮囚禁在一個2維簡諧勢阱中單個三能級離子，與兩束分別沿x和y方向的駐波激光場相互作用，一束激光場的頻率為 ωlaser，1，另一束頻率為ωlaser，2。囚禁離子由兩個基態和一個激發態組成，基態和〉的能量分別為 ω1和 ω2，激發態的能量為 ω3，如圖1所示。

Fig.1 Level scheme of the trapped ion interacting with two standing wave laser fields

隨著應用的旋轉波近似，系統的哈密頓量為(令=1):

式中，ai(a+i)(i=1，2)表示囚禁離子沿x和y方向的質心振動運動的湮滅(產生)算符，νi是囚禁頻率，φi(i=1，2)是駐波激光場的相位(沿x和y方向)，gi是耦合常數，ηi=ki是Lamb-Dick參量，m是囚禁離子的質量，ki是駐波激光場的波數。

在下面的計算中，假定 g1=g2=g，φ1=φ2=φ。在相互作用圖像中，相互作用哈密頓可表示為:

式中，Δ1= ω3- ω1- ωlaser，1，Δ1= ω3- ω2- ωlaser，2。為計算方便起見，令 Δ1=ν1，Δ2=ν2。應用下列公式:

其中，

容易證明Aj和A+j算符滿足下列的對易關系:

式中，δij=1(i=j)，δij=0(i≠j)。應當指出哈密頓量(4)式描述了一個三能級2維囚禁離子與兩束經典駐波激光場相互作用的非線性模型，并對任意值的Lamb-Dicke參量η1和η2都有效。

在原子態表象中，推導由哈密頓(4)式確定的演化算符UI=e-iHit的矩陣元，結果如下:

2 二模交叉關聯效應

在這一節中，研究囚禁離子的沿x和y方向的振動運動之間的交叉關聯效應。歸一化的二模交叉關聯函數定義如下:

如果Ga1a2＜1，就說模式a1和模式a2是反關聯的，如果 Ga1a2＞1，就說兩者是關聯的，即囚禁離子的振動運動具有非經典的性質。為了數值計算交叉關聯函數，首先假定囚禁離子初始處在激發態3〉，沿x和y方向的質心振動運動分別處在相干態

式中，Fn為算符a1和a2的本征值。應用(7)式，容易計算囚禁離子任意時刻t的態矢為:

應用(10)式，可以計算(8)式各力學量的期望值為:

Fig.2 Cross-correlation function Ga1a2versus dimensionless time τ=gt with initial average quantum number α 2=1．0，φ = π/2 and various parameters η1，η2

將(11)式代入(8)式，可得交叉關聯函數Ga1a2隨時間的變化。定義無量綱時間τ=gt，畫出Ga1a2在不同的Lamb-Dicke參量條件下隨無量綱時間的變化曲線，如圖2所示。從圖2中可以看出，在初始平均量子數=1．0情形下，交叉關聯函數Ga1a2在某些時段對于任意的Lamb-Dicke參量都小于1，這表明模式a1和a2之間存在反關聯。這種反關聯效應容易受Lamb-Dicke參量η1和η2的影響。隨著η1和η2的增大，反關聯效應得到增強。然而，進一步增大η1和η2，反關聯效應反而減弱。這說明Lamb-Dicke參量對反關聯效應的影響是復雜的。另一方面，交叉關聯函數Ga1a2在某些時段對于任意的Lamb-Dicke參量都大于1，這表明模式a1和a2之間存在關聯，即存在非經典效應。Lamb-Dicke參量對這種關聯效應有明顯的影響。圖2表明，Lamb-Dicke參量η1和η2越大，兩模間的關聯效應越強。作者進一步研究了初始平均量子數對關聯效應的影響，如圖3和圖4所示。發現隨著初始平均量子數的增大，反關聯效應將減弱直至消失。

Fig.3 Cross-correlation function Ga1a2versus dimensionless time τ=gt with initial average quantum number =2．0，φ = π/2 and various parameters η1，η2

Fig.4 Cross-correlation function Ga1a2versus dimensionless time τ=gt with the initial average quantum number =5．0，φ = π/2 and the various parameters η1，η2

3 討論

下面提出一個可能的實驗構型［16］。將一個40Ca+置于一個強射頻的Pauli勢阱中，離子在勢阱中沿 x和 y方向的振蕩頻率取為 ν1=ν2≈70.3MHz，并由沿x和y方向的駐波激光場驅動。離子采用受激Raman激光冷卻技術。離子的兩個能級基態2S1/2和亞穩態2D5/2(壽命約1s)分別記為和，另一個能級2P1/2記為。這里，給出一個測量離子振動模式的交叉關聯函數的方法。用一束與x軸成45°的方向傳輸的經典行波光場將囚禁離子從基態激發到高激發態，系統哈密頓為:

可以看出，離子從基態躍遷到高激發態的幾率的時間導數正比于〈a+1a+2a1a2〉，即正比于二模交叉關聯函數［17］。至此，利用熒光光譜技術可以測量離子振動模式的交叉關聯函數，參見參考文獻［18］。

4 結論

研究了一個2維三能級囚禁離子與兩束經典駐波激光場的相互作用的非線性J-C模型。求出了這個非線性J-C模型的嚴格解。分析了囚禁離子的兩個振動模式之間的交叉關聯函數。數值計算結果表明:Lamb-Dicke參量(表征非線性效應，這個參量越大，非線性越強)對交叉關聯有明顯地影響;當初始平均量子數較小時，反關聯效應隨Lamb-Dicke參量的增大先是也增大然后減弱，但是關聯效應卻隨Lamb-Dicke參量的增大一直增強;隨著初始平均量子數的增大，反關聯效應會減弱直至消失。

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