數學實驗教學：靜態數學觀與動態數學觀的融通

喻 平，董林偉，魏玉華

（1．南京師范大學 課程與教學研究所，江蘇 南京 210097；2．江蘇省中小學教學研究室，江蘇 南京 210013）

數學實驗教學：靜態數學觀與動態數學觀的融通

喻 平1，董林偉2，魏玉華1

（1．南京師范大學 課程與教學研究所，江蘇 南京 210097；2．江蘇省中小學教學研究室，江蘇 南京 210013）

數學觀經歷了由靜態到動態的演變過程．靜態數學觀下的傳統的數學教學偏重于結果、思維、論證與證實，動態數學觀則是把數學看作處于動態發展過程中的知識，從而一定包含錯誤、嘗試、改正和改進的過程．數學實驗教學充分體現了過程與結果、操作與思維、實驗與論證、證偽與證實的有機融合，實現了靜態數學觀與動態數學觀的融通．

靜態數學觀，動態數學觀；數學實驗；數學教學

數學觀根植于數學哲學，是人們對數學本體和數學發展的認識．數學觀的演變經歷了由關注知識本身到關注實際教學活動，即由靜態的、絕對主義數學觀到動態的、可誤主義數學觀的發展過程．所謂動態的數學觀，是把數學看作處于動態發展過程中的知識，從而一定包含錯誤、嘗試、改正和改進的過程．動態的數學觀強調知識的不確定性和知識的發展性，關注人類創造知識的環境和數學的發展歷程．動態的數學觀有以下4個特征：一是過程性．動態的數學觀將數學看成是由問題、語言、方法和命題組成的一個邏輯鏈．數學產生于問題，而問題的提出離不開語言的描述，問題的解決又需要建立數學模型（方法），最后才能形成結論（命題），數學教學需要展示這個完整的過程．二是問題性．數學源于問題，問題是數學產生的邏輯起點，因此數學教學應圍繞著數學問題來展開研究，而不是告訴學生已經抽象、概括了的結論．三是發展性．數學的發展是證偽與證實相互交織、螺旋前進的過程，而不是絕對真理的靜態堆積．四是方法性．數學結論的發現存在多種途徑，如觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等，數學教學應讓學生掌握研究問題的不同方法．

數學實驗是指通過動手動腦“做”數學的一種數學學習活動，是學生運用有關工具（如紙張、剪刀、模型、測量工具、作圖工具以及計算機等），在數學思維活動的參與下進行的一種以人人參與的實際操作為特征的數學驗證或探究活動．因此，數學實驗著力于學生的學，鼓勵學生以類似科學實驗的方式進行主動探索，強調“從做中學”、“從實驗中學”，通過學生主動的“做”或“實驗”等探究過程，掌握數學知識，積累基本的活動經驗，培養創新精神、動手能力和解決問題的能力．數學實驗教學將過程與結果、操作與思維、實驗與論證、證偽與證實有機融合，實現了靜態數學觀與動態數學觀的融通，使得數學教學變得完整而有活力．

1 數學實驗教學體現了過程與結果的統一

“重視過程，還是重視結果”是數學教學中經常討論的問題．現代認知心理學將知識分為陳述性知識和程序性知識，這兩種知識本質都是結果性知識，前者是事實性知識，后者是規則性知識．研究者把由過程性體驗形成的經驗性知識稱為過程性知識，這是對知識分類的一種補充[1]．所謂過程性知識是指伴隨數學活動過程的體驗性知識，體驗分為4個階段：（1）對知識產生的體驗．體會知識產生的緣由，明晰新舊知識之間的關聯和因果關系．（2）對知識發展的體驗．體悟知識發展的動因，包括數學學科的內部因素和促進知識發展的外部因素，習得探究數學問題的方法（邏輯的和非邏輯的）和策略．（3）對知識結果的體驗．領會蘊涵在知識中的數學思想方法，感受數學結構的美．（4）對知識應用的體驗．體會數學應用的廣泛性，積累解決問題的認知策略和元認知知識，形成自我監控的意識和習慣．

將知識分為結果性知識和過程性知識，對應到數學教學來看就應當有結果性知識的教學和過程性知識的教學．結果性知識的教學注重讓學生理解數學基礎知識，掌握數學基本技能，即理解基本結論并能用這些結論去解答數學問題．過程性知識的教學則關心學生對知識產生和發展的體驗，這種體驗不僅能明晰知識發生發展的來龍去脈，而且會形成經驗，所謂“數學活動經驗”的形成和發展主要來自于過程性知識的習得．因此，完整的數學教學應當是結果性知識教學與過程性知識教學的結合，是結果與過程的融通，單純偏重過程取向的教學或結果取向的教學都存在一定的片面性．

數學實驗教學是將抽象理論變為直觀化、可視化的一種教學方式，其過程是學生在教師的引導下，親身經歷一個概念、規則的形成過程，通過動作思維和邏輯思維感悟知識發生過程、理解知識結果．數學實驗教學將知識背后的發現和探索過程以合理的方式展現出來，充分體現了動態數學觀的過程性特征；另一方面，對學生而言通過探究經歷獲得的知識會更加穩固地貯存于自己的認知結構中，強化了知識的靜態特征．例如在“探究多邊形外角和”一節中，通過對三角形、四邊形、五邊形度量、拼圖、轉筆等一系列的探究活動，讓學生在過程探究中獲得基本活動經驗，并獲得“多邊形的外角和為360°”的結論[2]．

因此，數學實驗教學本質上是以數學問題為出發點，以獲得數學結果為目標，充分展示探究過程的實踐活動，是過程與結果的完美結合和辯證統一．

2 數學實驗教學體現了操作與思維的統一

傳統的觀念認為，數學是一門純粹的演繹科學，數學活動也僅是單純的思維活動．其實，數學從它誕生之日起，就與人們的生產實踐息息相關，許多數學理論的產生往往源于生活．回顧數學的發展歷程，實驗活動占有非常重要的地位．

在傳統的數學教學中，教師注重知識的系統性和邏輯的嚴謹性，學生主要是記住數學結論，然后進行題海式的訓練，對于學生的動手操作能力則關注較少．此外，教師對學生思維能力的培養也僅限于邏輯思維和抽象思維，而對形象思維，直觀思維、創新思維、發散思維等也重視不夠．動態的數學觀強調思維方式的多樣性，有效的數學教學不能單純地依靠模仿和記憶，也不能完全靠抽象的思維去推理，動手操作、直觀感知也是獲得知識的重要手段．《全日制義務教育數學課程標準》（2011年版）提出：“數學教學要培養學生的基本活動經驗”，“動手實踐也是學習數學的重要方式”[3]．此外，知識再現的“金字塔規律”顯示：講授、閱讀、視聽結合、演示、全組討論、實驗操作、快速應用并向他人講授這7種學習方式中，知識復現效果依次遞增，即講授法的知識再現效果最差，而實驗操作和快速應用并向他人講授的效果最好．

數學實驗教學將動手操作和動腦思考有機結合在一起，實踐性和操作性是它的外部特征，通過實驗活動促進學生思維的發展則是數學實驗的核心和最終歸宿．抽象概括能力、推理能力、判斷能力、探索能力都是數學思維能力的要素，在一個數學實驗中，觀察與分析交織，抽象思維與形象思維并存，從實驗前的猜想，實驗中的思考，以及實驗后的總結，都是發展學生思維的優良環境，同時也為培養學生創造思維力提供了空間．學生從可視化的數學內容入手，通過動手操作、動腦思考，逐步對直觀的知識進行抽象，挖掘和感悟實驗背后所蘊含的數學原理、數學方法，最后獲得數學結論，做到了將操作與思維的完美結合．例如，在“探索三角形三邊關系”的實驗中，讓學生嘗試用不同長度的木棒搭三角形，在一系列的操作中，學生必然面臨“搭成”和“搭不成”兩種情況，進而引發學生思考：為什么有的能“搭成”而有的“搭不成”？實驗體現了操作引領思維、思維修正操作的協同過程，這一過程，使學生的探索能力、推理能力、判斷能力、抽象概括能力都得到了訓練和提高．

3 數學實驗教學體現了實驗與論證的統一

從數學認識論的角度來分析，實驗的思想來源于數學經驗主義，論證的思想來源于數學邏輯主義．現代數學經驗主義把經驗理解為自然科學的實驗，因為自然科學的實驗已超出感性直觀限定的范圍，包含了一定的理性成分，因此有學者將其稱為“理性經驗”．顯然，經驗主義強調感覺、觀察、實驗在數學發展中的作用．邏輯主義學派十分注重邏輯在數學理論中的作用，甚至把數學與邏輯等同起來，羅素認為：“邏輯即數學的青年時代，數學即邏輯的壯年時代，青年與壯年沒有截然的分界線，故數學與邏輯證明亦然．”[4]經驗主義和邏輯主義分別從不同視角審視數學，都有描述數學本質的積極因素，但也有各自的片面性．數學理論的形成，最初源于人們對現實原型的性質的分析和探索，從中積累經驗，即使是從數學自身體系中提煉問題，也需要人們的經驗作為支撐，這是一種理性的經驗．而邏輯是檢驗數學真理的間接標準，是數學論證的工具，是數學知識理論化和系統化的手段，可以說，離開了邏輯，數學就不能發展．

受靜態數學觀的影響，傳統的數學教學多傾向于是論證．認為數學的研究對象是形式化的思想材料，整個數學是一個形式化的邏輯體系．數學是概念、公式、定理、法則等“絕對真理”的總和，數學學習就是套用公式去計算，或者對運用定理對命題進行嚴格的邏輯論證．這種論證取向的數學教學無疑壓縮了學生數學學習的過程．動態的數學觀則認為數學結論的發現存在多種途徑，很多結論就是來源于實驗的發現．波利亞指出：數學有兩個側面，一方面是歐幾里得式的嚴謹科學，從這個方面看數學是一門系統的演繹科學，但另一方面，創造過程中的數學，看起來卻像是一門實驗性的歸納科學．歐拉說得更為直接“數學這門科學需要觀察，也需要實驗”．

實驗與論證應是數學教學不可缺少的兩個環節，通過實驗得到猜想，再通過論證去證實或證偽猜想，這樣才是完整的數學教學．數學實驗教學可以讓學生在“做數學”的過程中體會知識的來源，以及知識發生、發展的過程．將課本上完美無缺的結論，還原成它原本的形態，讓學生在做數學的過程中感受探索、發現的樂趣．但一個好的數學實驗不會僅停留在動手操作層面，它必然是實驗與論證的統一．即先讓學生通過動手操作，獲得直觀感知，再將數學內容進行抽象，獲得數學猜想，最后再通過嚴謹的方式對猜想進行論證．例如：在“探索三角形的內角和”一節，教師可以提供剪刀，量角器等實驗工具，放手讓學生去探究，學生很容易通過測量或者拼圖的方法得到結論，這樣的實驗過程是必須的，讓學生在動手操作中感受探究的樂趣，獲得成功的體驗．但接下來，教師應使學生明白無論是測量還是拼圖，都是存在誤差的，此時再拋出問題：如何進行嚴格的論證？這樣便將實驗與論證結合在一起了．

4 數學實驗教學體現了證偽與證實的統一

證實就是證明一個問題的真實性．證偽思想則來源于波普爾的證偽主義．他認為能被經驗所證實的僅是個別的結論，但命題是可以用經驗來證偽的，因為任何反例的得出都是對結論的否定．

自古以來，人類就對真、善、美有著執著的追求，這種執著延伸到教育領域，就形成了對課程和教學證實的追求，由此就形成了教育研究者、一線教師、以及學生不健全的認識信念：認為數學教學就是不斷地證實過程．從課程的角度來看，證實是教材編寫的指導思想，教材中的數學知識編織成一個龐大的、嚴密的邏輯體系，在這個體系下，概念、命題、定理、公式、法則等都以準確無誤的結論的形式出現．從教學的角度來看，教師往往依據教材，想方設法地將教材中的確定性知識傳遞給學生，讓他們相信知識是正確的，是不容置疑的真理，因此教學方法也多采用論證的方式，即通過嚴密的推理，得到最終的結論．而這里所謂的推理過程也是預先設計好的，學生的工作就是沿著既定的路線走完而已，之后便進入到知識的應用環節．

由于我們的教學總是能夠對一個又一個命題給予無懈可擊的解釋，對事物美的標準進行完美無瑕的刻畫，對真理的絕對性做出嚴格縝密的證實，因而在學習者心中樹立了一種知識至上、迷信追隨的信念：由一代又一代人創造和傳承的知識其正確性無可非議，科學知識的真理性不容置疑，學習的任務就是虔誠地接受知識、領會知識和應用知識．長此以往，學習者會形成二元論色彩濃烈的絕對主義知識觀，把知識作為結果的、靜態的成品看待[5]．

客觀地說，證實只是部分地解決了“是什么”和“為什么”兩個問題，因為在解決“為什么”這個問題時，方法是單一的論證．不提及問題產生的緣由，探尋和解決問題的過程、數學文化等要素．這種單一的教學方式，必然導致教學目標的偏失和某些教學功能的缺失，導致學生思維定勢，發現精神、懷疑精神也會慢慢消磨殆盡，最后學生們變得沒有問題意識，形成一種真理至上，絕對主義的數學觀．顯然這樣的教學是不完整的，這樣的數學觀也不全面．

動態的數學觀則認為，數學不是絕對真理的堆積，數學是在證偽與證實的交替中，螺旋向前發展的．數學教學應是由不確定知識到確定知識的漸進過程．在探尋結論的過程中，證偽起著非常重要的作用，在確定結論的時候，證實又發揮著不可替代的作用．因此，如何兼顧到證實與證偽是研究者應當慎重思考的問題．首先，課程的設計理念需要改革，雖然這不是一朝一夕可以完成的．除此之外，教師可以稍微轉變自己的教學理念和教學方式，在傳統證實模式的課堂中適當滲透證偽的思想和方法，讓學生體會學習數學的方法不全是證實，也可以通過證偽進而去證實．數學實驗教學有助于實現證偽與證實相結合這一目標，例如：七年級下冊第十二章中，有這樣一個數學實驗：圖1(a)是一張8×8的正方形紙片，把它剪成四塊，按圖1(b)重新拼合，這4塊紙片能拼成一個長為13、寬為5的長方形嗎？

圖1 正方形紙片剪拼實驗

要回答這個問題，教師可以通過猜想—證偽—證實3個環節來實施教學．教師可以引導學生先對圖1(a)、圖1(b)進行觀察，學生一般會得出“可以拼成”的猜想，接著讓學生用動手操作的方式，將圖1(a)中正方形按如圖所示的虛線分割，再按圖1(b)的方式拼合，看是否能夠得到圖1(b)，此時學生會驚奇地發現無法拼成，這是證偽．接著讓學生思考，為什么不能拼成圖1(b)？經過思考，學生會發現圖1(a)中正方形的面積是64，圖1(b)中長方形的面積為65，面積不相等，因此不能拼成圖1(b)，這就用邏輯的方式證實了拼圖的結果，這是證實．

5 結 語

數學實驗是數學發展的必然產物，與此對應，數學實驗教學是數學教學方法中必不可少的元素．基于動態數學觀和靜態數學觀相互融通的數學實驗教學，實現了過程與結果的統一、操作與思維的統一、實驗與論證的統一、證偽與證實的統一，修補了數學教學過程的殘缺環節，在一定程度上消解了教學中的幾對基本矛盾[6]，使數學教學變得完整而富有生機，回歸到教學的本源，體現出教學的辯證性特征．

[1] 黃燕玲，喻平．對數學理解的再認識[J]．數學教育學報，2002，11（3）：40-43．

[2] 董林偉．數學實驗手冊[M]．南京：江蘇科技出版社，2013．

[3] 中華人民共和國教育部．全日制義務教育數學課程標準（2011年版）[M]．北京：北京師范大學出版社，2012．

[4] 莫紹揆．數理邏輯初步[M]．上海：上海教育出版社，1980．

[5] 喻平．教學的應然追求：求是與去偽的融合[J]．教育學報，2012，（4）：28-33．

[6] 喻平．教學中幾對矛盾的對峙與融通[J]．教育理論與探索，2008，（4）：48-51．

Laboratory Teaching in M athematics: the Combination of Static M athematical Concept and Dyna m ic M athematical Concept

YU Ping1, DONG Lin-wei2, WEI Yu-hua1
(1. Research Institute of Curriculum and Teaching, Nanjing Normal University, Jiangsu Nanjing 210097, China; 2. Teaching Research Office Jiangsu Provincial Department of Education, Jiangsu Nanjing 210013, China)

The mathematical concept has experienced from the static to the dynam ic evolution process. Under the static mathematical concept of the traditional mathematics teaching focus on results, thinking, reasoning and proof, while the dynam ic mathematical concept regards mathematics as the know ledge in the process of dynamic development, thus must contain errors, try, the process of correction and the process of improving. Mathematics experiment teaching embodies the process and results, operation and thinking, experiment and demonstration, falsified and confirmed, so Mathematics experiment teaching implements the combination of static mathematical view and dynamic mathematical view.

static mathematical concept; dynam ic mathematical concept; mathematics experiment; mathematics teaching

G622

：A

：1004–9894（2015）01–0026–03

[責任編校：周學智]

2014–09–04

江蘇省教育科學“十二五”規劃重點資助課題——初中數學實驗的理論與實踐研究（B-a/2013/02/083）；教育部人文社會科學研究一般項目——中小學教師認識信念取向及其對教學行為的影響研究（12YJA880153）

喻平（1956—），男，重慶人，教授，博士生導師，主要從事數學教育研究．