兩點支承結構多點輸入地震響應簡化算法與精度分析

趙 博， 王元清， 陳志華， 石永久， 江 洋

(1. 天津大學 建筑工程學院，天津 300072； 2. 清華大學 土木工程系 土木工程安全與耐久性教育部重點實驗室，北京 100084)

兩點支承結構多點輸入地震響應簡化算法與精度分析

趙 博1， 王元清2， 陳志華1， 石永久2， 江 洋2

(1. 天津大學 建筑工程學院，天津 300072； 2. 清華大學 土木工程系 土木工程安全與耐久性教育部重點實驗室，北京 100084)

多點輸入計算中，在考慮所有耦合項的完全二次項(CQC)組合法基礎上，給出忽略相關耦合項的平方和平方根(SRSS)近似算法，并針對兩點支承結構的特殊性，提出該類型結構擬靜力響應的簡化計算方法。以典型的兩種兩點支承結構為算例，分析SRSS近似算法的精度。計算結果表明，對于兩點支承結構而言，SRSS算法的誤差主要是因為忽略擬靜力和相對動力耦合項所致，而忽略振型耦合項的誤差較??；行波效應越強，近似算法的誤差越大；但從實際工程結構的計算結果來看，在常見的波速范圍內，兩種近似算法的位移、內力的計算誤差都分別在10%、15%以內。因此采用SRSS近似方法用于此類結構多點輸入地震響應的計算是可行的。

地震響應；多點輸入；兩點支承結構；平方和平方根法

地震動存在行波效應、不相干效應、衰減、局部場地效應等空間效應[1]，當結構的平面尺寸較大時，地震動的空間變化效應將導致結構不同支座運動不一致，由此引出了大跨結構的多點輸入地震響應問題。大跨度結構的結構形式和支承形式多種多樣，有周邊支承的雙向大跨度結構，如大跨度網架、球面網殼等，也有單方向跨度較大的橋梁、拱、門式剛架等結構類型?，F有研究結果表明，多點輸入下不同類型結構的響應規律有很大的區別，針對具體結構類型開展多點輸入響應研究是比較合理的[2]。兩點支承結構是大跨度結構中支承形式最為簡單的結構，計算多點輸入效應時只需考慮兩個不一致的支座地震動輸入，因此多點輸入結構響應規律也較簡單，已有較多學者對不同結構形式的兩點支承結構多點輸入規律展開了研究[3-6]。

事實上，由于兩點支承結構大多形式簡單，動力特征明顯，動力計算中忽略部分耦合項對結果精度的影響可能較小。因此首先以考慮所有耦合項(包括擬靜力和相對動力耦合項、相對動力振型耦合項)的完全二次項(CQC)組合法為基礎，給出不考慮或部分考慮耦合項的平方和平方根(SRSS)組合法的近似計算式，并根據兩點支承結構支座位移產生的擬靜力響應只與兩支承的相對位移有關這一特點提出適用于兩點支承結構的擬靜力響應簡化計算方法，計算量僅為原來的1/4，但并不影響計算精度。以兩個典型的兩點支承結構(拱桁架和門式桁架)為例，驗證所提出簡化算法的計算精度。

1 多點輸入隨機響應

1.1 CQC精確算法

假設結構具有n個自由度和m個支座約束自由度，在地震多點輸入下，任意響應z可以寫成擬靜力響應zs和相對動力響應zd之和

z=zs+zd

(1)

(2)

(3)

式中：uk為第k個支座位移，ak為第k個支座單位位移引起的結構靜力響應；ski為第k個支座位移引起的第k階歸一化振型坐標，bki為第k支座單位位移引起的第i階振型響應。

Der Kiureghian等[7]基于隨機振動理論推導出與式 (1)對應的響應功率譜、均方差σz、極值期望值(以下簡稱最大值)zmax等計算公式：

(1)響應功率譜Szz

其中右端三項分別代表擬靜力響應功率譜，擬靜力相對動力耦合項的互功率譜，相對動力響應功率譜。

(4)

(5)

(2) 響應均方差σz

式(4)在頻域內積分，得到響應均方差σ其中σuk、σski、σslj分別是相應項的均方差，而ρukul、ρukslj、ρskislj表示各項相關系數，均由積分得到。

(3) 最大值zmax

零均值平穩隨機過程的最大值zmax可由峰值系數pz和均方差σz的乘積估計

zmax=pzσz

(6)

于是，可由式(5)和式(6)計算響應最大值

(7)

其中:uk,max、slj,max等為各對應項的極值期望，puk、pslj為相應的峰值系數。

1.2SRSS近似算法

前述精確計算公式由隨機振動理論推導而來，考慮了所有項之間的耦合作用，精度較高，但計算量很大。事實上，在某些特殊情況下，也可作一定簡化，本節引入兩個假定條件：

(Ⅰ) 結構自振頻率大于0.5 Hz，即周期小于2 s。文獻[7]指出，對于此類結構，式(5)、式(7)中擬靜力和相對動力的耦合系數ρukslj很小，忽略該項帶來的誤差可能不大。

(Ⅱ) 結構自振頻率分散。當結構頻率分散時，振型耦合程度也較低，式中ρskislj(當i≠j時)也可忽略。

由此可定義兩種近似計算方法：

(1) 近似方法一

假設僅滿足假定條件(Ⅰ)，忽略擬靜力和相對動力的耦合項，此時式(4)、式(5)、式(7)分別簡化為

(8)

(9)

(10)

其中式(9)、式(10)可以理解為：分別求解擬靜力響應和相對動力響應，總響應由兩者的平方和平方根(SRSS)組合方法得到。

(2) 近似方法二

假設同時滿足上述假定條件(Ⅰ)和(Ⅱ)，忽略相對動力響應中的振型耦合項，上述各式進一步簡化為

(11)

(12)

(13)

式(12)、式(13)的計算步驟為：分別求解擬靜力響應和各階振型坐標的相對動力響應值，再將所有項采用SRSS方法組合得到總響應。

2 兩點支承結構擬靜力響應簡化計算

對于兩點支承結構而言，支座位移產生的擬靜力響應只與兩支承的相對位移有關，前文各式中擬靜力響應還可進一步簡化。觀察式(4)右端第一項，即擬靜力功率譜Szszs表達式

(14)

對于兩點支承結構，式中:a2= -a1。展開式(14)

(15)

其中右端括號內為兩支承處地面相對位移Δu的功率譜

SΔu=Su1u1(ω)-Su1u2(iω)-Su2u1(iω)+Su2u2(ω) (16)

對于同時考慮行波效應和不相干效應的情況，式(16)可由以下解析式快速計算得到

(17)

式中:d為兩點間距，Su為地面位移功率譜，ρ(ω)和vapp分別為兩點間相干函數和地震波視波速。

因此，擬靜力響應可由地面相對位移計算

(18)

(19)

(20)

采用簡化計算方法后的式(18)的計算量僅為式(14)的1/4。

根據前述推導過程，概括出兩點支承結構同時采用擬靜力響應簡化計算法和SRSS組合法的計算步驟：

(1)根據結構跨度和多點地震動參數計算兩點支座處地面相對位移功率譜SΔu(式(17))，積分求得相對位移均方差σΔu、最大值Δumax。

(2) 固定一個支座，在另一支座處施加與步驟(1)得到的相對位移值相等的位移，靜力求解，計算結構擬靜力響應(式(18)～(20))。

(3) 計算結構相對動力響應，可以選擇是否考慮振型耦合項。

(4) 采用SRSS法組合擬靜力響應和相對動力響應，計算結構總響應。

3 算例分析

3.1 多點地震動參數

假定地震波傳播和振動方向均沿結構跨度方向，考慮多點輸入效應中的行波效應和不相干效應：

(1) 行波效應。在100～1 600 m/s范圍內取10個視波速vapp進行計算：100、125、150、175、200、250、300、400、800、1 600。

(2) 不相干效應。采用常用的Luco-Wong[8]

(21)

圖1 地震動功率譜密度函數曲線Fig.1 PSD curve of ground motion

一致地震動加速度功率譜Sa(ω)采用Clough-Penzien譜[9]

(22)

其中:譜參數ωg= 13.96 rad/s，ζg= 0.8，ωf=1.396 rad/s，ζf= 0.8，S0=7.123 cm2/s3[10]。地震動加速度和位移功率譜曲線如圖1所示。

3.2 拱桁架

選取鋼管拱桁架模型如圖2所示?？缍?00 m，矢高25 m，兩端鉸支；采用倒三角形截面，截面寬度均為2 m，縱向節間長度約為2.8 m；上下弦選用Φ236×12圓鋼管，腹桿選用Φ130×5圓鋼管；重力荷載以構件自重和節點集中質量的形式施加，每個節點上定義500 kg的集中質量；結構阻尼比0.035。

圖2 拱桁架模型Fig.2 Model of arch truss

圖3是視波速vapp=400 m/s時，分別采用精確算法和兩種近似算法計算得到的上弦桿節點相對位移(相對左柱腳)和上弦桿軸力在跨度方向的分布情況。圖4的誤差圖進一步給出了兩種近似計算方法的誤差。

圖3 結構響應最大值，vapp=400 m/sFig.3 Expected extreme value of response，vapp=400 m/s

圖4 近似方法計算誤差，vapp=400 m/sFig.4 Error of SRSS methods，vapp=400 m/s

很顯然，忽略了擬靜力和相對動力耦合項的近似算法一的計算結果普遍小于精確值，而進一步忽略振型耦合項的算法二的計算結果更?。粌煞N近似算法的位移計算誤差相當，內力計算誤差相差較大。

圖5給出了兩種近似算法得到的各種結構響應誤差絕對值的最大值隨跨度與波速的比值(d/vapp)的變化情況。橫坐標d/vapp越大則行波效應越強，而橫坐標0處為波速無窮大、不考慮行波效應的計算結果。各圖表明

(1) 兩種算法的位移誤差曲線吻合得較好，內力結果也較接近。這說明對于本算例的結構而言，近似算法導致的誤差主要是因為忽略擬靜力和相對動力耦合項所致，忽略振型耦合項的誤差較小。

(2) 不同響應量的誤差隨波速的變化情況各不相同。位移誤差隨d/vapp增大出現波動情況，而結構內力響應誤差總體呈增大趨勢。

(3) 在常見的波速范圍內(100～1 600 m/s)，兩種算法的位移誤差都在10%以內，而內力誤差均控制在15%以內。

圖5 近似方法誤差最大值Fig.5 Maximum error of SRSS methods

3.3 門式桁架

選取鋼管門式桁架模型如圖6所示?？缍?2.4 m，兩端鉸支；采用三角形截面，截面高2.8 m，寬2.2 m；根據設計要求，采用多種截面尺寸的圓鋼管；重力荷載以構件自重和節點集中質量的形式施加，屋蓋下弦節點上定義730 kg的集中質量；結構阻尼比0.035。

圖7給出了各類響應誤差最大值隨波速的變化情況。計算結果與此前拱桁架的計算結果類似：

(1) 兩種算法的位移誤差曲線吻合得較好，內力結果有一定差別。

圖6 鋼管門式桁架模型Fig.6 Model of portal truss

(2) 總的來看，誤差隨d/vapp增大呈增大趨勢。

(3)常見的波速范圍內，兩種算法的位移和腹桿軸力誤差都在10%以內，而弦桿軸力誤差在15%以內。

圖7 近似方法誤差最大值Fig.7 Maximum error of SRSS methods

4 結 論

(1) 簡化的擬靜力響應算法適用于兩點支承結構，計算量減少為1/4。

(2) 對于兩點支承結構而言，SRSS近似算法導致的誤差主要是因為忽略擬靜力和相對動力耦合項所致，忽略振型耦合項的誤差相對較小。

(3) 行波效應越強，近似算法的誤差越大。但從典型的拱桁架和門式桁架的計算結果來看，在常見的波速范圍內，兩種近似算法的位移、內力的計算誤差都分別在10%、15%以內。因此采用SRSS近似方法用于此類結構多點輸入地震響應的計算是可行的。

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Accuracy analysis of a simplified algorithm for seismic response analysis of two supports structures under multi-support excitation

ZHAO Bo1, WANG Yuan-qing2, CHEN Zhi-hua1, SHI Yong-jiu2, JIANG Yang2

(1. School of Civil Engineering, Tianjin University, Tianjin 300072, China;2. Key Laboratory of Structural Engineering and Vibration of Education Ministry, Department of Civil Engineering, Tsinghua University, Beijing 100084, China)

On the base of response spectrum CQC method considering all the coupling items, an approximate SRSS algorithm ignoring relevant coupling terms was given. Due to the specialty of structures with two supports, a simplified algorithm for analysing quasi-static response of this type of structures was put forward. Taking a typical two supports structure as example, the accuracy of the approximate algorithm of SRSS was analyzed. The results show that the error of SRSS method mainly comes from ignoring quasi-static and relative dynamic coupling terms, but not modal coupling terms. The stronger the traveling-wave effect is, the bigger the error of the approximate algorithm will be. But according to the calculation results of actual engineering structures, within the range of the common wave velocity, the computation errors of displacement and internal force of the two approximate algorithms keep within 10% and 15% respectively. So it is feasible to use approximate algorithm of SRSS for seismic response analysis of two supports structures under multi-support excitation.

seismic response; multi-support excitation; two supports structures; sum of squares and square root (SRSS) method

國家自然科學基金重點項目(51038006); 高等學校博士學科點專項基金資助課題(20090002110045)

2013-12-05 修改稿收到日期：2014-05-09

趙博 男，博士生，1987年生

陳志華 男，博士，教授，1966年10月生

TU311.3; O327

A

10.13465/j.cnki.jvs.2015.09.004