基于區間粗糙數互補判斷矩陣的一種排序方法

謝鳳平,曾雪蘭,段云艷

(廣西大學 a.數學與信息科學學院;b.電氣工程學院,南寧 530004)

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基于區間粗糙數互補判斷矩陣的一種排序方法

謝鳳平a,曾雪蘭a,段云艷b

(廣西大學 a.數學與信息科學學院;b.電氣工程學院,南寧 530004)

定義了區間粗糙數互補判斷矩陣和正態分布區間粗糙數,并給出區間粗糙數互補和互反判斷矩陣的相互轉化公式.針對基于區間粗糙數互補判斷矩陣的排序問題,提出了一種基于可能度的區間粗糙數互補判斷矩陣的排序方法.通過對方案進行兩兩比較,構造區間粗糙數互補判斷矩陣,求解出形式為區間粗糙數的權重向量,利用可能度公式得到權重向量的可能度矩陣,從而得到各方案的排序.實例分析說明了該方法的實用性和有效性.

區間粗糙數;正態分布;可能度;互補判斷矩陣;排序

0 引言

20世紀70年代初,Saaty教授提出一種將定性與定量相結合的決策方法——AHP[1],現已被廣泛運用到環境評估、投資決策、交通改善以及經濟效益綜合評價等諸多方面.判斷矩陣是層次分析法的核心內容之一.常見的判斷矩陣有兩類：互補判斷矩陣和互反判斷矩陣.在實際應用中,判斷矩陣元素的形式主要以實數[2]、區間數[3-4]、模糊數[5-7]等形式給出.有時判斷矩陣元素也可以是區間粗糙數的.區間粗糙數是經典粗糙集的一個拓展,它比區間數、模糊數、語言值等能更好地刻畫事物不確定性.目前,對區間粗糙數的研究比較少,文獻[8-9] 研究了區間粗糙數的定義和一些基本性質,而后相關學者也進行了一些補充、拓展,但仍存在很多有待完善之處.針對屬性值為區間粗糙數的多屬性決策問題,文[10]根據離差最大化思想給出了一類區間粗糙數的多屬性決策方法.文獻[11]和文獻[12]分別提出帶有偏好的和基于可能度的區間粗糙數多屬性決策方法.文獻[13]給出了一種基于WIRDAA算子解決了準則值為區間粗糙數隨機變量的多準則決策問題.迄今為止,尚未見對區間粗糙數判斷矩陣的研究.

在利用AHP解決決策問題時,專家給出的判斷結果可以是區間粗糙數的形式.例如,某專家判斷方案xi與方案xj的重要程度比為一個區間粗糙數([0.3，0.4],[0.2,0.5])表示方案xi比方案xj重要程度在0.3到0.4之間是肯定的,在0.2到0.5之間是可能的.因此,解決基于區間粗糙數判斷矩陣的排序問題具有重要的理論意義和實際應用價值.為此,本文將AHP中的判斷矩陣的元素形式推廣到區間粗糙數.通過對方案進行兩兩比較,構造互補區間粗糙數判斷矩陣,給出了基于正態分布區間粗糙數的可能度,提出了一種基于區間粗糙數互補判斷矩陣的排序方法,也給出了區間粗糙數互補判斷矩陣和區間粗糙數互反判斷矩陣的相互轉化公式.最后給出算例說明該方法是可行的,且具有一定實用價值.

1 區間粗糙數基本概念

定義1[14]設論域U和概念的集合X,則定義其下近似和上近似分別為：

其中R(x)={yU|y?x},R-1(x)={yU|x?y}(?表示滿足自反性,但不滿足對稱性和傳遞性的一種二元相似關系).

定義3[10]下近似和上近似均為區間的粗糙集稱為區間粗糙數,記為([a,b],[c,d])其中c≤a≤b≤d.

定義4[11]設ξ=([a,b],[c,d]),ξ1=([a1,b1],[c1,d1]),ξ2=([a2,b2],[c2,d2]),均為區間粗糙數,其中c,c1,c2≥0,λ>0為實數,則有:

1)ξ1+ξ2=([a1+a2,b1+b2]),([c1+c2，d1+d2]);

2)ξ1·ξ2=([a1a2,b1b2]),([c1c2，d1d2]);

3)ξλ=([aλ,bλ],[cλ,dλ]).

定義5 設ξ=([a,b],[c,d]),ξ1=([a1,b1],[c1,d1]),ξ2=([a2,b2],[c2,d2])均為區間粗糙數,其中c,c1,c2≥0,則有：

1)ξ-1=([b-1,a-1],[d-1,c-1]);

2 可能度公式及性質

(1)

(2)

由定義6可知,正態分布區間數實質表示一個均值和方差滿足(1)(2)條件的正態分布區間數,由文獻[16]可得區間粗糙數的可能度公式如下.

定義7 設區間粗糙數ξ1=([a1,b1],[c1,d1]),ξ2=([a2,b2],[c2,d2]),則稱

(3)

為ξ1≥ξ2的可能度,其中μ1,μ2,σ1,σ2由定義6給出.查表即可求出p(ξ1≥ξ2).

顯然,可能度有以下性質：

性質1 設ξ1=([a1,b1],[c1,d1]),ξ2=([a2,b2]),[c2,d2]),ξ3=([a3,b3],[c3,d3])均為區間粗糙數,其中c1,c2,c3≥0,則

1)(有界性)0≤P(ξ1≥ξ2)≤1;

2)(互補性)P(ξ1≥ξ2)+P(ξ2≥ξ1)=1;

3 兩類區間粗糙數判斷矩陣及其相互轉化公式

定義8 設判斷矩陣η=(ηij)n×n,其中ηij=([aij,bij],[cij,dij])且0≤cij≤aij≤bij≤dij,若aij+bji=bij+aji=cij+dji=dij+cji=1,aii=bii=cii=dii=0.5(i,j=1,2,…n)則稱矩陣η是區間粗糙數互補判斷矩陣.

定義9 設判斷矩陣ξ=(ξij)n×n,其中ξij=([mij,nij],[lij,kij])且0≤lij≤mij≤nij≤kij,若mij·nji=nij·mji=lij·mji=lij·kji=kij·lji=1,則稱矩陣ξ是區間粗糙數互反判斷矩陣.

定理1 設區間粗糙數互補矩陣η=(ηij)n×n,ηij=([aij,bij],[cij,dij]),0≤cij≤aij≤bij≤dij,則通過轉化公式

ξij=ηij/ηji

(4)

可得到區間粗糙數互反矩陣ξ=(ξij)n×n.

證明 令ξij=([mij,nij],[lij,kij]),則有

同理易證nij·mji=lij·kji=kij·lji=1.所以矩陣ξ=(ξij)n×n是區間粗糙數互反判斷矩陣.

定理2 設區間粗糙數互反判斷矩陣ξ=(ξij)n×n,其中ξij=([mij,nij],[lij,kij]),且mij·nji=nij·mji=lij·kji=kij·lji=1,0≤lij≤mij≤nij≤kij,則通過轉化公式：

(5)

則η=(ηij)n×n是區間粗糙數互補判斷矩陣.

證明 由題意可知

同理可證

故η=(ηij)n×n是區間粗糙數互補判斷矩陣.

由上可知,區間粗糙數互補判斷矩陣和區間粗糙數互反判斷矩陣可以通過轉化公式相互轉化.因此,本文僅考慮區間粗糙數互補判斷矩陣的排序問題.

4 區間粗糙數互補判斷矩陣的排序方法

在某決策問題中,假設有n個備選方案μ1,μ2，…，μn,在0.1～0.9標度,決策者對決策方案進行兩兩比較,得到形式為區間粗糙的互補判斷矩陣ξ=(ξij)n×n,其中ξij=([aij,bij],[cij,dij])且0≤cij≤aij≤bij≤dij,aij+bji=bij+aji=cij+dji=dij+cji=1,aii=bii=cii=dii=0.5,i,j.1,2,…，n.

排序方法具體步驟如下：

步驟1 利用行和并歸一化,求得形式為區間粗糙數權重w=(w1,w2,w3,…，wn),其中

(6)

步驟2 由定義6可得正態分布區間粗糙數權重向量

wi=(μi,σi) ;

步驟3 利用公式(3)建立權重可能度矩陣

其中pij=p(wi≥wj);

5 算例分析

某企業計劃投資某項目,擬定4個備選方案μi(i=1,2,3,4).決策者將決策方案進行兩兩比較,給出形式為區間粗糙數的互補判斷矩陣ξ,如下：

1)由公式(4)求得區間粗糙矩陣權重w=(w1,w2,w3,w4),即

w=(([0.23,0.38],[0.16,0.53]),([0.15,0.32],[0.13,0.39]),([0.21,0.30],[0.14,0.49]),([0.16,0.32],[0.08,0.49])).

2)由定義6可得

w1=(0.305,0.048),w2=(0.235,0.035),w3=(0.255,0.038),w4=(0.24,0.053).

3)由公式(3)查表得到可能度矩陣

v=(0.167,0.297,0.255,0.281).

5) 由上可得v1

6 結論

本文首次提出區間粗糙數形式的判斷矩陣,并給出正態分布區間粗糙數及其可能度的定義,將AHP的判斷矩陣形式推廣到區間粗糙數形式,進一步完善了AHP理論基礎,有效解決了判斷矩陣的元素為區間粗糙數的決策問題.該方法可以用于供應商選擇、投資決策、項目評估以及經濟效益綜合評價等相關決策方面.

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Priority Method for Complementary Judgement Matrix Based on Interval Rough Number

XIE Feng-pinga,ZENG Xue-lana,DUAN Yun-yanb

(a. School of Mathematics and Information Sciences, b. School of Electrical Engineering,Guangxi University,Nanning， 530004,China )

The definitions of interval rough number complementary judgement matrix and distribution interval rough number are given, and the mutual transformation formula between interval rough number complementary judgement matrix and interval rough number reciprocal judgement matrix is set up as well. For the priority problem based on interval rough number complementary judgment matrix, a ranking method of interval rough number complementary judgement matrix based on possibility degrees is proposed. Interval rough number complementary judgement matrix is constructed by pair comparison. Then, the weight vectors with forming of interval rough number are worked out. By using the formula of possibility degrees, the possibility degree matrix of weight vector is established, and according to the ordering formula, and the ranking of alternatives is obtained. Finally, a numerical example is given to show the effectiveness and feasibility of this approach.

interval rough number; normal distribution; possibility degree; complementary judgement matrix; priority.

2015-05-03

國家自然科學基金資助項目(71361002);廣西自然科學基金資助項目(2013GXNSFAA019016)

謝鳳平(1987-),女,湖南邵陽人,廣西大學數學與信息科學學院 13級應用數學專業碩士研究生,研究方向為決策分析及粗糙集.

曾雪蘭(1962-),女,廣西賀州人， 廣西大學數學與信息科學學教授, 研究方向為管理決策分析理論與方法研究.

C934

A

1008-6722(2015) 05-0022-05

10.13307/j.issn.1008-6722．2015．05．06