操作想象并舉實現無痕鏈接

藍雪敏

學了長（正）方體后，在同步練習（北師大版數學五年級下冊）上有一道拓展題：把一個棱長為3厘米的正方體表面涂上紅色，然后切成棱長為1厘米的小正方體，則三面涂色的小正方體有（ ）個，兩面涂色的小正方體有（ ）個，一面涂色的小正方體有（ ）個，沒有涂色的小正方體有（ ）個。這是一道好題，如果充分利用，能使學生進一步積累探索簡單數學規律的經驗，感悟數學思想方法，發展數學思維能力和空間觀念。學生在探索的過程中，也能感受到數學的結構美，獲得成功發現數學規律的愉悅體驗，激發學習數學的興趣。但在實際教學中卻常遭遇如下尷尬：

1.教之惑——處理不當

“涂色正方體”的編排意圖是想通過計算小正方體的個數，運用正方體的特征，引導學生通過對將棱長n等分的涂色正方體切成小正方體后，三面、兩面、一面和沒有涂色的小正方體個數與大正方體頂點、棱、面之間關系的探究，積累分類計數及從特殊到一般地尋找規律的數學經驗。在教學中主要有兩種情況。

（1）簡單化。認為教學一道思考題用上40分鐘太夸張，只是就題論題，采用講授的方式，在黑板上畫出示意圖，讓學生仔細觀察，得出相關結論，學生的感知如蜻蜓點水，淺嘗輒止。

（2）輕操作。教師能夠運用課件教學，讓正方體動起來，從簡單到復雜，一步步引導學生發現規律，看似理解了，但實際上學生仍舊是充當配角，缺少直接操作的直觀經驗，印象不深。

縱觀兩種教學方式，教師忽視“涂色正方體”所蘊含的豐富的數學思想與教學價值，學生被教師牽著被動學習，結果是知其然而不知其所以然，當碰到類似問題時，仍舊是“鏡中花，水中月”——無從下手。

2.學之困——苦不堪言

正方體的涂色問題離學生的生活實際比較遠，對于五年級學生來說是個極其抽象的幾何問題，屬于純數學的問題，學生理解起來很困難。剛學此類問題，學生看起來掌握了，實際上對涂色正方體中幾種小正方體的位置、個數規律摸不著頭腦，由此產生錯誤在所難免。如“邊長1分米的正方體，表面涂上紅色，切成棱長為1厘米的小正方體，涂色的小正方體有幾種情況？每種小正方體各有多少個”這樣的拓展題，學生的錯誤率高達85%，學生對其中的規律感到似是而非，很茫然，甚至一看到這樣的問題就產生畏懼心理。當然，此類習題需要學生有較強的空間觀念和嚴密的思維，對小學生來說確實有一定的難度。究其原因，主要是學生在學習的過程中，缺少觀察、操作和想象探索的過程，因此所獲得的涂色正方體的經驗是極其膚淺的。

如何破解這一難題呢？

一、思之措——操作想象并舉

《數學課程標準》指出：“空間與圖形的教學應注重所學知識與日常生活的密切聯系，應注重使學生在觀察操作等活動中獲得對簡單幾何體和平面圖形的直觀經驗?！薄罢襟w的涂色問題”屬于空間與圖形領域，不能單純地依賴模仿與記憶，應借助學生學習的重要方式——動手實踐、自主探索與合作交流?；谝陨峡紤]，筆者對此題進行了如下設想：40分鐘課堂中操作與想象并舉，結合課件，讓學生在觀察、猜想、操作、想象、驗證、分析、比較、歸納等數學活動中，多感官參與學習過程；理解涂色正方體的規律，積累由“特殊到一般”“簡單到復雜”探尋規律的經驗，提高空間想象能力，感悟分類的數學思想。

二、踐之行——感悟取舍之源

【環節一】創設情境，引出問題

出示：把棱長為10的正方體表面涂上紅色，然后切成棱長是1的小正方體。猜一猜：涂色的小正方體有幾種情況？各有多少個？

師：比較難猜吧？涂色小正方體的個數以及它所在的位置是有規律的，這節課我們就來研究正方體的涂色問題。為了方便研究，你們認為從棱長為多少的正方體著手研究比較合適？（引出先研究棱長為3的正方體）

意圖：從高難度問題入手，學生的思維被牢牢吸引，產生迫切解決問題的內需；當聽到解決此類問題有規律可循時，“山重水復疑無路，柳暗花明又一村”，學習積極性高漲，為新課學習打下了堅實的基礎。

【環節二】引導探究、探索規律

（一）棱長為3的正方體

1.猜一猜：把棱長為3的正方體切成棱長為1的小正方體，有多少個？涂色的小正方體有幾種情況？每種涂色的小正方體在什么位置？每種涂色的小正方體有多少個？說說你是怎樣想的？引導有序觀察（按頂點、面、棱的順序）。

2.驗證（再一次引導有序驗證）。

結合教具，重點分析兩面、一面、無色三種情況所在位置及個數情況。

師：三面涂色的小正方體在什么位置？有多少個？觀察教具，閉上眼睛想一想。

生拿著教具邊拆邊說：三面涂色的小正方體在頂點，一共有8個。

師：兩面涂色的小正方體在什么位置？有多少個？

生1：去掉8個三面涂色的小正方體后，每條棱中間剩下一個兩面涂色的小正方體，一共有12個。

生2：每條棱上拿掉兩個三面涂色的小正方體，剩下（3-2）個兩面涂色的，有12條棱，所以兩面涂色的小正方體一共有（3-2）×12=12（個）。

師手拿學具邊演示邊問：一面涂色的小正方體在什么位置？有多少個？閉上眼睛想一想。

生：一面涂色的小正方體在面的中間位置，每個面有（3-2）×（3-2）=1（追問：為什么要減去兩個？用手比劃——兩邊各有兩面涂色的小正方體兩個）再乘6個面，（3-2）×（3-2）×6=（3-2）2×6=6（個）。

師：沒有涂色的小正方體在什么位置？有多少個？課件演示引導：將大正方體脫去“外套”，剩下的是什么樣子？學生想象。

生：沒有涂色的小正方體在中間位置，每層有（3-2）×（3-2），有（3-2）層，即（3-2）3=1（個）。

師：好像數錯了？（明確：各涂色面的小正方體的個數之和27要與大正方體的體積數27相等）