淺談二次函數(shù)在高中階段的應(yīng)用

羅顯麗

（貴州省貴陽市修文中學(xué) 貴州貴陽 550000）

淺談二次函數(shù)在高中階段的應(yīng)用

羅顯麗

（貴州省貴陽市修文中學(xué) 貴州貴陽 550000）

在初中教材中，對二次函數(shù)作了較詳細的研究，由于初中學(xué)生基礎(chǔ)薄弱，又受其接受能力的限制，這部份內(nèi)容的學(xué)習(xí)多是機械的，很難從本質(zhì)上加以理解。進入高中以后，尤其是高三復(fù)習(xí)階段，要對他們的基本概念和基本性質(zhì)（圖象以及單調(diào)性、奇偶性、有界性）靈活應(yīng)用，對二次函數(shù)還需再深入學(xué)習(xí)。

一、進一步深入理解函數(shù)概念

初中階段已經(jīng)講述了函數(shù)的定義，進入高中后在學(xué)習(xí)集合的基礎(chǔ)上又學(xué)習(xí)了映射，接著重新學(xué)習(xí)函數(shù)概念，主要是用映射觀點來闡明函數(shù)，這時就可以用學(xué)生已經(jīng)有一定了解的函數(shù)，特別是二次函數(shù)為例來加以更深認(rèn)識函數(shù)的概念。二次函數(shù)是從一個集合A（定義域）到集合B（值域）上的映射？：A→B，使得集合B中的元素y=ax2+bx+c（a≠0）與集合A的元素X對應(yīng)，記為？（x）=ax2+bx+c（a≠0）這里ax2+bx+c表示對應(yīng)法則，又表示定義域中的元素X在值域中的象，從而使學(xué)生對函數(shù)的概念有一個較明確的認(rèn)識，在學(xué)生掌握函數(shù)值的記號后，可以讓學(xué)生進一步處理如下問題：

類型I：已知？（x）=2x2+x+2，求？（x+1）

這里不能把？（x+1）理解為x=x+1時的函數(shù)值，只能理解為自變量為x+1的函數(shù)值。

類型Ⅱ：設(shè)？（x+1）=x2-4x+1，求？（x）

這個問題理解為，已知對應(yīng)法則？下，定義域中的元素x+1的象是x2-4x+1，求定義域中元素X的象，其本質(zhì)是求對應(yīng)法則。

一般有兩種方法：

（1）把所給表達式表示成x+1的多項式。

？（x+1）=x2-4x+1=（x+1）2-6（x+1）+6，再用x代x+1得？（x）=x2-6x+6

（2）變量代換：它的適應(yīng)性強，對一般函數(shù)都可適用。

令t=x+1，則x=t-1∴（t）=（t-1）2-4（t-1）+1=t2-6t+6從而？（x）= x2-6x+6

二、二次函數(shù)的單調(diào)性，最值與圖象

在高中階階段學(xué)習(xí)單調(diào)性時，必須讓學(xué)生對二次函數(shù)y=ax2+bx+c在區(qū)間（-∞，-b2a］及［-b2a，+∞）上的單調(diào)性的結(jié)論用定義進行嚴(yán)格的論證，使它建立在嚴(yán)密理論的基礎(chǔ)上，與此同時，進一步充分利用函數(shù)圖象的直觀性，給學(xué)生配以適當(dāng)?shù)木毩?xí)，使學(xué)生逐步自覺地利用圖象學(xué)習(xí)二次函數(shù)有關(guān)的一些函數(shù)單調(diào)性。

類型Ⅲ：畫出下列函數(shù)的圖象，并通過圖象研究其單調(diào)性。

（1）y=x2+2|x-1|-1

（2）y=|x2-1|

（3）=x2+2|x|-1

這里要使學(xué)生注意這些函數(shù)與二次函數(shù)的差異和聯(lián)系。掌握把含有絕對值記號的函數(shù)用分段函數(shù)去表示，然后畫出其圖象。

類型Ⅳ設(shè)？（x）=x2-2x-1在區(qū)間［t，t+1］上的最小值是g（t）。

求：g（t）并畫出y=g（t）的圖象

解：？（x）=x2-2x-1=（x-1）2-2，在x=1時取最小值-2

當(dāng)1∈［t，t+1］即0≤t≤1，g（t）=-2

當(dāng)t＞1時，g（t）=？（t）=t2-2t-1

當(dāng)t＜0時，g（t）=？（t+1）=t2-2

t2-2，（t＜0）

g（t）=-2，（0≤t≤1）

t2-2t-1，（t＞1）

首先要使學(xué)生弄清楚題意，一般地，一個二次函數(shù)在實數(shù)集合R上或是只有最小值或是只有最大值，但當(dāng)定義域發(fā)生變化時，取最大或最小值的情況也隨之變化，為了鞏固和熟悉這方面知識，可以再給學(xué)生補充一些練習(xí)。

如：y=3x2-5x+6（-3≤x≤-1），求該函數(shù)的值域。

三、二次函數(shù)的知識，可以準(zhǔn)確反映學(xué)生的數(shù)學(xué)思維：

類型Ⅴ：設(shè)二次函數(shù)？（x）=ax2+bx+c（a＞0）方程？（x）-x=0的兩個根x1，x2滿足0＜x1＜x2＜1a.

（Ⅰ）當(dāng)X∈（0，x1）時，證明X＜？（x）＜x1.

（Ⅱ）設(shè)函數(shù)？（x）的圖象關(guān)于直線x=x0對稱，證明x0＜x2.

解題思路：

本題要證明的是x＜？（x），？（x）＜x1和x0＜x2，由題中所提供的信息可以聯(lián)想到：①？（x）=x，說明拋物線與直線y=x在第一象限內(nèi)有兩個不同的交點；②方程？（x）-x=0可變?yōu)閍x2+（b-1）x+1=0，它的兩根為x1，x2，可得到x1，x2與a.b.c之間的關(guān)系式，因此解題思路明顯有三條①圖象法②利用一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系③利用一元二次方程的求根公式，輔之以不等式的推導(dǎo)?，F(xiàn)以思路②為例解決這道題：

（Ⅰ）先證明x＜？（x），令？（x）=？（x）-x，因為x1，x2是方程？（x）-x=0的根，？（x）=ax2+bx+c，所以能？（x）=a（x-x1）（x-x2）

因為0＜x1＜x2，所以，當(dāng)x∈（0，x1）時，x-x1＜0，x-x2＜0得（x-x1）（x-x2）＞0，又a＞0，因此？（x）＞0，即？（x）-x＞0.至此，證得x＜？（x）

根據(jù)韋達定理，有 x1x2=ca ∵0＜x1＜x2＜1a，c=ax1x2＜x=？（x1），又c=？（0），∴？（0）＜？（x1），根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，曲線y=？（x）是開口向上的拋物線，因此，函數(shù)y=？（x）在閉區(qū)間［0，x1］上的最大值在邊界點x=0或x=x1處達到，而且不可能在區(qū)間的內(nèi)部達到，由于？（x1）＞？（0），所以當(dāng)x∈（0，x1）時？（x）＜？（x1）=x1，即x＜？（x）＜x1

（Ⅱ）∵？（x）=ax2+bx+c=a（x+-b2a）2+（c-），（a＞0）

函數(shù)？（x）的圖象的對稱軸為直線x=-b2a，且是唯一的一條對稱軸，因此，依題意，得x0=-b2a，因為x1，x2是二次方程ax2+（b-1）x+c=0的根，根據(jù)違達定理得，x1+x2=-b-1a，∵x2-1a＜0，

∴x0=-b2a=12（x1+x2-1a）＜x2，即x0=x2.

二次函數(shù)，它有豐富的內(nèi)涵和外延。作為最基本的冪函數(shù)，可以以它為代表來研究函數(shù)的性質(zhì)，可以建立起函數(shù)、方程、不等式之間的聯(lián)系，可以偏擬出層出不窮、靈活多變的數(shù)學(xué)問題，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和綜合數(shù)學(xué)素質(zhì)，特別是能從解答的深入程度中，區(qū)分出學(xué)生運用數(shù)學(xué)知識和思想方法解決數(shù)學(xué)問題的能力。

二次函數(shù)的內(nèi)容涉及很廣，本文只討論至此，希望各位同仁在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中也多關(guān)注這方面知識，使我們對它的研究更深入。