導數在高中數學教學中的應用探索

董世壯（遼寧師范大學　數學學院　2014級教育碩士　大連市金州高級中學，遼寧大連　116100）

導數在高中數學教學中的應用探索

董世壯
（遼寧師范大學數學學院2014級教育碩士大連市金州高級中學，遼寧大連116100）

導數是解決高中數學的有力工具，不僅體現了數學的重要思想，還為學生解決問題，特別是實際問題，提供了有效的工具。考慮到導數在理解中存在一定的難度，因此，在教學中，需要結合實例，進行充分解析，才可以讓學生更容易掌握。

導數高中數學教學應用

導數在數學中的地位越來越突出，其作為數學解題當中重要的輔助工具受到了數學教師的廣泛的關注，其已經逐漸的成為數學解題當中不可缺少的工具。當前對于學生使用綜合的知識解決問題的能力考察逐漸的加強，所以在教學的過程中培養學生使用導數知識解決相應的數學問題已經成為一個教學中重要的組成部分。

一、導數在解析幾何中的應用

在高中數學教學中，對于解析幾何的問題利用導數進行解題時，首先應該理解導數的幾何意義，然后注意判斷點M（x0，y0）與已知曲線的位置關系，這樣在解題時就能夠快速準確的解出問題，如例1所示：已知曲線y=f（x），求曲線在點M（x0，y0）的切線方程。針對這道題目在采用導數解題時，首先應該求出導數f′（x），然后將x-x0代入導數f′（x），為k=f′（x0），最后就能夠方便的算出曲線y=f（x），在點M（x0，y0）處的切線方程。

二、用導數判斷函數的單調性

例：求函數y=x3-3x2-1的單調區間。

分析：求出導數y′，令y′＞0或y′＜0，解出x的取值范圍即可。

解：y′=3x2-6x，由y′＞0得3x2-6x＞0，解得x＜0或x＞2。

由y′＜0得3x2-6x＜0，解得0＜x＜2。

故所求單調增區間為 （-∞，0） ∪（2，+∞），單調減區間為（0，2）。

方法提升：利用導數判斷函數的單調性的步驟是：（1）確定f （x）的定義域；（2）求導數f′（x）；（3）在函數f（x）的定義域內解不等式f′（x）＞0和f′（x）＜0；（4）確定f（x）的單調區間。若在函數式中含字母系數，往往要分類討論。

三、導數在不等式中的應用

在高中數學教學中導數在解不等式問題時應用最多的就是不等式證明題。在不等式證明題解題的過程中，通過運用導數進行構造函數可以對整個函數判斷單調性，最終能夠證明整個不等式。下面我們通過具體的例題進行分析導數在不等式證明題中的應用：已知函數

f（x）=xlnx（0＜a＜b），證明：0＜f（a）+f（b） -2f［（a+b）/2］。

解析：在解題前，當我們看到題目時會感覺一頭霧水，不知道應該從何下手，但是如果我們能夠運用導數進行解題，則會達到事半功倍的效果。在運用導數解題時，首先應該明確導數的單調區間，然后進行判斷ab值的范圍，進而能夠通過分析證明你明不等式。

解題：

將f（x）=xlnx（0＜a＜b）進行求導可以得出：f′（x）=lnx+1，假如設

A（x）=f（x）-2f（x+a/2），則

A′（x）=f′（x）-2f′（a+x/2）=lnx-ln（a+x/2）

當0＜x＜a時，則A′（x）＜0，因此我們可以得知A（x）在（0，a）的區間上為減函數。當x＞a時，A′（x）＞0，則可以得知A（x）在（a，+∞）上為增函數，最終可以判斷出當x=a時，b＞a時，b＞a，所以可以得出，A（b）＞0即0＜f（a）+f（b）-2f（a+b）/2成立。

四、導數在函數中的應用

1.導數在判斷單調性中的應用

在高中數學解題時，運用導數能夠求出可導函數的單調區間，其實質就如同解不等式f′（x）＞0或者f′（x）＜0在區間的端點上有意義，則也可以寫成閉區間的形式，具體的解題思路及方法如下例題所示：例：分析函數f（x）=x3-3x在哪個區間為增函數，在哪個區間為減函數？

分析：在進行判斷函數單調性時，首先可以對函數f（x）進行求導讓，求解出不等式f′（x）＞0和f′（x）＜0的解，從而可以得到f′（x）＞0的解為單調增函數區間，而f′（x）＜0的解為單調減函數區間。

解題：由題目可以得知，f（x）=x3-3x，所以f′（x）=3x2-3=3 （x-1） （x+1），設f′（x）＞0，則可以得出x＜1或者x＞1，因此可以得出單調增區間為（1，+∞）和（-∞，-1）。然后設f′（x）＜0，則可以得出-1＜x＜1，所以可以得出f（x）的單調減區間為（-1，1）2.導數在求解極值中的應用

在高中數學教學中，極值是高中函數教學中的難點也是重點，其涉及到中學數學知識各個方面的運用。在解析函數最值問題時導數的應用不僅能夠簡化解題過程，而且步驟簡單，容易掌握。一般情況下，如果函數f（x）在閉區間［a，b］上可導，則f（x）在閉區間［a，b］上的最值求法分為兩步就能夠完成：第一步：求出函數f（x）在（a，b）上的駐點，第二步：計算f（x）在駐點和端點的函數值，然后進行比較可以得知，最小的為函數的最小值，最大的為函數的最大值。這種方法還可以運用到函數圖像中，因為在畫函數圖像時也要求出函數的極值，運用導數能夠輕松的進行解題。

二、在導數教學中需要注意的問題

在導數的教學過程中，要把握其教學的要求，為了使教學的效率得到有效的提高，可以在每一個知識點的教學當中，抓住其教學的重點。在導數的概念當中，在其學習的過程中要注重其實際背景的側重點，使用相應的光滑曲線的切線斜率作為相應的輔助材料。對于導數的公式和兩個函數之間的和、差、積、商的求導的法則，不需要經過補充和證明，但是要熟悉的記住相應的法則和公式，最主要的是讓學生能夠正確的使用導數進行相應的數學題的求解，避免在求解過程中使用比較復雜的方法進行相應的求解過程，把簡單的問題復雜化。在進行相應的復合函數的導數學習的時候，要準確的掌握其計算的法則，這此過程的學習中教師要掌握好練習題的難度。在導數應用的部分，要學生們重點的掌握簡單函數的極值和相應單調區間的方法，結合相應的函數的圖像，利用直觀的方式讓學生理解相應的函數的極值和相應的導數之間的關系。在相應的知識學習的時候，要注意知識的連續性，要全面的了解知識的結構構架，要注重和其他知識之間的關聯性，注重知識的綜合性的學習。

總結

在高中數學教學中運用導數解題時，最重要的就是在理解其定義的基礎上，熟練掌握其本質，進而正確運用來解決各種問題。不能單純地只知道導數的公式及其簡單的求導方法，這在解題過程中會出現本質性的錯誤，還會阻礙思維的擴散。只有將其內在的本質理解透徹，在解決問題時才能有正確的方法，從而能夠提高靈活解題的能力。

［1］吳龍福。例析導數在高中數學題目解答中的典型性應用［J］.數學大世界，2012

［2］陳鵬。導數在函數中的應用［J］.新課程，2012