一道立體幾何證明題背后隱藏著什么

何永峰

（新疆石河子121團第一中學）

何永峰

（新疆石河子121團第一中學）

時間：2015 年5 月20 日

地點：高一某班

科目：數學

課題：空間中直線與直線之間位置關系的運用

主題：學生已經學習了空間中直線與直線之間的位置關系：相交、平行、異面和公理4 等知識，基本明確了公理4 的內容，為本節課內容奠定了知識基礎。經過前期一段時間的訓練，學生具備了一定的觀察和認知能力，在講解教材上一道立體幾何證明題時，我對學生的思維能力產生了懷疑？

案例片段：

題目：在空間四邊形ABCD 中，E，F，G，H 分別是AB，BC，CD，DA 的中點。

求證：四邊形EFGH 是平行四邊形。

師：請分析題目條件和結論？

生1：條件：E，F，G，H 分別是AB，BC，CD，DA 的中點；問題：求證：四邊形EFGH 是平行四邊形。

師：條件和問題是否有遺漏？

生2：漏了條件：空間四邊形ABCD。

師：生2 審題很仔細。回憶，初中是如何證明四邊形EFGH 是平行四邊形的？

生2：一組對邊平行且相等，兩組對邊平行且相等，即EH∥FG且EH＝FG 或EH∥FG 且EF∥HG。

師：很好，如何證明EH∥FG 呢？你用怎樣的辦法來證明呢？

學生沉默了……

即時結果：只需要一步就可以打通已知與未知之間的關系，學生卻遇到“坎”，到底問題在哪里？是分析問題沒有講清楚？

評析：如果能給個實物模型，學生對空間四邊形結構就更直觀；如果告知學生連接直線BD 或AC，點明三角形中位線，問題就迎刃而解了；如果告訴學生將“空間問題平面化”，學生就清楚了……

反思：證明此題的方法有多種，我認為下面這種方法很實用：

分析法：

要證明EFGH 是一個平行四邊形，只需證EH∥FG，且EH＝FG，或EH∥FG 且EF∥HG.

連結BD，只需證：

∵E，F，G，H 分別是各邊中點，

∴四邊形EFGH 是平行四邊形。

學生在課堂中真實地暴露出存在的問題，令我意識到：高中數學教學不僅僅是簡單的知識傳遞。再講解時，還需多問幾個為什么：這道題中用到了哪些知識？它們是怎樣聯系起來的？解題的關鍵在哪里？思路是怎樣打通的？推理是否嚴謹？有無多余步驟？還有更簡捷的解法嗎？這個問題能夠推廣嗎？改變一下條件或結論如何？

真正把數學課講活、講清楚，挖掘出隱藏在數學知識背后的思維方法，學生的解題能力才會提升。