例談方程思想在數列中的應用

邱明武

（江西省信豐縣第七中學）

數列是高中數學非常重要的內容，也是每年高考必考的知識點，所以如何學好數列是每個學生迫切需要解決的問題． 眾所周知，方程思想是高中數學一種重要的數學思想，函數與方程可以相互轉化，即函數的一些問題可以用方程思想來解決，而數列是一種特殊的函數，所以數列的一些問題也可以利用方程思想來處理．

一、求數列的項

例1.設｛an｝是遞增等差數列，前三項的和為12，前三項的積為48，求數列｛an｝的首項．

解：設數列｛an｝的首項為a1，由題設可知：a1+a2+a3=12，因為｛an｝是等差數列，所以a1+a3=2a2，代入上式可得：a2=4，則，a1+a3=8， ①

又由題設可知：a1a2a3=48，則a1a3=12， ②

則①②知，可把a1、a3看作方程x2+8x+12=0 的兩個實根．

解得x1=2，x2=6．或x1=6，x2=2．

又｛an｝是遞增等差數列，則a1＜a3，所以a1=2．

點評：根據韋達定理來構造一元二次方程要注意根與系之間的關系，特別是符號的正負問題．

例2.數列｛an｝中，相鄰兩項an，an+1是方程x2+3nx+bn=0 的兩根，若a10，=-17，求b51．

所以a11+a10=-30，又a10=-17，則a11=-13．

點評：已知數列相鄰兩項與項數的關系可以由階差法來構造一個高一階或低一階的方程，進而作差可求出該數列或部分數列的通項，最后所求問題就迎刃而解了。

二、求數列的通項

例3.已知數列｛an｝的前n項和為Sn，且a1=0，an+1+Sn=n2+2n（n∈N+），求數列｛an｝的通項公式．

解：因為an+1+Sn=n2+2n（n∈N+） ①

用n-1 替換①式中的n，可得：an+1+Sn+1=（n-1）2+2（n-1）（n≥2） ②

①-②得：an+1-an+Sn-Sn-1=n2-（n-1）2+2n-2（n-1）

即an+1=2n+1，進而可得：an=2（n-1）+1=2n-1（n≥2）

當n=1 時，a1=1，而S1=0，則a1≠S1，所以

點評：給出數列的an與Sn的遞推關系來求數列的通項，通常用n-1（或n+1）替換遞推式中的n而得到另一個等式，此方法稱為構造方程組法，又叫階差法．

例4.設｛an｝是首項為1 的正項數列，且（n+1求an．

解：由已知條件因式分解可得：［（n+1）an+1-nan］（an+1+an）=0

因為數列｛an｝是正項數列，所以an+1+an≠0，則（n+1）an+1-nan=0，即

點評：若給出數列中任意相鄰兩項的齊二次式方程時，因式分解是首先的方法．

三、求數列的前n 項和

例5.求數列1，3a，5a2，7a3，…，（2n-1）an-1的前n項和．

解：當a=0 時，Sn=1.

當a=1 時，Sn=1+3+5+7+…+（2n-1）

當a≠1 時，Sn=1+3a+5a2+7a3+…+（2n-1）an-1①

由①式兩邊同乘以a，得aSn=a+3a2+5a3+7a4+…+（2n-3）an-1+（2n-1）an②

①-②：得（1-a）Sn=1-（2n-1）an+2a+2a2+2a3+…+2an-1

=1-（2n-1

點評：對于含字母的此類問題，首先要討論字母為0 或1 的情況；當字母不為1 時，數列較復雜，利用乘公比錯位相減法求．

例6.數列｛an｝的前n項和為Sn，以an，Sn為系數的二次方程x2-4Snx+an+4=0 都有根α，β，且滿足求an與Sn．

解：由韋達定理知：α+β=4Sn，又αβ=an+4，又=1，即α+β=αβ，所以4Sn=an+4 ①

用n-1 替換n可得：4Sn-1=an-1+4（n≥2） ②

①-②：得：4an=an-an-1（n≥2），即，

可知數列｛an｝是以為首項為公比的等比數列，

點評：上述求數列通項用了階差法，這里要注意的是求數列的前n項和，其過程是利用①式的等價關系進行代入而求得，另外也可以利用等比數列的前n項和公式去求得．