非線性H∞控制的SOS設(shè)計

何朕，王廣雄，孟范偉

（1.哈爾濱工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院，黑龍江哈爾濱 150001 2.東北大學(xué)秦皇島分校控制工程學(xué)院，河北秦皇島 066004）

非線性H∞控制的SOS設(shè)計

何朕1，王廣雄1，孟范偉2

（1.哈爾濱工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院，黑龍江哈爾濱 150001 2.東北大學(xué)秦皇島分校控制工程學(xué)院，河北秦皇島 066004）

提出了一種新的非線性H∞控制的設(shè)計方法。雖然平方和（簡稱SOS）方法可用來求解不易用解析法求解的非線性問題，但還是不能直接來求解HJI不等式或非線性的有界實不等式。詳細(xì)分析了SOS法在求解中的這些局限性。給出了求解非線性H∞控制的一種迭代設(shè)計的方法。每一次迭代分為兩步。第一步是先用SOS法設(shè)計系統(tǒng)的非線性狀態(tài)反饋，其增益陣是可調(diào)整的。第二步是求系統(tǒng)L2增益，用圖解解析法求解計算中的優(yōu)化問題。還給出了一個衛(wèi)星大姿態(tài)機(jī)動的非線性H∞控制設(shè)計作為應(yīng)用本方法的實例。

非線性H∞控制;平方和;HJI不等式;有界實引理;姿態(tài)控制

0 引言

L2增益的控制問題，習(xí)慣上也稱為非線性H∞控制［1－2］。這是因為H∞范數(shù)雖是在線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)上定義的，不過如果轉(zhuǎn)換到時域上來考慮，這H∞范數(shù)就是L2誘導(dǎo)范數(shù)，而在非線性系統(tǒng)中則稱之為L2增益。L2增益的控制是指以L2增益作為系統(tǒng)設(shè)計時的性能指標(biāo)，使之盡可能小。本文研究的是以L2增益為性能指標(biāo)的非線性狀態(tài)反饋律的設(shè)計。非線性H∞控制雖然在理論上可以用Hamilton-Jacobi-Issacs（HJI）不等式來求解［1－2］，但HJI不等式目前還沒有一個有效的解析求解的方法。近年來出現(xiàn)的SOS方法［3－5］，為求解非線性H∞控制問題提供了一個新的可能途徑。SOS是平方和（sum of squares）的縮寫。SOS法是指采用SOS多項式來研究非線性系統(tǒng)。除了對象本身的非線性特性，如果想采用高于二次型的Lyapunov函數(shù)，或者想設(shè)計高階次的非線性控制律，就得研究一般形式的多項式。如果相應(yīng)的系統(tǒng)的多項式可整理成SOS形式，那就一定是非負(fù)的。這個方法雖然才問世不久，但已經(jīng)在一些重要的應(yīng)用領(lǐng)域顯現(xiàn)出了其優(yōu)越性，例如非線性系統(tǒng)吸引域的估計［6－7］，大機(jī)動下的衛(wèi)星姿態(tài)控制［8－9］，飛機(jī)的姿態(tài)控制［10］，非線性模型預(yù)測控制［11］，時滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析［12－13］，等等。在非線性H∞控制方面也提出了一些采用SOS的設(shè)計方法［14－16］。但這些方法在應(yīng)用中都存在一些問題。關(guān)于現(xiàn)有這些SOS法在求解中的問題，由于要用到一些公式，所以在第3節(jié)再對這些現(xiàn)有方法來進(jìn)行評述，并進(jìn)而提出一種新的求解非線性H∞控制的方法。

1 系統(tǒng)方程式和基本公式

設(shè)非線性系統(tǒng)可整理成如下的狀態(tài)依賴的類線性（linear-like）微分方程式［14］

式中x為狀態(tài)變量，w為外輸入，z為性能輸出。并設(shè)A（x），B1（x）和C1（x）為x的多項式矩陣。此類系統(tǒng)也可稱為多項式非線性系統(tǒng)。

對于給定的標(biāo)量γ＞0，如果對于任意的T＞0，且x（0）=0時有

非線性系統(tǒng)（1）、（2）的穩(wěn)定性和L2增益可以用下列的Hamilton-Jacobi不等式來確定［1－2］

式中V（x）為存儲函數(shù)，V（x）≥0，V（x0）=0。如果系統(tǒng)是零狀態(tài)可觀測的［1－2］，則V（x）就是Lyapunov函數(shù)。

根據(jù)式（4），利用Schur補引理，很容易得出與線性系統(tǒng)中平行的下列的多項式非線性系統(tǒng)的有界實引理。

引理1［15］如果存在一個正定的Lyapunov函數(shù)V（x）能滿足下列條件，則式（1）、（2）的系統(tǒng)穩(wěn)定，且其L2增益小于等于γ。

式（4）是對應(yīng)于一般系統(tǒng)（1）、（2）的一個最基本的不等式。當(dāng)考慮控制問題時，系統(tǒng)方程式（1）中要另加有控制輸入u。而對于H∞的設(shè)計問題來說，性能輸出z中還需要有對控制輸入u的加權(quán)，以便在設(shè)計中對x和u之間，即在誤差大小和控制量大小之間進(jìn)行適當(dāng)?shù)恼壑浴９史蔷€性H∞控制問題中的系統(tǒng)方程式為

式中B2（x）和D12（x）也為多項式矩陣。

當(dāng)考慮到式（7）時，Hamilton-Jacobi不等式（4）的第三項為

設(shè)u為狀態(tài)反饋，根據(jù)式（6）、（7）和（3）可推導(dǎo)出求解此狀態(tài)反饋的HJI不等式［1－2，17］

式（8）中B2D－1BT2項是將式（9）代入uTDu后得到的。式（8）就是求解非線性H∞控制的HJI不等式，求得存儲函數(shù)V（x）后代入式（9）就可求得狀態(tài)反饋律u。但這個HJI不等式卻不容易求解。自從提出了SOS法，就會想到是否能用SOS來求解這個HJI不等式。

2 SOS方法

SOS是指平方和多項式。多項式是由有限個單項式的線性組合所構(gòu)成，例如多項式

是由具有兩個變量的5個單項式組成的。對一個多項式p（x1，…，xn）?p（x）來說，如果存在多項式f1（x），…，fm（x）可以使p（x）寫成平方和的形式，即

那么這樣的多項式就稱為SOS多項式，有時就簡稱為SOS。顯然，每一個SOS多項式都是非負(fù)的，或表示成p（x）≥0。SOS多項式的集合用∑［x］來表示，如果一個多項式是SOS的，就寫成

SOS多項式也可表示成下列的一種特殊的二次型形式

式中Q是半正定的對稱陣，Z（x）是由階次小于等于d的各單項式構(gòu)成的列向量，而多項式p（x）的階次則是小于等于2d。例如對于式（10）的多項式來說，

式（13）表明，SOS的求解可歸結(jié)為線性矩陣不等式（LMI）問題。現(xiàn)在都有現(xiàn)成的軟件可供使用，軟件的名稱是SOSTOOLS，可從網(wǎng)上下載［3］。

3 非線性H∞控制

SOS方法是用數(shù)值求解法來求解不容易解析求解的非線性問題，所以一經(jīng)提出就有人試圖用SOS法來求解非線性H∞控制中的HJI不等式［14］。但是事情進(jìn)展得并不順利。對于SOS法在HJI求解中所遇到的難題，下面先來分析狀態(tài)反饋問題的求解。而且這狀態(tài)反饋也將是本文方法的一個組成部分。

對于狀態(tài)反饋問題，設(shè)系統(tǒng)的方程式為

式中A（x）和B（x）是x的多項式矩陣，x∈Rn，u∈Rm。

取系統(tǒng)的Lyapunov函數(shù)為

式中P陣是一常數(shù)陣。

對于式（15）的系統(tǒng)，如果采用如下的狀態(tài)反饋律

那么在dV/dt的求解中

會出現(xiàn)P和F的相乘項而不能構(gòu)成凸問題。這里可以采用LMI法中常用的做法，在求解中取P陣的逆陣［18］。具體做法是先取非線性的狀態(tài)反饋律為

取Q=P－1，并注意到式（16）的P是正定的，故Q也是正定的。對式（18）中各項均左乘和右乘一個Q陣，得

P陣取逆以后，式（19）的不等式中，待求的Q陣和K陣都呈仿射關(guān)系，這就可以用SOS法來求解了。

現(xiàn)在來分析HJI不等式（8）的求解問題。對于式（6）的類線性系統(tǒng)，系統(tǒng)的Lyapunov函數(shù)一般取為［14］

式中P（x）為一多項式矩陣。為了說明計算中的問題，這里暫設(shè)這個P陣為常數(shù)陣，這時

將式（21）代入式（8），可以看到這HJI不等式是一種Riccati型的不等式，不是仿射型的。在LMI法中，對于Riccati型不等式一般也是將其解求逆來得出一個線性不等式［17］。文獻(xiàn)［14］在求解HJI不等式時也采取這種做法，提出用Q=P－1使式（8）形成一種仿射關(guān)系。這樣就可以用SOS來求解了。但是作為非線性H∞控制來說，求得HJI的解后還得從式（9）求控制律u，而從式（9）和（21）可以看到，這要求將這個逆P－1正過來。這樣問題就來了，因為一個多項式矩陣的逆不可能仍舊是一個多項式矩陣。也就是說，文獻(xiàn)［14］的這個方法在SOSTOOLS軟件上是無法求解的。事實上，文獻(xiàn)［14］以及隨后的一些文獻(xiàn)的舉例［16］中都只舉P陣是常數(shù)陣的例子。但如果P是常數(shù)陣，并設(shè)系統(tǒng)的輸入陣B2也是常數(shù)陣，那么從式（9）（21）可以看到，所得的控制律u便是一個線性控制律。這就又回到了非線性H∞控制的早期的工作［2］。

文獻(xiàn)［15］提出了另一種用SOS來迭代求解非線性H∞控制的方法。這個求解法用的是有界實引理中的不等式（5）。將式（6）整理成

將式（22），式（7）與式（1）、（2）相對應(yīng)，代入式（5），整理后可得狀態(tài)反饋下的有界實不等式為

對每個固定的狀態(tài)反饋律ui－1（x），不等式（24）是一個凸問題，可用SOS方法來求解，得Vi（x）和γi。這里第一個（初始的）Lyapunov函數(shù)取為V0（x）=，并借用式（9）來求得第一個u0。其后各步的Lyapunov函數(shù)取為

式中M（x）為設(shè)定階次的單項式的列向量。此M（x）是在用SOS法求解不等式（24）時來求取的。求得Vi（x）后再借用式（9）計算ui。每次迭代計算后觀察所得的γi，如果γi是在減少，可繼續(xù)迭代。否則，則停止。

這個方法的主要問題是在第一步，要求V0=下有解。注意到P0是常數(shù)陣，如果要V0下有解，就意味著首先存在一個線性的狀態(tài)反饋解，而且是全局穩(wěn)定的。這就對所研究的非線性系統(tǒng)加上了限制，否則要對所用的SOS算法加上其他約束條件。這個方法的第二個問題是，用式（9）來計算每一步的ui并沒有嚴(yán)格的理論依據(jù)，只是從HJI不等式的一種“借用”。由此可見，這第二種利用SOS來求解非線性H∞控制的方法，也不是完美的，也是有限制的。但至少它可以通過式（25）的高階次Lyapunov函數(shù)獲得非線性的控制律，較上面的正面求解HJI不等式的第一種方法是前進(jìn)了一步。

非線性H∞控制雖然可以通過HJI不等式（8）或非線性有界實不等式（23）來求解。但是如上所述，用SOS法來正面求解這兩個不等式都存在著相應(yīng)的困難。與之對比的是，同樣是通過P陣的求逆來獲得仿射型的不等式，但狀態(tài)反饋問題中的解［式（17）］與HJI的解［式（9）］是不一樣的。式（17）中當(dāng)P為常數(shù)陣時還可以通過求解K（x）來獲得非線性控制律，而在HJI問題中SOS法則受制約于多項式矩陣的求逆，可見狀態(tài)反饋問題是既簡單又可充分發(fā)揮SOS方法的特點。基于這個認(rèn)識，本文提出一個新的求解非線性H∞控制的迭代方法，每一次迭代中分兩步來進(jìn)行計算。第一步是先求解狀態(tài)反饋問題，得非線性控制律ui（x），第二步是用圖解解析法求解Hamilton-Jacobi不等式（4），得系統(tǒng)的L2增益γi（見下面算例中的具體說明）。如果這個γi值不滿足要求，則修改狀態(tài)反饋設(shè)計，再重復(fù)上述的計算。這里說的修改狀態(tài)反饋設(shè)計是指修改式（17）中的反饋增益K（x）。一般來說，L2值偏大往往是因為反饋增益不夠大，就應(yīng)使增益取較大的值。有時也可能是因為反饋增益過大，系統(tǒng)容易起振而使L2值偏大，則就要限制系統(tǒng)的反饋增益。是增加或是減小，可視響應(yīng)曲線（例如圖3）而定。注意到這個K（x）是多項式矩陣，K（x）中的各元就是SOS設(shè)計中的（多項式）決策變量，只要限定K （x）中各元的取值范圍，就可以改動整個狀態(tài)反饋的設(shè)計。而限定決策變量的取值范圍，只是要在算法中增加一個不等式約束［3］，這在SOS法中僅僅是一種舉手之勞。例如要求K（x）中某一個系數(shù)的范圍為K6＜－2，即－2－K6＞0。將－2－K6寫入（加入到）SOS的程序prog中的語句就是

SOS問題的求解本來就是求解一組多項式不等式，在這一組不等式中增加一些對某個系數(shù)的不等式約束，對于用SOSTOOLS來求解根本不存在的問題。這個加上增益約束的狀態(tài)反饋解是第一步，下面的圖解法求解L2增益是第二步。第一個回合如果要求增加（或減少）反饋增益，可以回過來修改第一步中的約束范圍，進(jìn)行第二個回合，使之逐步達(dá)到最優(yōu)的性能值γ。這個新的求解方法既充分發(fā)揮了SOS法的特點，又簡單易行。

4 非線性H∞控制算例

現(xiàn)在以一衛(wèi)星姿態(tài)機(jī)動控制為例，來說明本文提出的分兩步來進(jìn)行迭代的方法。這是一個具有6個狀態(tài)變量的非線性系統(tǒng)，目前尚無其他有效方法可以來求解此類高維系統(tǒng)的非線性H∞控制問題。這里的第一步是先用狀態(tài)反饋法來求控制律u。衛(wèi)星的運動方程式包括動力學(xué)方程和運動學(xué)的微分方程。設(shè)衛(wèi)星為剛體，其動力學(xué)方程為

式中:Ix，Iy，Iz為相應(yīng)軸的轉(zhuǎn)動慣量，ωx，ωy，ωz為繞相應(yīng)軸的角速度分量，Tx，Ty，Tz為相應(yīng)軸的控制力矩。

根據(jù)歐拉定理，剛體繞固定點的任一位移可繞通過此點的某一軸轉(zhuǎn)動一個角度而得到。這個軸稱瞬時轉(zhuǎn)軸，在姿態(tài)控制中也稱特征軸（eigenaxis），用k表示，k=［n1，n2，n3］T，并用φ表示轉(zhuǎn)動的角度。本文采用修正的Rodriguez參數(shù)（Modified Rodriguez Parameters，MRPs）來表示衛(wèi)星的姿態(tài)［19］，MRP可適用于（特征軸）轉(zhuǎn)動到360°。MRP參數(shù)（向量）與（k，φ）的關(guān)系為

采用MRP時衛(wèi)星的運動學(xué)微分方程式為［19］

式（26）和式（28）構(gòu)成了衛(wèi)星姿態(tài)運動的非線性微分方程。設(shè)狀態(tài)向量則可將式（26）和式（28）整理成狀態(tài)依賴的類線性方程式

其中aij為式（26）、式（28）中各對應(yīng)項的系數(shù)。

設(shè)剛體衛(wèi)星的慣性陣I=diag（15，16，12.5） （kg·m2），將I代入式（30）就可按式（19）的思路用SOS法來進(jìn)行狀態(tài)反饋設(shè)計。這里取文獻(xiàn)［20］所得的狀態(tài)反饋律作為這第一步的解，為

這里要說明的是，本例的狀態(tài)反饋問題的不等式（19）是一個6×6的多項式矩陣。所謂多項式矩陣，是指矩陣中的每一元都是多項式，都是一些具有6個變量的高階多項式。因此待求的各個系數(shù)，即求解中的決策變量數(shù)的計算量非常大，這種不等式約束的求解只能靠SOS法。圖1就是在此控制律作用下的姿態(tài)（σ）和角速度（ω）的響應(yīng)曲線。初始角速度為零，初始時刻的姿態(tài)對應(yīng)于繞特征軸k轉(zhuǎn)動一個角度φ=200°，k=［0.5028，－0.669 3，0.546 9］T。對應(yīng)的姿態(tài)參數(shù)MRP為σ（0）=［0.5992，－0.7976，0.6517］T。

文獻(xiàn)［20］主要研究SOS設(shè)計中的數(shù)值誤差問題和姿態(tài)大機(jī)動控制下的飽和控制問題，這里則是在求得此控制律后進(jìn)一步來求解系統(tǒng)的L2增益。這就是第二步，求解γ看是否滿足性能要求。求L2增益就是要解有界實引理［式（23）］，上面已經(jīng)分析了正面求解有界實引理中的問題。所以這里提出一種直接求解Hamilton-Jacobi不等式（4）的方法。定義不等式（4）的左側(cè)部分為Hamilton函數(shù)H［21－22］，即

圖1 姿態(tài)控制系統(tǒng)的響應(yīng)曲線Fig.1Topology of fire alarm controller

這個Hamilton函數(shù)是與有界實引理1相對應(yīng)的。當(dāng)加上反饋形成閉環(huán)系統(tǒng)時［見式（22）］，這個Hamilton函數(shù)就成為

這里在計算L2增益時只對系統(tǒng)的輸出變量加權(quán)而不對控制量u加權(quán)，即取式（7）中的D12=0。在本例的姿態(tài)控制中，性能輸出就是姿態(tài)變量σ=［σ1，σ2，σ3］T的加權(quán)［參見式（27）］，故取

式中q2是對各姿態(tài)變量的加權(quán)系數(shù)，是這里的尋優(yōu)問題中的一個決策變量。

本文的思路是在狀態(tài)反饋設(shè)計后再來求解系統(tǒng)的L2增益。因此這一步中已經(jīng)有了一個正定的Lypunov函數(shù)。文獻(xiàn)［20］中的V（x）=xTPx，而求解所得是其逆陣Q=P－1，即由于正定陣乘以正數(shù)仍是正定的，所以這里是以已經(jīng)求得的這個Lyapunov函數(shù)V（x）作為基本函數(shù)再乘以一個系數(shù)KV形成式（31）中的一個新的正定函數(shù)，這個KV是尋優(yōu)過程中的另一個決策變量。

現(xiàn)在Hamilton函數(shù)式（31）中的變量是x，γ，q2和KV，可寫成H［x，γ，q2，KV］。這樣，L2增益的求解就轉(zhuǎn)化成如下的一個優(yōu)化問題了。

注意到式中的q2是對輸出的加權(quán)，如果q2=1，那么L2增益的意義就更為清晰，所以可以先取q2= 1來開始尋優(yōu)。這樣，現(xiàn)在的決策變量就只有γ和KV了。要求解這個優(yōu)化問題，就是要看式（34）這個H是否小于等于零。如果這是一個二階系統(tǒng)，則只要將狀態(tài)變量x1和x2劃分為網(wǎng)格，各個網(wǎng)格點上的H值形成一個曲面，如果曲面的最高點≤0，即為最優(yōu)解。可是本例中的狀態(tài)變量是6維的，數(shù)值尋優(yōu)中數(shù)據(jù)量是很大的，而且也不易用圖解來表示。注意到結(jié)合具體的Hamilton函數(shù)來說，式（34）的超平面應(yīng)該是連續(xù)的，不存在突變點。所以可以取一條斜穿整個狀態(tài)空間的特定的軌跡線來進(jìn)行尋優(yōu)。具體來說，在式（34）中使每一個計算點的狀態(tài)變量都為同一個值，即x1=x2=…=x6=c，使c從－10到+10共取2×104點進(jìn)行尋優(yōu)。當(dāng)KV=104時得γmin=0.42。圖2所示就是對應(yīng)于這個γmin的Hamilton函數(shù)（實線）。作為驗算，若γ=0.41時這Hamilton函數(shù)就開始上翹，即H≥0。圖2的圖形表明，對這類尋優(yōu)問題來說，因為Hamilton函數(shù)的超平面是連續(xù)的，一條斜貫穿的軌線就足以反映出H是否總是小于零。取這樣的特定軌跡線來尋優(yōu)，既方便又實用。

圖2 Hamilton函數(shù)圖Fig.2Hamiltonian function

現(xiàn)在來考察所設(shè)計系統(tǒng)的L2增益。設(shè)在衛(wèi)星的x、y、z軸上分別加上分段的常值擾動ωx、ωy和ωz:

圖3所示就是在這些擾動力矩作用下，姿態(tài)輸出（σ）的響應(yīng)曲線。

根據(jù)w（t）和輸出的響應(yīng)曲線σ（t）可以計算有限區(qū)段［0，T］內(nèi)輸入到輸出的截斷2－范數(shù)‖z‖2，T/‖w‖2，T如圖4所示。式中

圖3 擾動作用下的輸出響應(yīng)Fig.3Output responses under disturbance

圖4中還用虛線標(biāo)出了上面設(shè)計所求得的γ值0.42。根據(jù)圖4和式（3）可知，所設(shè)計系統(tǒng)的L2增益小于等于γ=0.42。當(dāng)然這里只是一個特定的擾動信號下的例子，對于任何的截斷L2函數(shù)，其增益都是小于等于0.42的。這個L2增益在本例中就是系統(tǒng)的擾動抑制（disturbance attenuation）特性。如果這個擾動抑制特性不滿足設(shè)計要求，就要修改狀態(tài)反饋設(shè)計，即修改式（17）中的反饋增益K（x），再重新計算L2增益γi+1

圖4 截斷2－范數(shù)Fig.4Topology of fire alarm controller

5 結(jié)論

SOS方法是一種數(shù)值求解方法，可以求解不易解析求解的非線性問題。但SOS在使用時仍有本身的一些限制條件，實際上還不能正面的、一次性的來求解HJI不等式或有界實不等式。本文提出分成兩步來求解非線性H∞控制問題，在解狀態(tài)反饋解和修改狀態(tài)反饋解時能充分發(fā)揮SOS法的優(yōu)點，而在求解L2增益時則采用圖解解析法來尋優(yōu)，為非線性H∞控制問題提供了一個簡便實用的求解方法。

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（編輯:張詩閣）

SOS design for nonlinear H∞control

HE Zhen1，WANG Guang-xiong1，MENG Fan-wei2
（1.School of Astronautics，Harbin Institute of Technology，Harbin 150001，China 2.School of Control Engineering，Northeast University at Qinhuangdao，Qinhuangdao 066004，China）

A new design method for nonlinear H∞control was proposed.Though sum of squares（SOS） method can be used to solve analytically unsolvable nonlinear problems，but it still cannot be used directly to solve the Hamilton-Jacobi-Issacs（HJI）inequality or the nonlinear bounded-real inequality.The restrictions of the SOS method were discussed in detail.An iterative design procedure for nonlinear H∞control problems was presented.There are two steps in each round of iteration.The first step is to design the nonlinear state feedback with adjustable gain matrix by using the SOS method.The second step is to solve an optimal problem in computation of the L2-gain by using a graphical－analytical method.A nonlinear H∞control design for large attitude maneuvers of statellites was presented as an application example of the proposed method.

nonlinear H∞control;sum of squares（SOS）;Hamilton-Jacobi-Issacs inequality;bounded real lemma;attitude control

10.15938/j.emc.2015.01.012

TP 273

A

1007－449X（2015）01－0082－08

2014－03－18

國家自然科學(xué)基金重點資助項目（61034001）;國家自然科學(xué)基金資助項目（61174203，60374027）

何朕（1972—），女，博士，教授，研究方向為控制系統(tǒng)設(shè)計、魯棒控制及H∞控制等;

王廣雄（1933—），男，教授，研究方向為控制系統(tǒng)設(shè)計、魯棒控制及H∞控制等;

孟范偉（1981—），男，博士，講師，研究方向為魯棒控制。

何朕