緊扣“三個半徑”　突破“天體運動”的難點

黃俊杰

(南京航空航天大學附屬高級中學，江蘇　南京　210007)

緊扣“三個半徑”突破“天體運動”的難點

黃俊杰

(南京航空航天大學附屬高級中學，江蘇南京210007)

摘要：在高中物理“天體運動”的教學中，由于天體運動的模型比較靈活，萬有引力公式和向心力公式也比較繁瑣，對學生而言是一個的難點.如何引領學生深刻理解天體運動和勻速圓周運動模型的關系，理解好“三個半徑”的概念將對突破“天體運動”這一教學難點起到重要的作用.

關鍵詞：天體運動；引力半徑；軌道半徑；星球半徑

“天體運動”是高中階段非常重要的章節，其中既包含了萬有引力的知識，還包含了之前所學的牛頓運動定律、曲線運動等知識點，是綜合性很強的一個章節.筆者在教學中發現，學生對行星運動、衛星變軌、雙星運動等的理解上感覺比較困難.其原因在于學生對天體運動中的“三個半徑”的理解不夠準確.這里的三個半徑是指：引力半徑、軌道半徑和星球半徑.本文就如何緊扣這“三個半徑”、突破“天體運動”的這一教學難點，談一談個人的體會.

1“三個半徑”的界定

第三，高中階段的天體一般都近似看成球體，所以不同的星體還有各自的不同的球體半徑，我們稱該半徑為星體半徑(下文中用R表示).這三個半徑在天體運動中即彼此區別，又相互關聯.

2緊扣“三個半徑”，突破“天體運動”的難點

2.1　辨析“軌道半徑”和“星球半徑”，避免低級錯誤

很多學生會將星球半徑R與r軌混淆，只有在衛星近地飛行時R與r軌才相等，一般情況下R與r軌的關系為：r軌=R+h(h為衛星到星球表面的距離).

例1火箭在高空某處所受的引力為它在地面某處所受引力的一半，則火箭離地面的高度與地球半徑之比為().

圖1

2.2　辨析引力半徑和軌道半徑，突破“變軌模型”

變軌問題是天體運動中學生感覺比較困難的知識點.舉個例子，一顆衛星在距離地球中心為R的軌道上勻速圓周運動(如圖1)，當到達a點時實施變軌，如何分析在變軌前后衛星在a點的線速度、角速度以及向心加速度的變化情況？

圖2

例2發射地球同步衛星時，先將衛星發射至近地圓軌道1，然后經點火，使其沿橢圓軌道2運行，最后再次點火將衛星送入同步圓軌道3，軌道1、2相切于Q點，軌道2、3相切于P點，如圖2所示，則衛星分別在軌道1、2、3上正常運行時，下列說法正確的是().

A. 衛星在軌道3上的速率大于在軌道1上的速率

B. 衛星在軌道3上角速度的小于在軌道1上的角速度

C. 衛星在軌道1上經過Q點時的加速度等于它在軌道2上經過Q點時的加速度

D. 衛星在軌道2上經過P點時的加速度小于它在軌道3上經過P點時的加速度

常見錯誤分析：錯選D.主要原因是不清楚衛星位于橢圓軌道上的P點和圓軌道上的P點時，加速度都是由萬有引力產生的，因此加速度相等.不清楚橢圓軌道和圓軌道在同一個點的曲率半徑不相等，盲目套用圓周運動的公式導致錯解.

2.3　辨析引力半徑和軌道半徑，突破“雙星問題”

例3神奇的黑洞是近代引力理論所預言的一種特殊天體,探尋黑洞的方案之一是觀測雙星系統的運動規律.天文學家觀測河外星系大麥哲倫云時,發現了LMCX-3雙星系統,它由可見星A和不可見的暗星B構成.兩星視為質點,不考慮其他天體的影響,A、B圍繞兩者連線上的O點做勻速圓周運動,它們之間的距離保持不變(如圖3).引力常量為G,由觀測能夠得到可見星A的速率v和運行周期T.求：可見星A所受暗星B的引力FA可等效為位于O點處質量為M′的星體(視為質點)對它的引力,設A和B的質量分別為M1、M2,試求M′(用M1、M2表示).

圖3

分析：“雙星問題”的難點在于兩個構成雙星的天體相互之間的萬有引力提供了各自的向心力，且兩個天體運行的圓形軌道是同心圓(如圖3)，且運行的角速度相同.所以兩個天體各自的軌道半徑之和才是兩星之間的引力半徑，即：r軌1+r軌2=r引.學生只要在本題中建立起像圖3一樣的模型，并分清引力半徑和軌道半徑的區別和聯系，“雙星問題”就自然攻克了.

雖然“雙星模型”中的兩個軌道都是圓形軌道，但和一般的衛星繞恒星轉動的問題有著本質的區別.“雙星模型”中的軌道半徑和引力半徑并不是完全一樣的，如果學生辨析清楚了兩者之間的區別與聯系，自然也就突破了這個難點.

綜上所述，在“天體運動”中牢牢的扣住“三個半徑”的辨析進行教學，可以幫助學生更好的理解萬有引力公式、向心力公式和牛頓運動定律公式之間的聯系，熟練地利用這些公式解決不同的模型，提高學習的效率.