無限循環小數中的一個悖論

劉江朝

摘 要：悖論，一直是長期困擾我們的難題，即使在科技高度發展、文明高度繁榮的今天，依舊或者絕大部分的難題沒有得到很好的解答，如：忒修斯之船悖論、雞蛋悖論……

關鍵詞：無限循環小數

無限循環小數于我們而言肯定是再熟悉不過了，那么你是否想過無限循環小數上是否也存在悖論呢？即0.9= 1？我想大多數人都會回答0.9≈ 1，但是我卻認為0.9= 1 。

何為悖論，就我的理解而言，我覺得應該就是按照正常的邏輯卻能推導出與之互相矛盾的結果;如：一艘船的所有零件都換成新的后，那么船還是原來的船嗎？如果你認為是，那么你考慮一下：船的組成部分已經全部被替換了，為什么還是原來的船呢？如果你認為不是，那么我也想多問一句，你既然認為不是，那么按照你的邏輯，我們都知道人體的細胞每七年就會更新一次，那么這樣說的話，七年前的我跟七年后的我豈不是不是同一個我，這樣真的對嗎？這就是有名的“忒修斯之船悖論”，不管你認為對或不對，你都應該給出證明過程，說服對方。我記得Thomas Hobbes和John Locke就嘗試對它進行解答，然而卻無疾而終;此外，我還舉一個比較有意思的悖論，那就是我們日常生活中常常討論的雞與蛋悖論，“到底是先有雞還是先有蛋？”，貌似這好像是一個無解的問題，你若說是先有雞后有蛋，那么我就該反問你，雞不就是從蛋里孵化出來的嗎？沒有雞何蛋之有？那么你若說是先有蛋后有雞，那么問題也來了，沒有雞，蛋又從何而來呢？

當然對于這樣的悖論，想去論證，我想我還沒有這個能力，上邊那就權當一個引入吧，我接下來要討論的悖論是一個有關于無限循環小數的，說起無限循環小數，大家肯定都不以為然，一個小數五年級的知識點，有悖論存在嗎？然而確實有的，且聽我娓娓道來。

在論證之前，我先回顧一下小學的幾個知識點：

一、小數：由整數部分、小數點、小數部分組成的數

二、無限小數：就是指寫成小數形式后，小數部分無窮盡的、不能被整除的數;如：π

三、循環小數：就是在小數的基礎上，從小數點后的某一位起，一個或多個數字依次重復出現的無限小數叫做循環小數，也就是題目中的無限循環小數。

四、循環節：在循環小數中不斷重復的數字，我們稱為循環節。如：0.123123，該小數的循環節便就是123

有了上邊的基礎之后，我就可以引入下邊的論題了，我要闡述的悖論如下：

請問： ? 0.9 ?= ?1 ?，成立嗎？

我想我這樣問，大家都會感覺我問的很傻瓜，覺得我肯定是小學沒畢業，很顯“不等于”嘛！從小學起老師就這樣教，0.9≈ 1成立，但0.9= 1不成立。

然而真的是這樣的嗎？難道你們就沒有過一點懷疑嗎？其實我問過很多人，上初中開始就問同學，都說不等于，一直到現在我上了大學，我問同學，他們還是都說不等于，當然我也問過大學里的一些教授，但是答案還是一樣的，“0.9是不等于1的”，所以我就寫了這篇文章，希望有識之士們，能夠給我解答下疑問。

既然我稱它為悖論，那么它自然是與我們的正常的邏輯是相違背的，即0.9 ≈ 1，而不是0.9= 1一樣。那么你們都認為不等于，那么我就冒天下之大不韙，我認為他們倆是等于的，因為我證明它們是相等的（解答如下）。

解： 設0.9為 x

那么顯然 ?0.09應該為 0.1 x

于是便應該有下式成立：

X – 0.1x = 0.9–0.09

即：0 .9x = 0.9

解得： x = 1

我設x=0.9，結果卻得出x=1;這不正是我們的由因及果的推導方式嗎？那不就是我們要證的論題嗎？

至此，說論題得證，我想還有點為時過早，因為大多數人都會覺得我的證明過程有問題，因為我以前用同樣的方法證明然后跟他們討論的時候，就遇到過，他們都說我的過程有問題，我記得有一個跟我討論的提出了這樣一個觀點說0.9–0.09=0.9，是不成立的，他的解釋是0.09的9的位數與0.9循環中9的位數是不樣多的，他認為0.09中的9的個數應該比 ?0.9的9的個數要多一個，其實我想說，既然他們倆都是無限的又哪來9的個數上存在差別呢？還有一種說法就是他們認為在無限域上，我們常規的方法是不能用，與前一個相比，我倒覺得這個尚有可能之處。

對于這種說法，我又想到一個駁倒它的方法，還是從數學證明的角度出發，因為數學的論證是最具有說服力的，其實上述的兩種能不外乎就是一點，那就是我的證明過程中某一步是存在邏輯錯誤的，那么要想看我證明正確與否其實也很簡單，那就按照我的方法在解其它的類似的論題，看看是否能得出錯誤的答案即可。

例：我們設0.8為x，如果我們最后解決x仍等于0.8，那么是否就說明我的論證過程是沒問題的。

設： ?0.8為 x

那么顯然 0.08應該為 0.1 x （注意點在后邊的8上）

于是便應該有下式成立：

x – 0.1x =0.8 – 0.08

即： ? 0 .9x = 0.8

解得： ? x = 8/9

經過計算易知： 8/9 = 0.8

顯然得出 x = 0.8;這豈不正說明了我的計算方法是沒有問題的，而且是可以推廣的，同理我還用同樣的方法用0.7、0.6一直到0.1 均測試了，結果都表明我的算法是沒有錯的，至此我就大膽的猜測我的證明方法是沒錯的，至此便得證：0.9 ? = ?1。

從邏輯學的角度來說，一件事如果有且只有兩種可能，那么它在這兩種可能中必居其一且只居其一，對于悖論而言，它涵蓋一件事的兩種結果，那么它的答案就只能是兩者中的一種，且只能是其中的一種，就如雞蛋悖論：他只能是“雞生蛋”或者“蛋生雞”中的一種，絕不會兩者都是，只不過具體結果是什么，這可能就需要我們不斷的去努力探索，答案總是有的，只是我們還未解答它了罷，尚等待時間的考究，其實對于這件事我覺得突破點應該還是在生物學的研究上，等我們的生物科學發達到一定的程度，那么這件事就應該有個明確的結果了。

那么為什么會出現這樣的悖論了？而且只有0.9 = ?1成立，而其他的類似的0.8、0.7、0.6等等循環小數卻還是等于自身呢？ 誰實話，其實這也是我百思不得其解的事。

參考文獻：

[1]：托馬斯·霍布斯（Thomas Hobbes，1588-1679）英國政治家、哲學家.

[2]：約翰·洛克（John Locke，1632年8月29日-1704年10月28日）是英國的哲學家.

[3]：表示以9為循環節的無限小數.

[4]：這里的“x”只是一個未知量.

[5]：0.1 乘以 x 的簡寫.