弱混合與混沌

王立冬，曹紅光，梁建華

(1.吉林大學 數學學院，吉林 長春130012;2.大連民族大學 理學院，遼寧 大連116605)

長期以來，軌道漸近性質的研究是動力系統的中心問題。20 世紀60 年代以前，確定論是科學研究的主導思想，但是隨著氣象學和生態學中許多自然現象的出現，學者們意識到隨機性與不可確定性的重要性。

然而，很長一段時間內，數學界并沒有一個明確的混沌的定義。直到1975 年，李天巖和Yorke［1］第一次用數學語言給出了混沌的定義。D被稱作f 的一個Li-Yorke 混沌集，如果對D 內任意不同的兩點x，y 滿足d(fn(x)，fn(y))＞0，(fn(x)，fn(y))=0。f 被稱作Li -Yorke 混沌的，如果存在一個不可數的混沌集。

從此，混沌的研究對動力系統產生了重要的影響。根據迭代映射在度量空間上的不同性質，人們給出了很多種混沌的定義。傳遞性和敏感性在這些定義中是很重要的性質。映射f 是傳遞的當且僅當對X 中任意非空開集U，V，存在正整數n 使得fn(U)∩V≠φ。稱點v∈X 為f 的一個傳遞點，若v 的軌道orb(v，f)={fn(v):n∈N}在X 中稠密，稱映射f 為敏感的，若存在ε ＞0 使得對每個非空開集U?X，存在x，y∈U，n∈N 使得d(fn(x)，fn(y))＞ε，其中ε 叫做f 的一個敏感常數。

1989 年，Devaney［2］給出另一種混沌的定義。在文獻［3］中，Ruelle 和Takens 定義了一個新的混沌，被稱作R -T 混沌。1996 年，Kato［4］稱f 是混沌的，若f 滿足可達性和敏感性。1999 年，Martelli［5］稱f 是混沌的，如果存在x0∈X，使得x0的軌道在X 中稠密且x0的軌道是不穩定的。為了研究分布混沌和Li-Yorke 混沌之間的關系，王立冬［6］在2007 年引入了“按序列分布混沌”的概念。

近年來，人們加強了一些混沌定義的條件，又提出了許多新的混沌的定義，如強Kato 混沌、強Li-Yorke 混沌、強按序列分布混沌等。

本文把傳遞性和弱混合性推廣到拓撲群上，并定義了緊致度量空間上群作用的強Kato 混沌。證明了弱混合是動力系統(X，G)為強Kato 混沌的一個充分條件。

1 基本定義

假設X 是一個完備的度量空間，度量為d，G是一個拓撲交換群。任意非空開集Y?X，x∈X，r＞0，B(x，r)={y∈X:d(x，y)＜r}，d(x，Y)=inf{d(x，y):y∈Y}。

集合S?X(包含至少兩點)叫做一個δ-混沌集，如果對某個正常數δ，?x，y ∈S，x ≠y 使得(fn(x)，fn(y)) ＞ δ，(fn(x)，fn(y))=0。映射f 是強Li-Yorke 混沌的，如果它有一個δ-混沌集。

設S 是X 的一個子集，包含至少兩個點，x，y∈S，x≠y，{pk}是一個正整數序列。對?δ ＞0，令

Fxy(δ，{pk})=#{k | d(fPk(x)，fPk(y))＜δ，1≤k≤n}，

其中#A 是A 的基數。

集合S?X 叫做按正整數序列pk的分布混沌集，如果對任意不同兩點x，y∈S，

(1)對某個ε ＞0，Fxy(ε，{pk})=0;

(2)對所有δ ＞0，F*xy(δ，{pk})=1。

映射f:X→X 是按序列分布混沌的，如果它有一個不可數的按序列分布混沌集。如果存在ε ＞0 使得對不同的x，y∈S 有Fxy(ε，{pk})=0，則稱按序列分布混沌是強的。

映射f 是Ruelle-Takens 混沌的，如果

(1)f 是傳遞的;

(2)存在ε ＞0，使得對每個x∈X，任意δ ＞0和每個B(x，δ)，存在y∈B(x，δ)，n ＞0 使得d(fn(x)，fn(y))＞ε。

映射f 是可達的，如果對于每個ε ＞0 和每對X 中的非空開集U，V，存在x∈U，y∈V，n∈N 使得d(fn(x)，fn(y))＜ε。

映射f 是Kato 混沌的，如果f 是敏感的并且可達的。

映射f 是Martelli 混沌的，若存在x0∈X 使得

(2)x0的軌道是不穩定的，即存在r ＞0 使得對于每個ε ＞0，存在y∈X，n≥1 滿足兩個不等式d(x，y)＜ε，d(fn(x)，fn(y))＞γ。

如果φ:G×X→X 是連續的并且滿足條件:

(1)對任意x∈X，φ(e，x)=x，其中e 是群G的單位元;

(2)對任何x∈X，g1，g2∈G，φ(g1，φ(g2，x))=φ(g1g2，x);

則(X，G，φ)叫做一個拓撲動力系統，記為(X，G)。為了方便起見，φ(g，x)用gx 來表示。

系統(X，G)是拓撲傳遞的，如果對于每對X的非空開集U，V，存在g∈G 使得g［U］∩V≠?，其中g［U］={gxx∈U}。對于任意的x∈X，x 的軌道為orb(x，G)={gxg∈G}。點v∈X 被稱為(X，G)的一個傳遞點，如果v 的軌道orb(v，G)在X 中稠密。

系統(X，G)是弱混合的，若對X 中的任意四個非空開集U1，U2，V1，V2，存在g∈G 使得g［U1］∩V1≠?，g［U2］∩V2≠?。

設N≥2 是一個整數。λ ＞0 是g 的一個N -敏感系數，若對于每個非空開集U?X，存在N 個點x1，x2，…，xN∈U，n ＞0 使得min{d(gxi，gxj)|i，j∈{1，2，…，N}，i≠j}≥λ。g 的所有N -敏感系數的上確界記為λN，叫做g 的N -臨界敏感系數。

對?x1，x2，…，xN∈X，記r(x1，x2，…，xN)=min{d(xi，xj)|i，j∈{1，2，…，N}，i≠j}。令rN=(x1，x2，…，xN)。顯然，λN≤rN，且均單調遞減趨于0。

設(X，d)為一個至少包含兩個點的緊致度量空間，φ:G×X→X 是連續的。若λN=rN，(X，G)叫做N-最大敏感的。若對每個N ＞0，λN=rN，則(X，G)叫做一致最大敏感的(簡記為TMS)。

動力系統(X，G)是強可達的，如果對任意ε ＞0，X 中的非空開集 { Ui}，存在點xi∈Ui，i=1，2，…，N，g∈G 使得d(gxi，gxj)＜ε，i≠j。

如果(X，G)既是TMS 的，又是強可達的，動力系統(X，G)叫做強Kato 混沌的。

2 主要定理

定理1 設(X，d)是一個沒有孤立點的緊致度量空間，G 是作用在X 上的一個拓撲交換群。若拓撲動力系統(X，G)是弱混合的，則(X，G)是強Kato 混沌的。

證明 第一步，證明對于?N≥2，如果(X，G)是弱混合的，則(XN，G)是傳遞的。

由(X，G)是弱混合的定義得到，(X ×X，G)是傳遞的。假設對某個N≥2，(XN，G)是傳遞的。設U1，U2，…，UN，UN+1，V1，V2，…，VN，VN+1是X 中任意2(N+1)個非空開集。(X×X，G)是傳遞的，則存在g1∈G 使得

因為(XN，G)是傳遞的，則存在g2∈G 使得g2［Ui］∩Vi≠?，i=1，2，…，N-1;g2［U］∩V≠?;g2［UN+1］∩VN+1?g2［g1［U］］∩g1［V］?g1［g2［U］∩V］≠?。從而，(XN+1，G)是傳遞的。由歸納法，對?N≥2，(XN，G)是傳遞的。

第二步，證明動力系統(XN，G)的傳遞點的集合{(x1，x2，…，xN)∈XN=XN，g∈ G }是一個Gδ集。

X 是一個緊致度量空間，因此X 有可數拓撲基 { Bn}。 { Bn}N是XN的一個拓撲基。顯然有{(x1，x2，…，xN)∈XN=XN，

由(XN，G)是傳遞的，得到對XN中任意開集U1×…×UN和V1×…×VN，存在g∈G 使得g-1［U1×…×UN］∩(V1× … × VN)≠φ。-1［U1× …UN］是XN中的一個稠密子集。由式(1)，(XN，G)的傳遞點的集合是一個Gδ集。

第三步，證明(XN，G)是TMS 的。

由rN的定義，對N≥2，0 ＜ε0＜rN，存在點x1，x2，…，xN∈X 使得

綜上，得到對XN中的任意開集U1×U2×…×UN，存在(y1，y2，…，yN)∈(U1×U2×… ×UN)∩{(x1，x2，…，xN)∈XN=XN，g∈G} 和g∈G 使得max d(xi，gyi)|i，j∈{1，2，…，N}{，i≠j，xi∈Ui}＜。

故對上述g∈G，對每個i，j∈{1 ，2，…，N }，i≠j，得到

從而，rN-ε0是g 的一個N -敏感系數。由N，ε0的任意性，(X，G)是TMS 的。

最后，證明(X，G)是強可達的。

由(XN，G)是傳遞的，對?ε ＞0，N≥2 和X 中非空開集U1，U2，…，UN，V，存在g∈G 使得g［Ui］∩V≠φ，i=1，2，…，N，其中diam(V)＜ε。從而，存在xi∈Ui使得gxi∈V，i=1，2，…，N，i.e.d(gxi，gxj)＜ε，i≠j。所以，(X，G)是強可達的。

綜上，(X，G)是強Kato 混沌的。

推論1 設X 是一個緊致度量空間，度量為d。f:X→X 是一個連續映射。若f 是弱混合的，則

(1)f 是強Kato 混沌的;

(2)f 是強Li-Yorke 混沌的;

(3)f 是強按序列分布混沌的;

(4)f 是R-T 混沌的;

(5)f 是Martelli 混沌的。

證明 (1)設G={fi:i∈N+}，則G 是一個加法交換群。由定理1 的證明，f 是強Kato 混沌的。

(2)因為f 是強Kato 混沌的，故f 是Kato 混沌的。由文獻［4］，f 是強Li-Yorke 混沌的。

(3)參見文獻［7］。

(4)根據R-T 混沌的定義，顯然成立。

(5)參見文獻［8］。

［1］LI T Y，YORKE J A. Period three implies chaos. Amer［J］. Math. Monthly，1975，82:985 -992.

［2］DEVANEY R L. An introduction to chaotic dynamical systems［M］. Reading:Addison-Wesley，1989.

［3］RUELLE D，TAKENS F. On the nature of turbulence［J］. Comm. Math. Phys.，1971，20:167 -192.

［4］KATO H. Everywhere chaotic homeomorphisms on manifields and k -dimensional menger mainfolds［J］. Topol Appl.，1996，72:1 -17.

［5］MARTELLI M. Introduction to discrete dynamical systems and chaos［M］. John Wiley ＆ Sons，2011.

［6］WANG L，HUANG G，HUAN S. Distributional chaos in a sequence［J］. Nonlinear Anal，2007，67:2131 -2136.

［7］LI J，TAN F. The equivalence relationship between Li-Yorke δ - chaos and distributional δ - chaos in a sequence［J］. Journal of South China Normal University，2010，3:34 -38.

［8］WANG L，CHEN Z，LIAO G. The complexity of a minimal sub-shift on symbolic spaces［J］. Journal of mathematical analysis and applications，2006，317:136 -145.