例談信息技術與數學發現式學習

魏金蘭

（福建省泉州市城東中學）

《普通高中信息技術課程標準》要求轉變教師教學方式和學生的學習方式，重視學生對定理和公式的探索、發現、推導的過程。教師在定理、性質、法則、公式、規律等的教學中要引導學生積極參與這些結論的探索、發現、推導的過程，不斷在數學思想方法的指導下，弄清每個結論的因果關系，最后再引導學生歸納得出結論。但是沒有一定的知識理論基礎，適當的情境引導，要學生自行發現一些規律性結論，那是很難的，畢竟世界上掉落的蘋果常常有，但是牛頓卻不常有。所以，需要老師運用一些手段，創設一些情境，合理地引導學生參與觀察、描述、操作、猜想、實驗、收集、整理、思考、推理等。

信息技術與課堂教學整合給學習方式帶來天翻地覆的變化，一些優秀的教學輔助軟件如Powerponit、Execl、幾何畫板、Z＋Z 智能平臺等為教學帶來極大的方便。尤其是幾何畫板的功能強大，其中的度量工具，隨時度量長度，角度，面積，周長，弧長，弧角，坐標，斜率等，且能隨時跟蹤數值變化，能動態顯示數學問題的形成、變化與結果，這就使得數學實驗中一個重要思想——定量分析得出定性的結論得以輕松操作實驗。

教師如果能夠利用信息技術，巧妙地結合數學教學內容，創設合理的情境，讓抽象的數學概念可視化，展示出變化的過程和結果，不斷改變其中的變量，讓學生觀察結果中的變與不變，分析數學問題本質。這樣從直觀表象到深入理解，從特殊具體到一般抽象，從歸納猜想到推理證明，改變了以往知識呈現的過程，只注重知識的傳授，而更加注重知識產生過程的實驗與探究，這樣的教學方式和學生發現式學習方式使學生更容易理解和掌握數學，鍛煉了學生的觀察敏銳性和分析推理的直覺性，進而啟動探究活動，推理演繹驗證結論，從而促進數學多方位思維能力的發展。下面例談借助信息技術探索數學教學中的幾個問題。

例如，利用幾何畫板創設正弦函數定義的生成以及由定義探索正弦函數的性質。任意做出一個角α 的終邊，從終邊上任意取一點P（原點除外），度量出坐標P（x,y），計算OP 長度設為r，改變P 的不同位置，制表生成x，y，r 和sinα 數值。

觀察二：改變終邊射線的位置，看P 點坐標和比值sinα=的變化。

觀察三：改變終邊射線的位置，看P 點坐標和比值sinα=的大小，正負。

觀察四：取終邊射線與原來的終邊射線位置關于x 軸，y 軸，原點對稱時刻，看P 點坐標和比值sinα=的變化。

通過觀察一和二發現前后兩個比值不同，引起學生的思維沖突，主動調整認知結構，對相關信息進行同化和順應，逐漸分析出比值與終邊上點的位置無關而與終邊的位置有關，最終達到對正弦函數概念的“意義建構”，認識到比值確實是角的函數。深入觀察三，這時老師要重復顯示角度變動過程，也可以讓學生操作射線轉動，收集他們觀察發現的現象，會進一步地發現比值的大小范圍和正負的情況。學生必然會饒有興趣、集思廣益。做觀察四之前，要先做出原來終邊射線關于關于x 軸，y 軸，原點對稱的終邊射線，這時再讓學生觀察P 點坐標和比值sinα=的變化情況。通過這樣明確的數值變化，學生很直接地可以發現一些結論，老師可以引導他們用自己的語言猜想，描述定理、公式、性質，老師再加以修正，并組織進行推理論證。沒有利用信息技術，老師在取角和取點都只能取特殊的，而利用幾何畫板隨時可以跟蹤數值的變化讓學生自行發現式學習，學生參與了整個過程必會很有成就感。這個方法同樣可以應用在探究余弦函數和正切函數的定義。

例如，平面向量的基本定理取定不共線的向量OA，OB 對于平面的任一向量OC，都存在唯一的一組實數對x，y，使得

該定理本身的推導學生很好理解,但是就是對于x，y 取值沒有直觀感性的認識，尤其是隨意取的基底，x，y 取值具體是多少，老師也無法同步給出。此時，幾何畫板的度量功能又派上用場，設置好跟蹤C 點變化度量x，y 值，拖動C 點，隨著在整個平面的變動，啟動發現式學習，讓學生觀察x，y 的變化，記錄在四個象限以及與共線時候的x，y 值大小，正負。

例如，數學必修5 正弦定理這一節有個探究：在任意的三角形中有大邊對大角，小邊對小角關系，探究能否得到邊角關系準確的量化表示。這個探究如果沒有信息技術的支持是很難的，因為初中都是學習特殊三角形，而任意三角形三邊和三角的數據變化，若人工測量，即便不辭辛苦也難以準確，以致影響結果。但是利用幾何畫板畫出任意三角形ABC，再設置度量三邊長度，三角的角度，計算三角的正弦值，拖動其中一個頂點，隨意改變三角形的形狀，大量的數據同步變動，這時就可以發現探究了，這個方法同樣也可以用來探究或者驗證余弦定理和面積公式。

常規數學教學常常是演繹性的，抽去發現探索的過程。而實際上數學結論的獲得常常是發現和猜想的過程。幾何畫板、圖形計算器等技術可以使學生在較短時間內獲得大量的實例或是數學對象中參數變化后的不同結果，從中發現規律并產生猜想。

例如，已知四邊形DEFG 是△ABC 的內接矩形，求其面積的最大值。

利用幾何畫板畫三角形和它的內接四邊形，設置矩形隨DE拖動變化，跟蹤G 點坐標，計算AD 和AB 長度比，矩形DEFG 和ABC 面積比的同步變化數值，拖動D 點改變矩形，就可以在表格中看到數據的變化情況，還可以設置矩形面積變化的同步函數圖象，直觀地看出D 點在不同位置時刻的面積變化情況，并且顯示取得最大值的矩形。

這也是一道充分利用幾何畫板強大的數據處理功能，尤其是時時度量面積，并同步顯示，使得結論顯而易見。結論預知，探索題型就變為證明題。

觸類旁通，借助幾何畫板跟蹤度量長度，距離，角度，面積等手段同樣可以創設類似的問題情境，讓學生觀察數據變化，發現規律，引發猜想，描述結果，進一步探究，推理論證。如，線段定比分點P 的不同位置對應分比λ 的變化；點與圓的不同位置對應點到圓心距離的變化；直線與圓的不同位置對應圓心到直線的距離；兩圓的位置關系的變動對應兩圓心之間距離與半徑的和差關系；橢圓上任何一點和兩焦點連線夾角的變化；含參數的函數或方程，設置參數變化觀察圖象變化等都可以利用對參數賦值等方法來構造數學對象的特例，然后連續變化參數來變換數學對象，經過觀察、思考、嘗試、猜想等具有創造性的數學思維活動，來尋找數學規律，并且試著求證發現的結論.

人不知道哪里有寶藏，如果知道哪里有寶藏，那怎么挖掘根本不是問題，人有無窮的辦法，不挖掘出來不會罷休。學生關鍵是不知道往哪里探究數學知識，如果知道探究方向很多定理，公式，性質等是可以在老師的引導下，運用所學的知識逐步推導出來的。教師作為教學的主導，創設引人入勝的問題情境是需要匠心獨運，借助信息技術制作課件創設教學情境，形象直觀的演示數學對象，動態的展現數學關系，啟發數學思維。創設出展現知識的產生、發展、變化過程的數學情境，吸引學生主動進入學習情境去感知、理解、建構數學的意義，提高課堂效率和效果，既改進教學方式，也改變學生的學習方式。很多老師納悶怎么啟動探究性學習，以為探究性學習是要針對繁雜問題。確實，數學很多規律都是隱性的，但是數據分布顯示著性質，借助信息技術模擬數學實驗，使得數學對象的結果顯性化，引導學生發現式學習，學生經常訓練觀察、分析現象，進而對比、歸納來數學關系，進而組織探究性學習，演繹推理結果.讓學生親眼目睹數學過程形象而生動的性質，親身體驗如何“做數學”、如何實現數學的“再創造”，并從中感受到數學的力量，促進數學的學習。這樣的學習方式，使學生能夠真正地從事思維活動，并表達自己的理解，而不只是模仿與記憶，極大地鍛煉了學生獨立分析問題、解決問題的能力，培養了學生質疑、探索、合作的精神品質。

［1］胡展航.中數學課程與信息技術整合中存在的問題及對策［J］.考試周刊，2011（26）.

［2］陳旭平.信息技術與高中數學新課程的整合淺談［J］.中國教育技術裝備，2012（13）.

［3］韓際清，田明泉.高中數學新課程理念與教學實踐［M］.商務印書館，2007.