化歸與轉化法在高中數學中的應用探究

林雋

摘 要：化歸與轉化法是高中數學的一個常用思想方法，用化歸與轉化法可以讓問題更容易得到解決，或者讓解決問題的過程更加簡便。通過該方法的學習，可以建立學生學習數學的自信，因此它在高中數學中有著極其重要的意義及作用。本文試就化歸與轉化法在高中數學中的應用做一個總結和歸納。

關鍵詞：化歸；轉化；方法；應用

中圖分類號：G632 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2014）24-291-02

現代各門應用科學中廣泛使用“數學模型方法”，化歸轉化方法就是其中的一種，在高中數學中也有著十分廣泛應用。

一、化歸與轉化法的內涵

化歸與轉化法是分析處理數學問題的一種普遍方法，在數學解題，論證和應用中有著多方面的作用。化歸與轉化法的根本思想就是通過適當的方法把原問題不斷的轉化，最終轉化為已解決或易于解決的問題。在應用化歸與轉化法解題時，應遵循化繁為簡、化難為易的原則，應注意轉化前后是否等價，如果不是等價轉化，那么利用這樣的化歸與轉化法解題后，須注意做一些彌補工作。

二、化歸與轉化法在高中數學中的應用

1、代數換元法。換元的常用方法有：三角換元、局部換元等。其中局部換元是學生們十分熟悉的方法，主要通過引進新的變量，從而簡化問題的運算，或讓問題易于解決。在解方程、不等式、函數等諸多問題中都可見到換元法的使用。

而三角換元，其基本原則就是利用三角函數的定義及有關三角公式，從而把原問題轉化為三角函數問題，繼而通過解決三角恒等變換、解三角方程等問題，完成原問題的解答[1]。

例1已知 求證：

分析：這是證明不等式的問題，用代數方法較為繁雜，如果注意到代數中 的取值范圍與正，余弦函數取值范圍的一致性，根號式的中的結構與三角公式相吻合，則可將原問題轉化為三角問題。

證明：令

于是有：

=

= =

即 ，命題得證。

上面我們通過三角換元的方法，使得原來用代數方法解答較為復雜的問題，變得簡便，從而體現了化歸與轉化法的優越性。三角換元法適用于降次、去根號，或者轉化為三角形式易求的問題，主要借助已知代數式與三角知識之間的聯系進行換元。

2、復數替換法。復數有代數式，向量式，三角式，指數式等多種表達方式。復數的多種表達形式，決定了復數應用的廣泛性和靈活性，既可用來解答幾何問題，也可用來解答代數，三角問題[1]。例如：

例2求函數 的最大值。

分析：本題是函數求值，若用代數方法無從下手，經觀察發現解析式中的兩個根式都是某個復數的模，可以利用復數模的性質來解。

解：構造復數 ，

所以

故所求函數的最大值為

由于復數與代數、三角、幾何中一些知識有密切的聯系，所以通過復數可以溝通多方面的知識，使得許多問題得到較好的解決。

3、轉換運算法。當原式的運算比較繁雜或難以入手時，我們通常考慮利用化歸與轉化法將復雜的運算進行轉化，使問題易于運算或解決，這類轉化常用于指、對數函數之間的變換。

例3已知 為自然數的底，且有 ，求證：

分析：如果從一般的不等式證明方法，此題很難入手。但是我們注意到題中有出現自然數的底 ，且已知代數式為指數形式，化為對數運算起來更為方便，所以可將原問題進行對數函數變換。

證明：對不等式 兩邊取自然對數，有

又有 ，構造函數：

，

從而對 ，即得到 ，命題得證。

方程兩邊同取對數的方法，是解決龐大數式的開方、乘方計算問題或證明問題時常用的方法，它可以使運算過程得到簡化。

4、函數與方程。函數與方程之間有著密不可分的聯系，在解決方程問題時，我們常通過構造一個函數（有時需要先移項），把方程問題轉化為函數零點的問題，或者借助函數圖象來解決。同樣，解決函數的問題也常需要方程的幫助。

例4已知一元二次方程 在區間 內恰有兩個不相等的實根 、 ，求實數 的取值范圍、

分析：該問題為一元二次方程根的分布問題，我們可借助數與形的轉化，借助函數的圖象列出與題設等價的不等式組。

解：根據函數 的圖象（如圖1），得不等式組：

解得實數 的取值范圍為 圖1

此方法還常用于判斷方程根的個數，以及根所在區間的問題。

5、函數與不等式。學習導數以后，函數與不等式的關系愈加密切了，我們一般可將不等關系化為最值（值域）問題，從而求出參變量的范圍。不等式的問題也常借助于化歸與轉化法，利用函數將問題化繁為簡。

例5已知函數 在區間（0，1]上為單調遞增函數，求實數a的取值范圍、

分析：由于導函數與原函數之間存在的聯系，我們常把已知原函數單調區間的問題轉化為不等式恒成立的問題，進而求出參數的取值范圍，使問題易于解決。

解：∵ 在區間（0，1]上為單調增函數、

∴ ≥0在（0，1]上恒成立、即： 在（0，1]上恒成立，

令 ，則函數 在（0，1]上為單調遞減，

∴ ∴當 時， 在區間（0，1]上為單調增數由于轉化前后并非等價，所以應用時要注意檢驗等號是否成立。

6、向量法。向量是有方向的線段，因此很多幾何問題在利用向量作為工具來解決時，會收到無法想象的奇效。比如，向量的數量積常用于解決與向量垂直、平行、射影、夾角等有關的問題。更重要的是，如果利用空間向量的知識，再結合向量坐標來解決立體幾何問題，給很多迷茫的學生帶來了希望。

例6證明：如果平面內的一條直線與這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它與這條斜線垂直。

分析：由于相互垂直的向量數量積是0，所以我們考慮以向量為工具，在空間直線上取某一向量，作為方向向量，將空間直線之間的關系化歸轉化為向量之間的關系，利用向量運算，得到相應結論。

證明：如圖，直線 是斜線 在平面 上的射影， 為平面 上的直線， 。

分別在直線 上取方向向量 和 ，

則：

由已知 ，所以 ，

又 ，由向量數量和性質得 ，

所以 ，即

該方法還適用于余弦定理、積化和差等諸多公式的證明。

7、命題的否定（對立事件法）。如果正面解決某些問題存在困難，而原問題的否定（概率問題中的對立事件）比較好解決，則采用該方法。在解題中，可把原問題的結果看成一個集合 ，問題的總體類比成集合 ，原問題的否定（概率問題中的對立事件）看作集合 的補集，因而又稱補集法，也是我們常說的正難則反。

例7已知三個一元二次函數： ， ， 中至少有一個函數有零點，求實數 的取值范圍、

分析：本題若從正面解決，則需分多種情況進行討論，繁不堪言，但若從它的否定“三個函數都沒有零點”入手，先求出 的集合，再求其補集，就簡便多了。

解：令 ，由 ，解得 ，

∴滿足題意的 的取值范圍是 或 .

一個題目若從正面需要討論多種情況，則反面對應的情況一般較少，從反面考慮就會比較容易，此方法在概率問題中也有較多的應用。

8、逆否命題法（等價法）。由于互為逆否命題的兩個命題真假性相同，所以在數學上，由于一些問題從正面解決比較繁雜或無從入手，我們常常考慮把它變化一下形式，利用它的逆否命題達到化歸轉化的目的。通過逆否命題的解決，從而使得原命題立即得到解決或得證。

例8命題 ： 或 ，命題 ： ，則 是 的什么條件。

分析：由于本題直接判斷命題 與命題 的關系，須分多種情況考慮，存在一定的難度。我們可以從逆否命題出發，判斷 是 的什么條件。命題 ： ， ： 且 ， 是 的必要不充分條件，所以則 是 的必要不充分條件。

9、坐標法。解決平面幾何問題時，建立適當的坐標系，用坐標表示點，用方程表達曲線，以達到用代數方法解決平面幾何問題的目的，這也是解析幾何根本思想。此方法最典型的就是在直線與圓錐曲線中的應用，但是，我們在使用坐標法的時候，還是要注意結合平面幾何的性質。

10、三維變二維。立體幾何問題對學生的空間想象能力提出了很高的要求，如果加強化歸與轉化思想的把握和運用，可以幫助很多文科學生建立對立體幾何信心。在解題過程中，我們常借助線段平移、做截面以及側面展開等方法，把復雜立體幾何問題轉化為平面幾何問題，借助學生相對比較熟悉、也比較容易掌握的平面幾何知識來解題，也就是把三維降成二維。

11、線性規劃問題。線性規劃在現實生活中有著十分廣泛的運用，是高考常考的考點，解決此類問題，首先就是要充分理解目標函數的幾何意義。通過化歸與轉化法，把目標函數轉化為兩點間的距離問題、截距問題、斜率問題或者點到直線的距離問題等等具有幾何意義的量的問題，以達到數與形之間的轉化，從而找出最優解，使問題得到解決。

三、化歸與轉化法應用中的注意事項

在化歸與轉化法應用中，多數是等價轉化。如果利用不等價的轉化進行解題時，必須再做一些必要的彌補工作和調整。

如例1中，由于 ， ，所以在換元時需要對 的取值范圍進行規定， ， .又如，

例9解方程：

分析：我們可以令 ，應注意 ，所以在求出 的解后需要把增根去掉。我們解得 ， ，其中 為增根，所以得 .

以上我們歸納總結了化歸與轉化法在高中數學中的簡單應用，為該方法在高中數學中的應用提供了一些方向。由于化歸與轉化法的靈活性與多樣性，在使用時又沒有統一套路可用，所以我們應當利用動態的思維，探索出使得問題易于解決的變換，這樣可以拓寬學生的解題思路，簡化解決問題的過程，這對數學知識的學習、掌握以及靈活運用都是大有裨益的。

參考文獻：

[1] 何華興.RMI方法在代數中的應用[J].數學教學通訊：中教版，2006（4）：62-64.江蘇：江蘇省無錫高等師范學校，2006.