高考試題中的圖像斜率問題

徐定邦

（揚州市新華中學 江蘇 揚州 225009）

物理圖像不僅是一種純粹的數學表達，而且包含著豐富的內容，在近幾年的全國各地高考題中圖像題的比例越來越大，2014年各地高考物理試題，除了軌跡圖和示意圖外，每一份試卷中至少會有兩道關于圖像的考查題.

清晰直觀的圖像承載了物理現象的本質，學生對于圖像的學習，要能夠做到細致地讀圖、規范地作圖和恰當地用圖，無論哪方面，都要從點、線、斜率、面積和截距開始認識.而對物理圖像斜率的理解也大有文章可做，今年全國高考物理試卷，幾乎每份試卷都有一條與斜率有關的圖像問題，如表1.斜率雖是數學概念，但不能只從數學的角度來看待物理問題，首先我們要明白數學圖像斜率和物理圖像斜率的聯系和區別.

表1 與斜率有關的圖像問題的試卷統計

1 數學圖像斜率和物理圖像斜率

斜率表示平面直角坐標系中的一條直線對橫軸的傾斜程度，通常用直線與橫軸的夾角α的正切來表示，即k＝tanα，數學上求圖像斜率時，可以用量角器量圖線與橫軸間夾角的方法計算斜率，物理上用這個方法卻不一定正確.

【例1】（2 0 1 2年高考安徽卷第2 2題）質量為0.1kg的彈性球從空中某高度由靜止開始下落，該下落過程對應的v－t圖像如圖1所示.球與水平地面相碰后離開地面時的速度大小為碰撞前的設球受到的空氣阻力大小恒為f，取g＝10m／s2，求：

（1）彈性球受到的空氣阻力f的大小；

（2）彈性球第一次碰撞后反彈的高度h.

圖1

解析：第（1）問要根據v－t圖像的斜率求加速度，用量角器量出圖線和橫軸的夾角為30°，用k＝tanα求出加速度約為0.6m／s2，而用a＝求出的結果是8m／s2，為什么會出現兩個不同的答案？

在數學上，畫坐標系時，x軸和y軸上的單位長度是相等的，坐標原點是共用的，直線y＝kx的斜率就是k＝tanα；而在物理圖像中兩坐標軸表示不同的物理量，其單位長度（如題中的1m／s和1s的長度）不一定畫的相等，雖然y＝kt和y＝kx形式上一樣，但在v－t圖像上縱軸和橫軸單位長度畫得不相等，或單位長度相等，但不是同一單位制，或坐標原點不共用，則與tanα便不相等，即a≠tanα［1］.

同樣，在x－t，F－q，U－I 等圖像中，也是如此，為了避免在求物理圖像斜率時不該有的失誤，可以用一般公式k＝求斜率.

2 直線斜率和曲線斜率

在物理學中，凡是成正比關系和一次線性關系的物理量之間的關系圖像，都可用直線來描述，此時切線斜率、割線的斜率和圖線上某一點與原點連線的斜率是一樣的.

勻速直線運動的x－t圖像的斜率表示速度的大小；勻變速直線運動的v－t圖像的斜率表示加速度的大小；電荷在勻強電場中受到的電場力F與電荷量q關系的F－q圖像的斜率表示電場強度的大小；根據部分電路歐姆定律公式U＝IR，畫出的U－I圖像的斜率表示電阻R的大小；根據閉合電路歐姆定律U＝E－Ir，畫出的U－I圖像的斜率的絕對值表示電源內阻的大小，等等［2］.

而對于非線性關系，畫成的圖像是曲線，曲線上某一點切線的斜率也具有某種特定的物理意義.

【例2】（2013年高考課標卷Ⅰ第19題）如圖2，直線a和曲線b分別是在平直公路上行駛的汽車a和b的位置 －時間（x－t）圖像.由圖可知

A.在時刻t1，a車追上b車

B.在時刻t2，a與b兩車運動方向相反

C.在t1到t2這段時間內，b車的速率先減少后增加

D.在t1到t2這段時間內，b車的速率一直比a車的大

圖2

解析：從圖像可以看出，直線a斜率不變，說明汽車a做勻速直線運動.曲線b上某點的切線的斜率先變小后變大，說明汽車b做變速運動，速率先減小后增大，應選C；因a，b車分別在平直公路上行駛，曲線斜率的正負表示運動的方向與x軸正向相同或相反.在時刻t2，直線a的斜率為正，a車沿x軸正向行駛，曲線b的斜率為負，b車反方向行駛，所以a與b兩車運動方向相反，應選B.

那么，割線的斜率和圖像上某點到原點連線的斜率表示什么呢？

如圖3（a）所示，直線AB是曲線AB的割線，直線AB的斜率表示Δt時間內的平均加速度，同樣，將B點和原點O連起來的直線的斜率表示Δt′時間內的平均加速度.

圖3

而有時某點切線的斜率是沒有意義的，如圖3（b）所示，在U－I圖像中，A點的切線的斜率是A點所對應的電阻嗎？A點的切線的斜率是，這顯然不對，給導體一個瞬時電壓U，就會有一個瞬時電流I，不需要電壓、電流的變化過程，A點的電阻不能由求，而直接由來求，就是A點與O點連線的斜率大小［3］.

學生對直線的斜率的理解不會有多大的困難，曲線上某點切線的斜率、割線的斜率和某點到原點連線的斜率有時可能區分不清，教師在教學中要注意引導.

3 斜率的正和負

在數學圖像的平面直角坐標系中，原點將縱軸和橫軸分界為正負，正值大于零，負值小于零，正負只是表示大小.在物理圖像的平面直角坐標系中，原點也將縱軸和橫軸分界為正負，這里的正負不是簡單的大小關系，而是由物理量決定其意義.當斜率表示的物理量是矢量時，正負表示方向；當斜率表示的物理量是標量時，正負表示相對于參考量（一般為零）的變化，這時只取數值大小.

【例3】（2014年高考天津卷第1題）質點做直線運動的速度 －時間圖像如圖4所示，該質點

A.在第1s末速度方向發生了改變

B.在第2s末加速度方向發生了改變

C.在前2s內發生的位移為零

D.第3s末和第5s的位置相同

圖4

解析：第2s到第3s這段，從數學角度看，斜率為負，該段圖像表示的是減函數，有些同學認為質點在做減速運動；但從物理角度分析，斜率的正負和縱坐標的正負都表示的是方向的不同.由圖看出，該段的速度為負值，斜率（加速度）也負值，加速度方向與速度方向相同，說明物體做反方向的加速運動.

可見，在分析題目的時候，要區分清楚斜率的正負意義.特別是物理量是矢量時，如以上討論的速度，在負的方向上絕對值的增加，并不表示速度越來越小.

在本題中，曲線與橫軸構成的面積表示質點的位置，橫軸上方的面積為正，下方的面積為負，某一時刻質點的位置就是此前時間內面積的代數和，第3s末和第5s之前面積的代數和相同，說明這兩個時刻具有相同的位置，故選D.

4 妙用斜率解決問題

有時高考圖像題考的知識點比較隱蔽，無從下手，這時可以從斜率入手，圖像的斜率是分析、處理物理問題的一種重要工具，它可以使復雜問題簡單化、清晰化.

【例4】（2014年高考重慶卷第5題）以不同初速度將兩個物體同時豎直向上拋出并開始計時，一個物體所受空氣阻力可忽略，另一個物體所受空氣阻力大小與物體速率成正比.下列用虛線和實線描述兩物體運動的v－t圖像可能正確的是

圖5

考生看到這道題后，通常先根據運動情況畫運動過程草圖，再受力分析，根據牛頓第二定律列式求解.其實只要想一想，速度為零時，兩個物體在最高點，都只受重力，加速度都為g，在v－t圖像中，此時圖線與橫軸的交點的切線的斜率相等，也就是這兩根切線相互平行，很方便地就能選出答案，應選D.

用斜率解決物理問題，關鍵是要理解、掌握圖像斜率的特點和實質，明確它與對應物理量之間的關系和規律.教師在教學中要讓學生體會到圖像斜率是解決物理問題的重要工具，學會用圖像斜率解決問題，可以達到事半功倍的效果.

1 彭德勁.高中物理典型圖像中斜率的再認識.湖南中學物理，2011（4）

2 喻世田.圖像的斜率在高中物理教學中的應用.物理教學探討，2008（2）

3 張芳華.對物理圖像中斜率問題的幾點釋疑.考試周刊，2011（41）