電磁感應現象與動力學圖像綜合類型題解析

林颋煒

（南平市教研室 福建 南平 353000）

電磁感應的圖像問題歷年來是高考命題的熱點，它不僅考查電磁感應的知識，還考查學生的多種能力，特別是應用數學知識處理物理問題的能力和綜合分析問題的能力.過去涉及到應用數學圖像法處理電磁感應的綜合計算中，常涉及磁感應強度B，磁通量Φ，感應電動勢E和感應電流I等電磁學的物理量隨時間t變化的圖線，即B－t圖線、Φ－t圖線、E－t圖線和I－t圖線等.但在近年的試題中出現vt圖線 、F－t圖 線、a－t圖線 、a－s圖 線、F－v圖線 、s－t圖線等動力學的圖像和電磁感應問題相結合的試題，這些圖像問題是一種半定量分析，解題時通過題干所給的動力學圖像結合電磁感應過程進行互推，由給定的動力學的有關圖像分析電磁感應過程，求解相應物理量.

本文就近年出現的動力學圖像與電磁感應綜合的新熱點計算題進行歸納和分析，應該對高三的復習教學有一定的指導作用.

1 v－t圖像和s－t圖像與電磁感應結合情況

【例1】如圖1（a）所示，abcd是位于豎直平面內的正方形閉合金屬線框，金屬線框的質量為m，電阻為R.在金屬線框的下方有一勻強磁場區域，MN和M′N′是勻強磁場區域的水平邊界，并與線框的bc邊平行，磁場方向與線框平面垂直.現金屬線框由距MN 的某一高度從靜止開始下落，圖1（b）是金屬線框由開始下落到完全穿過勻強磁場區域瞬間的速度－時間圖像，圖像中坐標軸上所標出的字母均為已知量.求：

（1）金屬框的邊長；

（2）磁場的磁感應強度；

（3）金屬線框在整個下落過程中所產生的熱量.

圖1

解析：（1）當線框bc邊剛接觸MN 切割磁場到ad邊到達MN邊界的t2－t1時間內是做勻速直線運動，

由勻速直線運動可得：金屬線框的邊長

（2）在t2－t1時間內，金屬線框進入磁場的過程中，金屬線框所受安培力等于重力

（3）金屬線框在t2－t1時間內，進入磁場過程中金屬框產生的熱為Q1，由動能定理得

金屬線框在t4－t3時間內，離開磁場過程中金屬線框產生的熱為Q2，由動能定理得

所以線框產生的總熱量

【例2】如圖2（a）所示是某人設計的一種振動發電裝置，它的結構是一個半徑為r＝0.1m的20匝線圈，線圈套在永久磁鐵槽中，磁場的磁感線均沿半徑方向均勻分布，其右視圖如圖2（b）.在線圈所在位置磁感應強度B的大小均為0.2T.線圈的電阻為2Ω，它的引出線接有8Ω的燈L，外力推動線圈的P端做往復運動，便有電流通過電燈.當線圈向右的位移隨時間變化的規律如圖2（c）所示時（x取向右為正）

（1）試畫出感應電流隨時間變化的圖像［在圖2（b）中取逆時針電流為正］；

（2）求每一次推動線圈運動過程中的作用力；

（3）求該發電機的功率.（摩擦等損耗不計）

圖2

解析：（1）由s－t圖像轉化為v－t圖像如圖3，由線圈在一個周期內運動可以看出，線圈往返的每次運動都是勻速直線運動，速度為

線圈做切割磁感線運動產生的感應電流每次運動過程中都是恒定不變的，由于感應電動勢E＝nBLv，式中L是線圈每一周的長度，即2πr，所以

感應電流

圖3

從圖4（a）中可以看出線圈沿x正方向運動時，產生的感應電流是順時針的（從右向左看）.于是可得到如圖4（b）所示的電流隨時間變化的圖像.

圖4

（2）由于線圈每次運動都是勻速直線運動，所以每次運動過程中推力必須等于安培力，即

（3）發電機的輸出功率即燈的電功率為

點評：v－t圖像和電磁感應結合，是高考試題的常考點.通常由v－t圖像分析出物體運動過程中不同階段的運動狀態，其中勻速直線運動通過建立平衡方程，勻變速直線運動通過牛頓第二定律求解，變加速直線運動聯系動能定理和功能關系等.同時根據物體運動狀態判斷導體在電磁感應過程中安培力大小的變化，從而求解電磁學、動力學的物理量以及電磁感應的能量問題.s－t圖像結合電磁感應，可以把s－t圖像轉換為v－t圖像，運用類似的方法解題.此類題目很好地考查了學生信息收集和處理能力，以及綜合運用所學知識分析、解決問題的能力.

2 a－s圖像和v－s圖像與電磁感應結合情況

【例3】如圖5（a）所示，平行金屬導軌豎直放置，導軌間距為L＝1m，上端接有電阻R1＝3Ω，下端接有電阻R2＝6Ω，虛線O O′下方是垂直于導軌平面的勻強磁場.現將質量m＝0.1kg、電阻不計的金屬桿ab，從O O′上方某處垂直導軌由靜止釋放，桿下落0.2m過程中始終與導軌保持良好接觸，加速度a與下落距離s的關系圖像如圖5（b）所示，求：磁感應強度B.

圖5

解析：由圖5（b）分析可知，桿ab下落距離為s＝0.05m的過程中做勻加速直線運動，加速度a＝g＝10m／s2，所以桿做自由落體后進入磁場時的瞬時速度

由圖5（b）知，桿ab剛進入磁場時的瞬時加速度

根據牛頓第二定律得

回路中的電動勢為

由電阻并聯可得總電阻R為

ab桿中的電流

此時ab所受安培力為

【例4】在質量為M＝1kg的小車上，豎直固定著一個質量為m＝0.2kg，高h＝0.05m，總電阻R＝100Ω，n＝100匝矩形線圈，且小車與線圈的水平長度l相同.現線圈和小車一起在光滑的水平面上運動，速度為v1＝10m／s，隨后穿過與線圈平面垂直，磁感應強度B＝1.0T的水平有界勻強磁場，方向垂直紙面向里，如圖6（a）所示.已知小車運動（包括線圈）的速度v隨車的位移s變化的v－s圖像如圖6（b）所示.求：

（1）小車的水平長度l和磁場的寬度d；

（2）小車的位移s＝10cm時線圈中的電流大小I以及此時小車的加速度a；

（3）在線圈進入磁場的過程中通過線圈某一截面的電荷量q；

（4）線圈和小車通過磁場的過程中線圈電阻的發熱量Q.

圖6

解析：（1）由圖可知，從s1＝5cm開始，線圈進入磁場，線圈中有感應電流，受安培力作用，小車做減速運動，速度v隨位移s減小，當s2＝15cm時，線圈完全進入磁場，線圈中感應電流消失，小車做勻速運動.因此小車的水平長度

當s3＝30cm時，線圈開始離開磁場 ，則

（2）當s＝10cm時，由圖像中可知線圈右邊切割磁感線的速度v2＝8m／s.

由閉合電路歐姆定律得線圈中的電流

此時線圈所受安培力

F＝nBIh＝100×1×0.4×0.05N＝2N小車的加速度

（3）由圖像可知，線圈左邊離開磁場時，小車的速度為v3＝2m／s.

線圈進入磁場和離開磁場時，克服安培力做功，線圈的動能減少，轉化成電能消耗在線圈上產生電熱.

解得：線圈電阻發熱量Q＝57.6J.

點評：a－s圖像和v－s圖像結合電磁感應，通常關注導體的加速度a，速度v隨位移s的變化關系：首先分析圖像時應找圖像的斜率、拐點等；其次注意在位移s變化過程中a和v的瞬時值大小，同時找準各段圖線對應的物理過程，理清導體在磁場中運動的位移和所對應的運動狀態，其聯系橋梁是磁場對感應電流的安培力.因為感應電流產生的安培力與導體運動的加速度有相互制約的關系，所以判斷出導體電磁感應的過程和安培力的變化后，結合牛頓第二定律方程F合＝ma求解相關物理量.

3 F－v圖像和F－t圖像與電磁感應相結合情況

【例5】水平面上兩根足夠長的金屬導軌平行固定放置，間距為L，一端通過導線與阻值為R的電阻連接；導軌上放一質量為m的金屬桿［見圖7（a）］，金屬桿與導軌的電阻忽略不計；均勻磁場豎直向下.用與導軌平行的恒定拉力F作用在金屬桿上，桿最終將做勻速運動.當改變拉力的大小時，相對應的勻速運動速度v也會變化，v與F 的關系如圖7（b）.（取重力加速度g＝10m／s2）

（1）金屬桿在勻速運動之前做什么運動？

（2）若m ＝0.5kg，L＝0.5m，R＝0.5Ω，磁感應強度B為多大？

（3）由v－F圖像的截距可求得什么物理量？其值為多少？

圖7

解析：（1）變速運動（或變加速運動、加速度減小的加速運動，加速運動）.

（2）感應電動勢

由圖線可知金屬桿受拉力、安培力和阻力作用，勻速時合力為零可得

由圖線可以得到直線的斜率

（3）由直線的截距可以求得金屬桿受到的阻力f，在圖線上取兩點坐標代入，可得

若金屬桿受到的阻力僅為動摩擦力，由截距可求得動摩擦因數μ＝0.4.

【例6】相距為L＝0.20m的足夠長的金屬直角導軌如圖8（a）所示放置，它們各有一邊在同一水平面內，另一邊垂直于水平面.質量均為m＝0.1kg的金屬細桿ab，cd與導軌垂直接觸形成閉合回路，桿與導軌之間的動摩擦因數均為μ，導軌電阻不計，回路總電阻為R＝1.0Ω.整個裝置處于磁感應強度大小為B＝0.50T，方向豎直向上的勻強磁場中.當ab桿在平行于水平導軌的拉力F作用下從靜止開始沿導軌勻加速運動時，cd桿也同時從靜止開始沿導軌向下運動.測得拉力F與時間t的關系如圖8（b）所示.g＝10m／s2，求：

（1）桿ab的加速度a和動摩擦因數μ；

（2）桿cd從靜止開始沿導軌向下運動達到最大速度所需的時間t0.

圖8

解析：（1）經時間t，桿ab的速率

此時，回路中的感應電流為

對桿ab由牛頓第二定律得

由以上各式整理得

在圖像上取兩點

代入上式得

（2）cd桿受力情況如圖8（a），當cd桿所受重力與滑動摩擦力相等時，速度最大，即

點評：F－v圖像和F－t圖像與電磁感應結合的這種類型試題對學生提出了較高的要求，通常磁場中作用在導體上的外力和安培力隨速度、時間變化，對所給的圖像要求學生一方面要明確圖像中橫軸與縱軸所表達的物理意義，另一方面還要搞清圖像所揭示的物理規律或物理量間的函數關系.通過圖像推導出坐標軸上物理量對應物理方程的表達式，并挖掘圖像中的隱含條件.結合圖線的斜率（常表示一個物理量）、截距（常反映－個物理量的臨界值）和圖線與坐標軸圍成的面積（常與某一物理量相對應）等各量表示的物理意義求解.

筆者認為結合動力學圖像的試題是電磁感應中研究動力學問題的新考點，它與動力學的物理情境題比較，試題中恰當地引入數學圖像，常可化抽象為形象，便于突破難點、疑點，使解題過程大大簡化.同時圖像一方面具有簡明、直觀的特點，它既能形象地展示兩個相關物理量間的相互制約關系，又可清晰描述復雜的物理過程，幫助學生快速進入物理情境；另一方面直觀的圖像便于教師歸納出物理規律，培養學生的物理思維，構建物理模型，達到事半功倍的教學效果.