基于整體最小二乘的GNSS高程擬合研究

楊會(huì)軍

(小浪底水利水電工程有限公司,濟(jì)源 454681)

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基于整體最小二乘的GNSS高程擬合研究

楊會(huì)軍

(小浪底水利水電工程有限公司,濟(jì)源 454681)

摘要：整體最小二乘平差更加全面的考慮了已知數(shù)據(jù)的誤差因素,對(duì)所有觀測(cè)量統(tǒng)一進(jìn)行平差處理,方法更加嚴(yán)密?；谠摲椒▽?duì)曲面函數(shù)擬合和多面函數(shù)擬合GNSS高程進(jìn)行優(yōu)化,并用某水電站水準(zhǔn)測(cè)量工程進(jìn)行驗(yàn)證，結(jié)果表明：兩種擬合方法精度都有明顯提高。

關(guān)鍵詞：GNSS;高程擬合;整體最小二乘;多面函數(shù)

0引言

GNSS技術(shù)作為一種高精度、全自動(dòng)、全天候的現(xiàn)代測(cè)繪技術(shù),已經(jīng)應(yīng)用于測(cè)繪、海洋、工程、交通等多個(gè)領(lǐng)域。但是目前應(yīng)用的GNNS數(shù)據(jù)大多是平面位置數(shù)據(jù),GNSS高程數(shù)據(jù)一直未被廣泛應(yīng)用,其原因主要是:GNSS高程為大地高,是基于幾何意義的高程系統(tǒng),而通常意義上的高程系統(tǒng)是基于物理原理的正高系統(tǒng)或正常高系統(tǒng),與大地高高程系統(tǒng)差別較大,且大地水準(zhǔn)面或似大地水準(zhǔn)面不與橢球面平行,因此兩者難以結(jié)合;GNSS高程的精度低于平面位置精度,通常難以滿足水準(zhǔn)測(cè)量的精度要求[1]。因此,許多學(xué)者提出利用一定數(shù)量的GNSS/水準(zhǔn)點(diǎn)求出高程異常,并用數(shù)學(xué)模型建立該區(qū)域的高程異常模型,能夠?qū)⒋蟮馗咿D(zhuǎn)化為正常高,充分利用GNSS測(cè)量數(shù)據(jù),減少費(fèi)時(shí)費(fèi)力的傳統(tǒng)水準(zhǔn)測(cè)量。通過曲面函數(shù)、多面函數(shù)對(duì)高程異常進(jìn)行擬合時(shí),一般假定高程異常值是沒有誤差的,然而實(shí)際情況下高程異常是存在一定誤差的,因此,利用傳統(tǒng)最小二乘進(jìn)行平差就沒有考慮系數(shù)矩陣的誤差,導(dǎo)致估計(jì)結(jié)果是有偏的[2]。本文利用曲面函數(shù)、多面函數(shù)對(duì)高程異常進(jìn)行擬合,并在平差過程中采用整體最小二乘方法進(jìn)行平差。并通過實(shí)際水利工程案例驗(yàn)證了該方法的可靠性和精度。

1常用GNSS高程擬合方法

1.1曲面擬合法

在測(cè)區(qū)內(nèi)聯(lián)測(cè)一部分GNSS點(diǎn)最為GNSS/水準(zhǔn)點(diǎn)之后,便可以通過大地高和正常高之間做差得到高程異常。將高程異常作為該區(qū)域內(nèi)曲面函數(shù)的函數(shù)值,代入一定的曲面函數(shù)模型,通過平差計(jì)算得到高程異常模型。根據(jù)測(cè)區(qū)內(nèi)已知水準(zhǔn)點(diǎn)的平面坐標(biāo)和高程異常值,利用曲面函數(shù)進(jìn)行擬合。曲面函數(shù)一般可以用多項(xiàng)式或者球諧函數(shù)來表示。設(shè)水準(zhǔn)點(diǎn)高程異常與其平面坐標(biāo)的數(shù)學(xué)關(guān)系為

ζ=f(x,y)+ε,

(1)

式中,f(x,y)為曲面主要趨勢(shì),方程第二項(xiàng)為模型誤差。

曲面擬合模型可分為曲面擬合和曲面樣條擬合。曲面擬合中最常用的數(shù)學(xué)方法是二次曲面擬合。二次曲面擬合是將似大地水準(zhǔn)面表示為平面坐標(biāo)x,y的二次多項(xiàng)式,用已經(jīng)與已知水準(zhǔn)點(diǎn)的高程進(jìn)行了聯(lián)測(cè)了的水準(zhǔn)點(diǎn)高程異常進(jìn)行擬合,得到多項(xiàng)式各項(xiàng)系數(shù)。然后利用擬合得到的高程異常模型,將其他未知點(diǎn)平面坐標(biāo)帶入模型,求出這些點(diǎn)的高程異常,進(jìn)而求出未知水準(zhǔn)點(diǎn)的正常高[3]。通常將區(qū)域內(nèi)的已知點(diǎn)叫做區(qū)域支撐點(diǎn)。設(shè)區(qū)域內(nèi)任意一點(diǎn)的(x,y)的高程異常用二次函數(shù)表示為

ζ(x,y)=a0+a1x+a2y+a3x2+

a4xy+a5y2,

(2)

聯(lián)系人： 楊會(huì)軍E-mail:yhj75939541@163.com

曲面樣條擬合模型是根據(jù)無限大平面的撓度非常小的數(shù)學(xué)模型發(fā)展而來。當(dāng)測(cè)區(qū)的面積較小且地面起伏程度較小時(shí)可以將該區(qū)域似大地水準(zhǔn)面近似看作平面,利用平面方程對(duì)該區(qū)域似大地水準(zhǔn)面進(jìn)行擬合。擬合方程為

f(x,y)=a0+a1x+a2y.

(3)

1.2多面函數(shù)擬合法

與曲面擬合采用單一的數(shù)學(xué)函數(shù)進(jìn)行表示不同,多面函數(shù)法是利用數(shù)學(xué)上的無限逼近的思想,利用多個(gè)曲面函數(shù)進(jìn)行逼近表示[4]。具體方法為把每個(gè)差值點(diǎn)都與所有已知點(diǎn)建立函數(shù)關(guān)系,最后將這些函數(shù)關(guān)系疊加,得到最優(yōu)的擬合函數(shù)。多面函數(shù)建立在推估法和最小二乘基礎(chǔ)之上,核函數(shù)是與距離有關(guān)的函數(shù),考慮了特定高程點(diǎn)和已知高程點(diǎn)的幾何關(guān)系。可設(shè)GNSS/水準(zhǔn)點(diǎn)高程異常與平面位置關(guān)系為

(4)

式中: ai為模型待定系數(shù); xi,yi為已知點(diǎn)坐標(biāo); x,y為未知點(diǎn)坐標(biāo); Q(x,y)為核函數(shù)?？稍O(shè)核函數(shù)為

Q(x,y,xi,yi)=[(x-xi)2(y-yi)2+δ]1/2,

(5)

或

Q(x,y,xi,yi)=[(x-xi)2(y-yi)2+δ]1/2.

(6)

式(5)、式(6)兩個(gè)函數(shù)分別為正雙曲函數(shù)和倒雙曲函數(shù)。

2整體最小二乘

在實(shí)際測(cè)量工作中,觀測(cè)量不可避免的存在一定的誤差。而平差時(shí),系數(shù)矩陣是當(dāng)作常量進(jìn)行計(jì)算的,導(dǎo)致最終平差值是有偏的,不能保證估計(jì)結(jié)果的準(zhǔn)確性[5-6]。整體最小二乘(TLS)是在觀測(cè)方程中,不僅觀測(cè)向量L具有誤差,系數(shù)矩陣A也具有誤差[7-8]:

(7)

最小二乘的條件為‖[ViVi]‖=Min.通過以上變換,就變?yōu)榍蠼庹w最小二乘問題。通常采用奇異值分解方法對(duì)方程進(jìn)行分解。將原始方程L=Ax改寫為

[AL][xT-1]T=0.

(8)

增廣矩陣C=[AL],對(duì)增廣矩陣C進(jìn)行奇異值分解C=μ∑U,則整體最小二乘的解可以由增廣矩陣的右奇異值向量的最后一列得到vn+1[9]

(9)

3工程實(shí)例

該項(xiàng)目共埋設(shè)D級(jí)GPS標(biāo)石20個(gè),并與國(guó)家二等水準(zhǔn)點(diǎn)聯(lián)測(cè),獲得GPS點(diǎn)的正常高。該區(qū)域內(nèi)還有7個(gè)三等水準(zhǔn)點(diǎn)。利用20個(gè)GPS/水準(zhǔn)點(diǎn)計(jì)算高程異常,分別利用曲面函數(shù)、多面函數(shù)以及整體最小二乘平差優(yōu)化的曲面函數(shù)、多面函數(shù)進(jìn)行高程異常模型擬合。將剩余7個(gè)水準(zhǔn)點(diǎn)平面坐標(biāo)代入所得高程模型,與水準(zhǔn)測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比,計(jì)算各個(gè)模型的精度。圖1為區(qū)域內(nèi)GPS/水準(zhǔn)點(diǎn)以及單純水準(zhǔn)點(diǎn)分布圖。

圖1　水準(zhǔn)點(diǎn)分布圖

從圖1中可以看出,該區(qū)域內(nèi)水準(zhǔn)點(diǎn)分布比較均勻,適合對(duì)高程異常進(jìn)行擬合。其中星號(hào)點(diǎn)為GPS/水準(zhǔn)點(diǎn),三角形點(diǎn)為水準(zhǔn)點(diǎn),用于檢驗(yàn)?zāi)Ｐ途取１?示出了四個(gè)模型與實(shí)際水準(zhǔn)測(cè)量數(shù)據(jù)比較得到的精度結(jié)果。

表1　高程模型精度統(tǒng)計(jì)(m)

從表1中可以看出,曲面函數(shù)模型精度略低于多面函數(shù)模型,而經(jīng)過整體最小二乘平差后得到的曲面函數(shù)模型以及多面函數(shù)模型精度都得到了顯著提高。其中曲面函數(shù)+TLS模型誤差絕對(duì)值最大值為0.042 m,最小值為0.022 m均方根誤差為0.023 m,精度提高了26%;多面函數(shù)+TLS模型誤差絕對(duì)值最大值為0.031 m,最小值為0.017 m,均方根誤差為0.018 m,精度提高了40%.說明整體最小二乘平差對(duì)高程擬合模型精度優(yōu)化起到了顯著作用。

4結(jié)束語

由于GNSS技術(shù)具有高效率、高精度等優(yōu)點(diǎn),如何將GNSS測(cè)量與水準(zhǔn)測(cè)量結(jié)合,取代傳統(tǒng)水準(zhǔn)測(cè)量稱為當(dāng)下研究熱點(diǎn)。許多學(xué)者提出了多種GNSS高程轉(zhuǎn)換方法,如曲面擬合、多面函數(shù)擬合等。但是水準(zhǔn)測(cè)量與GNSS大地高本身具有誤差,在平差時(shí)如果不考慮這些誤差影響,將難以得到高精度的高程信息。本文結(jié)合整體最小二乘方法,對(duì)兩種成熟的高程轉(zhuǎn)換方法進(jìn)行了研究,并用實(shí)際工程案例進(jìn)行了檢驗(yàn)。結(jié)果表明：結(jié)合整體最小二乘方法對(duì)兩種高程擬合方法的精度都有明顯提高,其中多面函數(shù)擬合方法的精度最高?；谡w最小二乘平差的高程擬合方法具有一定實(shí)用價(jià)值。

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楊會(huì)軍(1978-),男,工程師,主要從事水利水電工程施工測(cè)量、安全監(jiān)測(cè)工作。

GNSS Height Fitting Based on Total Least Squares

YANG Huijun

(XiaolangdiDamWaterConservancyandHydropower

EngineeringCo.,Ltd.Jiyuan454681,China)

Abstract:The overall least squares adjustment is more comprehensive for the error factors of the known data. All observed data had been done by adjustment processing The method is suitable.The GNSS height fitting based on surface function fitting and multi surface function fitting is optimized, and this method was testified by level measurement project in a certain hydropower station. The results show that the accuracy of the two fitting methods is obviously improved.

Key words:GNSS; height fitting; Overall Least Squares; Multi-Surface Function

作者簡(jiǎn)介

收稿日期：2015-06-10

中圖分類號(hào)：P228.4

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1008-9268(2015)06-0099-03

doi:10.13442/j.gnss.1008-9268.2015.06.023