一種新的精密星歷內插方法

孫鵬，趙長勝，王仁

(江蘇師范大學測繪學院，徐州 221116)

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一種新的精密星歷內插方法

孫鵬，趙長勝，王仁

(江蘇師范大學測繪學院，徐州 221116)

摘要：GPS精密星歷插值是精密單點定位的基礎,本文將廣義重心有理插值應用于GPS精密星歷插值,同時驗證了滑動廣義重心有理插值算法在精密星歷插值中的可行性,實驗表明,滑動廣義重心有理插值具有較好的穩定性及很高的內插精度,可以滿足精密定位的需要。

關鍵詞：精密星歷;拉格朗日插值;重心拉格朗日插值;廣義重心有理插值

0引言

獲取GPS衛星的在軌位置是GPS定位的關鍵問題,獲取衛星坐標有兩種方式,一種是廣播星歷,一種是精密星歷。廣播星歷通過導航電文的數據塊Ⅱ直接發送給用戶接收機,精度較低,不能滿足精密定位需要。事后精密星歷通常通過IGS網站下載,衛星坐標單位為km,精度已達2 cm,文件格式為sp3,每隔15 min給出一組星歷數據。而通常GPS接收機的實際采樣間隔為30 s、15 s甚至更密,因此我們需要對間隔15 min的精密星歷進行內插或者擬合,以獲取所需時刻的精密星歷,目前最常用的方法是拉格朗日插值、Neville插值、切比雪夫多項式擬合等[1-3]。本文引入一種新的插值方法:廣義重心有理插值,實驗表明,該方法穩定性較好,精度高。

1拉格朗日插值與重心拉格朗日插值

設有n+1個插值節點,xj,j=0,1,…n,對應實數fj,j=0,1,2,…n,可構造n次插值多項式p,使p(xj)=fj,j=0,1…,n.則拉格朗日插值公式可以記為

(xj-xk),j=0,1,…n,

(1)

式中: lj(x)稱為拉格朗日插值基函數;使用拉格朗日插值內插衛星位置時,x為需要的內插時刻; xj為插值節點的時刻; yj為插值節點三維坐標值。拉格朗日插值在節點較少時具有較高的插值精度,但計算量較大,且當插值節點增加時,容易出現振蕩或跳躍現象,即龍格現象[4],因此,使用精密星歷時通常采用低階滑動拉格朗日插值,使待求歷元位于插值節點中心區間以獲得較高精度的插值結果[5-8]。

若定義重心權

wj=1/∏j≠k(xj-xk),j=0,1,…n.

(2)

則可得拉格朗日插值的改進形式:重心拉格朗日插值[9]。

(3)

重心拉格朗日插值分子分母都包含插值權wj,其插值權依賴于插值節點的分布,但對于等距節點插值,重心拉格朗日插值仍是病態的。文獻[10]將重心拉格朗日插值用于精密星歷插值,并得到一些有益結論。

2廣義重心有理插值

重心有理插值可表示為

(4)

資助項目:國家自然科學基金(批準號:41174032); 江蘇師范大學研究生科研創新計劃重點項目(編號:2015YZD004)

聯系人： 趙長勝 E-mail: zhaocs1957@126.com其形式與重心拉格朗日插值相似,區別在于插值權的選取。

現給定插值節點xi,i=0,1,…n及其對應的函數值fj,選擇一個整數d,滿足0≤d≤n,對每個i=0,1,…,n-d,令pi為點對(xi,fi),(xi+1,fi+1),…,(xi+d,fi+d)的次數至多為d的多項式,則構造有理函數插值為

(5)

式中:

(6)

將多項式pi(x)寫成拉格朗日公式形式

(7)

將上式代入式(5),得

(8)

式中,

(9)

指標集Jk={i∈I:k-d≤i≤k}.根據常數1的拉格朗日插值公式有

(10)

可得:

(11)

將式(8)及式(11)代入式(5),得廣義重心有理插值公式[11]為

(12)

式中,插值權wj由式(9)決定。

3驗證與分析

選取由IGS提供的2015年4月4日精密星歷數據(文件名為igs18386.sp3),提取衛星號為PG01的間隔為30min的衛星坐標(0:00-23:30),用廣義重心有理插值(本文d取12)內插其余各已知點,將精密星歷給出坐標作為真值,判斷內插精度。內插結果如圖1所示。

圖1　三方向內插至15 min誤差

內插結果顯示,廣義重心有理插值在最外側出現了一定的波動情況,其中X方向在23:15處出現了1dm的誤差,Y方向在0:15處出現了9cm的誤差,Z方向在0:15處出現了接近1dm的誤差。邊緣處的結果用于精密單點定位是不夠理想的,但1:00至22:00之間的插值精度可達1mm,而精密星歷自身精度為厘米級,故這一時間段內的插值結果是可靠的。如果需要獲取0:00-0:45以及22:45-24:00之間的插值結果,可以拼接前后兩天的部分節點,即可獲取當天任意時刻高精度插值結果。

也可以采用滑動插值的方式獲取高精度插值結果。下面驗證最佳插值節點數量以及d的最佳取值。以4月4日11:45為插值中心向兩側拓展10、12、14、16、18個間隔30min插值節點,并內插其間其余各已知歷元,插值穩定性如圖2所示。

圖2　不同節點數量端點突變

結果顯示:采用10個節點的滑動廣義重心有理插值是不可靠的,采用12、14、16、18個節點插值,插值中心區間是高度穩定的,且當增加節點數量時,邊緣也相對穩定。

現使用上述數據不同節點數n內插11:45歷元,求得插值誤差detX,detY,detZ.如表1所示。

結果表明,采用滑動廣義重心有理插值時,當取12個節點,d取10時插值精度可達毫米級,取14個節點,d=12或16個節點d=12或14時插值誤差可達亞毫米,當增加節點數量時,插值結果趨于穩定,由于精密星歷自身精度為厘米級,故采取滑動廣義重心有理插值精度高,可靠性好,可以用于精密星歷內插。

表1　不同節點數n內插11:45歷元誤差

4結束語

1) 使用廣義重心有理插值內插精密星歷,精度高,穩定性好。

2) 給出了滑動廣義重心有理插值的最佳節點數以及d的可選取值,為實際應用提供了參考。

3) 插值權的確定依賴于d的取值,d的最佳取值有待進一步討論。

參考文獻

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[11]FLOATER M S, HORMANN K. Barycentric rational interpolation with no poles and high rates of approximations[J].Numberische Mathematik, 2007,107(2):315-331.

孫鵬(1991-),男,碩士生,主要研究方向為GNSS數據處理。

趙長勝(1957-),男,教授,研究方向為大地測量與測量數據處理。

王仁(1990-),男,碩士生,主要研究方向為GNSS數據處理。

A New Method for Precise Ephemeris Interpolation

SUN Peng,ZHAO Changsheng,WANG Ren

(SchoolofGeodesyandGeomatics,JiangSuNormalUniversity,Xuzhou221116,China)

Abstract:Precise Point Positioning(PPP) is based on GPS precise ephemeris interpolation. This article uses Generalized Barycentric Rational Interpolation for precise ephemeris interpolation, and verifies that Sliding Generalized Barycentric Rational Interpolation is also feasible. The experiment shows that, Generalized Barycentric Rational Interpolation is precise and highly stable and can meet the demands of PPP

Key words:Precise ephemeris; Lagrange interpolation; Barycentric Lagrange interpolation; Generalized Barycentric Rational Interpolation

作者簡介

收稿日期：2015-07-27

中圖分類號：P228.4

文獻標志碼：A

文章編號：1008-9268(2015)06-0089-03

doi:10.13442/j.gnss.1008-9268.2015.06.020