《數學實驗》課程常微分方程求解的教學探索

□ 李 曄 李艷晴

數學實驗是高等學校迎接21世紀數學教學改革的一門新課程，它將數學知識、數學建模和計算機應用三者有機結合在一起，使學生可以深入理解數學的基本概念、基本理論，熟悉常用數學軟件，這樣既培養了學生進行數值計算和數據處理的能力，也培養了學生應用數學知識建立數學模型、解決實際問題的能力，同時使學生真正做到了“學數學，用數學”，激發了學生學習數學的興趣［1］。隨著教學改革的不斷深入，許多高校都在積極探討數學實驗的課程建設［2～3］、教學內容和教學方法［4］。實踐表明，數學實驗的重要性越來越被人們認識到，其研究方法也逐漸滲透到高校各大課程中。常微分方程求解是《數學實驗》課程中的教學重點以及教學難點之一，本文根據多年教學經驗，結合實際教學情況，探討了數學實驗課程中常微分方程求解的講授方法。

一、教學方法研究

(一)借助實際案例提出問題，激發學生興趣。教師在教學過程中，將數學建模思想融入到數學實驗教學當中［5］，根據學生的知識基礎提出問題，給出實驗問題的背景介紹。比如，以實際案例“緝私艇追擊走私船”出發，抓住學生胃口，吸引學生眼球，讓學生帶著問題而入，從而引出本節內容。這樣不僅能讓學生對建模思想有初步了解，培養學生創新能力，而且有助于加強學生的求知欲，提高學生的學習興趣。

(二)由淺入深，由表及里，介紹龍格庫塔法的思想。所謂數值方法，是將連續的微分方程的初值問題離散化為差分方程的初值問題，用差分方程的解近似代替微分方程的解［6］。常用的微分方程的數值解法有歐拉法、梯形公式、龍格庫塔方法。本章主要是用龍格庫塔方法編程序求解。為了便于學生掌握，由淺入深，由表及里，先從簡單的方法(歐拉法、梯形公式)入手，然后導出龍格庫塔方法。

微分方程的初值問題:

假設(1)式的解存在并且唯一(即?(x，y)在矩形區域R={(x，y)|x0≤x≤xn，y0≤y≤yn}上連續，且關于 y 滿足 Lipschitz條件)。

把定義域n等分，對微分方程y'=?(x，y)在第i個小區間［xi，xi+1］上積分得:

對于(2)式中的定積分，用不同的數值方法(左矩形公式、右矩形公式、復合梯形公式)求解，便得到不同的求解常微分方程的數值方法(向前歐拉公式、向后歐拉公式、梯形公式)。

如，用左矩形公式求(2)中的定積分，得:

y(xi+1)≈y(xi)+h?(xi，y(xi))

又有 yi+1=y(xi+1)，yi≈y(xi)，所以 yi+1=y+h?(xi，yi)，i=0，1，…，即向前歐拉公式。顯然，步長越小，結果越精確。

同理，用右矩形公式求(2)中的定積分，得y(xi+1)≈y(xi)+h?(xi+1，y(xi+1))，即向后歐拉公式，這是隱式格式，求解時需采用預測校正方法，即先用向前歐拉法提供初值，然后再用向后歐拉公式迭代，計算公式為:

用復合梯形公式求定積分，得數值解的計算公式為:

綜上，歐拉公式在計算(2)中的定積分時只用到了一個點(左端點或右端點)處的導數值(即?(x，y)值);梯形公式用了兩個點(左、右端點)的導數值;在此基礎上，在小區間［xi，xi+1］上多取幾個點，計算這些結點處的導數值，然后作這些導數值的線性組合，構造近似公式，這就是龍格庫塔法的基本思想。

常用的龍格庫塔法有二級二階R－K方法

在介紹各種數值方法時，可用Matlab進行仿真，把每一步迭代結果動態的反映到圖像中，將抽象的算法直觀地呈現在學生面前，加深學生的理解，激發學生的興趣。

(三)用Matlab編程序求解。例:所求微分方程初值問題為，用龍格庫塔法求解的程序為:

編寫函數文件exf:

編寫主程序:

運行結果見圖1。

圖1 數值解與解析解

圖2 simulink模塊連接圖

(四)建立Simulink模塊連接圖，進行比較式教學。首先建立方程的simulink模型，保存為 aa2．mdl，見圖2。運行仿真:

仿真畫出y及其導數的圖像，結果同圖1。

由上，simulink不需要學生對算法有很深的了解，只需畫出模塊連接圖，就可以將結果可視化。而且，模擬是交互的，學生可以快速改變參數，并立刻得到相應的結果，該方法的優點是簡單、快速、直觀，對于初學者來說更容易掌握。

圖3 Lorenz混沌吸引子三維相圖

(五)引入科學前沿問題，開拓學生視野。隨著科學技術的發展，長期不變的實驗教學已不能滿足教學需要，所以應將新的科研成果融入教學中，讓學生掌握科學前沿知識，這樣可以豐富教學內容，開拓學生視野，活躍學生思想，培養創新意識，從而提高教學質量。

本章內容其中一個重要的應用就是混沌系統的求解。混沌是非線性動力學系統中特有的一種運動形式，廣泛存在于自然界，如生物學、物理、化學、電子學、信息學科以及技術科學、社會科學等各種領域。混沌是學者們研究的學術前沿問題之一。其中研究的最為深入的是Lorenz系統，其狀態方程為:

式中 a=10，b=30，c=8/3，給定初始條件為 x(0)=0，y(0)=ε，z(0)=0，其三維相圖見圖3。給初始值一個微小擾動，然后求解觀察，會發現兩次計算結果完全不同，這就是混沌系統對初始條件的高度敏感性(失之毫厘，差之千里)，稱之為蝴蝶效應。

Lorenz方程是沒有解析解的，如果要手工繪出其圖形很困難，但是用Matlab仿真，其效果和直觀性是非常好的，便于學生理解與掌握。

另外，在繪制洛倫茲系統的相圖時，可以固定參數a，c，令b從0到30變化，進一步觀察相圖，初步引入分岔的概念，如此有利于激發學生的求知欲，為日后的進一步研究奠定基礎。

二、結語

對于常微分方程數值解的講授，首先提出實際案例，讓學生帶著問題而入，激發學生求知欲;然后介紹算法，理論與實踐相結合;再用Matlab仿真，主要介紹兩種方法(龍格庫塔法以及Simulink仿真)求解，結果表明:兩種方法各有優點，前者幫助學生理解算法理論;后者從繁瑣的算法中解脫出來，簡單、直觀，只需要畫出模塊連接圖就可得到結果;最后引入科學前沿問題——混沌系統的求解，開拓了學生的視野，提高了學生興趣，培養了創新意識，使教學質量上了一個新臺階。

［1］艾冬梅，李艷晴，張麗靜等．MATLAB與數學實驗［M］．北京:機械工業出版社，2010

［2］楊韌，謝海英，楊光崇．注重能力培養的數學實驗課程建設探索［J］．大學數學，2013，29(3):9 ～11

［3］陳慧．數學實驗課程教學改革研究［J］．中國大學數學，2007，12:35 ～36

［4］楊夷梅，楊玉軍．Matlab教學中的方法與實踐［J］．中國電力教育，2008，127:59 ～60

［5］韋程東，高揚，陳志強．在常微分方程教學中融入數學建模思想的探索與實踐［J］．數學的實踐與認識，2008，38(20):228～233

［6］劉欽圣，張曉丹，王兵團．數值計算方法教程［M］．北京:冶金工業出版社，1998