變力做功的多種求解方法

華峰

大家對于恒力做功問題都能靈活地利用公式順利求解，然而對于變力做功問題求解常常會感到較困難.下面

介紹幾種典型的常用的求解方法，以利于對此類問題正確處理.

一、微元法

此法適用于力的大小恒定，方向始終與速度同向或反向的力做功的求解.

例1力F=10 N作用于半徑

r=1 m的轉盤邊緣上，其大小保持不變、方向始終保持在作用點處與圓盤邊緣切線方向一致，則剛轉動一周這個力F做的總功是多少？

解析因為力F的大小保持不變，方向始終與圓盤邊緣的速度方向相同，因而可將轉動一周的過程分為很多很短的一段一段，在每一段上都可以認為是恒力做功，再將各段的功相加，即用力F的大小乘以一周的路程，故可得：

W=Fs=F·2πr=10×2π×1 J=20π J.

二、平均值法

此法適用于力的方向不變，大小隨位移勻速改變的力做功的求解.

例2用豎直向下壓力將放置在水平面上的一彈簧（k=2×104N/m）緩慢勻速壓縮了10cm，則外加壓力對彈簧做功J.

解析因為彈簧的彈力F=kx，F的方向不變，而大小與x成正比，即F隨著x均勻增大，所以此過程中力F的平均值為：F=12kx=12kL.故力F做的功為：

W=FL=12kL2=12×2×104×0.12J=100J.

例3用錘擊釘，木板對釘子的阻力跟釘子進入木板的深度成正比，每次擊釘子時，錘子對釘子做的功相同.已知第一次擊釘時，釘子進入木板1 cm，求第二次擊釘時，釘子進入木板的深度.

解析由于木板對釘子的阻力跟釘子進入木板的深度成正比，因此可用平均值法求木板對釘子的阻力做的功.設f=kx，第二次擊釘時，釘子進入木板的深度為x2，則有：

0+kx12·x1=kx1+k（x1+x2）2·x2，其中x1=1 cm，∴x22+2x2-1=0，解之得：x2=2-1=

0.414（cm）[注：另一根不合題意，舍去].

三、轉化法

當變力做功不易求解時，可通過轉化為恒力做功順利求解.

圖1

例4如圖1所示，一人用繩子提升質量為m的物體，從A點緩慢地移到B點，∠AOB=45°，sAB=3m，求拉力做的功.endprint

大家對于恒力做功問題都能靈活地利用公式順利求解，然而對于變力做功問題求解常常會感到較困難.下面

介紹幾種典型的常用的求解方法，以利于對此類問題正確處理.

一、微元法

此法適用于力的大小恒定，方向始終與速度同向或反向的力做功的求解.

例1力F=10 N作用于半徑

r=1 m的轉盤邊緣上，其大小保持不變、方向始終保持在作用點處與圓盤邊緣切線方向一致，則剛轉動一周這個力F做的總功是多少？

解析因為力F的大小保持不變，方向始終與圓盤邊緣的速度方向相同，因而可將轉動一周的過程分為很多很短的一段一段，在每一段上都可以認為是恒力做功，再將各段的功相加，即用力F的大小乘以一周的路程，故可得：

W=Fs=F·2πr=10×2π×1 J=20π J.

二、平均值法

此法適用于力的方向不變，大小隨位移勻速改變的力做功的求解.

例2用豎直向下壓力將放置在水平面上的一彈簧（k=2×104N/m）緩慢勻速壓縮了10cm，則外加壓力對彈簧做功J.

解析因為彈簧的彈力F=kx，F的方向不變，而大小與x成正比，即F隨著x均勻增大，所以此過程中力F的平均值為：F=12kx=12kL.故力F做的功為：

W=FL=12kL2=12×2×104×0.12J=100J.

例3用錘擊釘，木板對釘子的阻力跟釘子進入木板的深度成正比，每次擊釘子時，錘子對釘子做的功相同.已知第一次擊釘時，釘子進入木板1 cm，求第二次擊釘時，釘子進入木板的深度.

解析由于木板對釘子的阻力跟釘子進入木板的深度成正比，因此可用平均值法求木板對釘子的阻力做的功.設f=kx，第二次擊釘時，釘子進入木板的深度為x2，則有：

0+kx12·x1=kx1+k（x1+x2）2·x2，其中x1=1 cm，∴x22+2x2-1=0，解之得：x2=2-1=

0.414（cm）[注：另一根不合題意，舍去].

三、轉化法

當變力做功不易求解時，可通過轉化為恒力做功順利求解.

圖1

例4如圖1所示，一人用繩子提升質量為m的物體，從A點緩慢地移到B點，∠AOB=45°，sAB=3m，求拉力做的功.endprint

大家對于恒力做功問題都能靈活地利用公式順利求解，然而對于變力做功問題求解常常會感到較困難.下面

介紹幾種典型的常用的求解方法，以利于對此類問題正確處理.

一、微元法

此法適用于力的大小恒定，方向始終與速度同向或反向的力做功的求解.

例1力F=10 N作用于半徑

r=1 m的轉盤邊緣上，其大小保持不變、方向始終保持在作用點處與圓盤邊緣切線方向一致，則剛轉動一周這個力F做的總功是多少？

解析因為力F的大小保持不變，方向始終與圓盤邊緣的速度方向相同，因而可將轉動一周的過程分為很多很短的一段一段，在每一段上都可以認為是恒力做功，再將各段的功相加，即用力F的大小乘以一周的路程，故可得：

W=Fs=F·2πr=10×2π×1 J=20π J.

二、平均值法

此法適用于力的方向不變，大小隨位移勻速改變的力做功的求解.

例2用豎直向下壓力將放置在水平面上的一彈簧（k=2×104N/m）緩慢勻速壓縮了10cm，則外加壓力對彈簧做功J.

解析因為彈簧的彈力F=kx，F的方向不變，而大小與x成正比，即F隨著x均勻增大，所以此過程中力F的平均值為：F=12kx=12kL.故力F做的功為：

W=FL=12kL2=12×2×104×0.12J=100J.

例3用錘擊釘，木板對釘子的阻力跟釘子進入木板的深度成正比，每次擊釘子時，錘子對釘子做的功相同.已知第一次擊釘時，釘子進入木板1 cm，求第二次擊釘時，釘子進入木板的深度.

解析由于木板對釘子的阻力跟釘子進入木板的深度成正比，因此可用平均值法求木板對釘子的阻力做的功.設f=kx，第二次擊釘時，釘子進入木板的深度為x2，則有：

0+kx12·x1=kx1+k（x1+x2）2·x2，其中x1=1 cm，∴x22+2x2-1=0，解之得：x2=2-1=

0.414（cm）[注：另一根不合題意，舍去].

三、轉化法

當變力做功不易求解時，可通過轉化為恒力做功順利求解.

圖1

例4如圖1所示，一人用繩子提升質量為m的物體，從A點緩慢地移到B點，∠AOB=45°，sAB=3m，求拉力做的功.endprint