一題多解發(fā)散思維

聶文喜

對于一個(gè)數(shù)學(xué)問題，若能根據(jù)已知與要求之間的關(guān)系，發(fā)散思維，善于聯(lián)系，可以得到多種不同的解法，從而訓(xùn)練思維的廣闊性、靈活性和深刻性.

題（2014年高考遼寧卷理16）對于c>0，當(dāng)非零數(shù)a、b滿足4a2-2ab+4b2-c=0且使|2a+b|最大時(shí)，3a-4b+5c的最小值為 .

分析先固定c，將|2a+b|取最大時(shí)的a、b用c表示，代入3a-4b+5c后將3a-4b+5c轉(zhuǎn)化為c的函數(shù)，再利用函數(shù)思想求出3a-4b+5c的最小值.

思路一、產(chǎn)生和式2a+b

解法1（利用實(shí)數(shù)平方的非負(fù)性）： c=4a2-2ab+4b2=58（2a+b）2+38（2a-3b）2≥58（2a

到有X2+Y2=r2，問題轉(zhuǎn)化為：在直角坐標(biāo)系XOY下，圓弧M：X2+Y2=r2（0≤X，Y，r≤1）與直線l：X+Y=M-r有交點(diǎn)時(shí)求M的最大值.

解由圓心O到直線l的距離不大于圓的半徑，得|M-r|2≤r即M≤（2+1）r≤2+1；當(dāng)圓與直線相切時(shí)，得X=Y=22r，所以當(dāng)r=1即x=1，y=12，z=0時(shí)，有Mmax=2+1.

五、函數(shù)值域問題

例5（2013年“希望杯”高二試題）函數(shù)f（x）=1x-1+2x-x2的值域是（ ）.

分析設(shè)x-1+2x-x2=d1+2x-x2=y，則問題轉(zhuǎn)化為：在直角坐標(biāo)系xoy下，求圓弧M：（x-1）2+y2=2（y≥0）與直線l：y=x-d（d≠0） 有公共點(diǎn)時(shí)截距d的倒數(shù)f（x）的范圍. 圖3

解如圖3，當(dāng)直線l經(jīng)過圓弧M的端點(diǎn)A（1+2，0）時(shí)，d取得最大值1+2；當(dāng)直線l與圓弧M相切于點(diǎn)C（0，1）時(shí)，d取得最小值-1；所以

有-1≤d≤1+2，從而f（x）的取值范圍是（-∞，-1]∪[2-1，+∞）.

六、不等式問題

結(jié)構(gòu)復(fù)雜的不等式，沒有固定的解答模式，方法常常靈活多變.

例6 （第二屆世界數(shù)學(xué)錦標(biāo)賽）解不等式：2x-8

+24-2x-2≤2+π.

圖4分析原不等式變形為2x-8+16-2x≤2+π，設(shè)2x-8=X，16-2x=Y（X≥0，Y≥0），則問題轉(zhuǎn)化為：

在直角坐標(biāo)系XOY下，求圓弧X2+Y2=8（X≥0，Y≥0）

與區(qū)域X≥0，Y≥0X+Y≤2+π公共點(diǎn)的坐標(biāo)范圍.

解因圓心O到直線X+Y=2+π的距離|2+π|2>圓的半徑22，所以圓弧X2+Y2=8（X≥0，Y≥0）上的點(diǎn)均在區(qū)域內(nèi)，只需各式有意義即可，所以有：8≤2x≤16，即x∈[3，4].

七、其它問題

例7（第19屆“希望杯”高二試題）已知1-3b，2a，1+3b成等比數(shù)列，求8a+9b的取值范圍.

分析依題設(shè)應(yīng)有（2a）2+（3b）2=1（a≠0），設(shè)2a=u3b=v，8a+9b=t，則問題轉(zhuǎn)化為：

在直角坐標(biāo)系uov下，求圓u2+v2=1（u≠0）與直線4u+3v=t有交點(diǎn)時(shí)t的取值范圍.

解由圓心到直線的距離不大于圓的半徑得：

|t|42+32=|t|5≤1即-5≤t≤5.

（收稿日期：2014-02-12）

對于一個(gè)數(shù)學(xué)問題，若能根據(jù)已知與要求之間的關(guān)系，發(fā)散思維，善于聯(lián)系，可以得到多種不同的解法，從而訓(xùn)練思維的廣闊性、靈活性和深刻性.

題（2014年高考遼寧卷理16）對于c>0，當(dāng)非零數(shù)a、b滿足4a2-2ab+4b2-c=0且使|2a+b|最大時(shí)，3a-4b+5c的最小值為 .

分析先固定c，將|2a+b|取最大時(shí)的a、b用c表示，代入3a-4b+5c后將3a-4b+5c轉(zhuǎn)化為c的函數(shù)，再利用函數(shù)思想求出3a-4b+5c的最小值.

思路一、產(chǎn)生和式2a+b

解法1（利用實(shí)數(shù)平方的非負(fù)性）： c=4a2-2ab+4b2=58（2a+b）2+38（2a-3b）2≥58（2a

到有X2+Y2=r2，問題轉(zhuǎn)化為：在直角坐標(biāo)系XOY下，圓弧M：X2+Y2=r2（0≤X，Y，r≤1）與直線l：X+Y=M-r有交點(diǎn)時(shí)求M的最大值.

解由圓心O到直線l的距離不大于圓的半徑，得|M-r|2≤r即M≤（2+1）r≤2+1；當(dāng)圓與直線相切時(shí)，得X=Y=22r，所以當(dāng)r=1即x=1，y=12，z=0時(shí)，有Mmax=2+1.

五、函數(shù)值域問題

例5（2013年“希望杯”高二試題）函數(shù)f（x）=1x-1+2x-x2的值域是（ ）.

分析設(shè)x-1+2x-x2=d1+2x-x2=y，則問題轉(zhuǎn)化為：在直角坐標(biāo)系xoy下，求圓弧M：（x-1）2+y2=2（y≥0）與直線l：y=x-d（d≠0） 有公共點(diǎn)時(shí)截距d的倒數(shù)f（x）的范圍. 圖3

解如圖3，當(dāng)直線l經(jīng)過圓弧M的端點(diǎn)A（1+2，0）時(shí)，d取得最大值1+2；當(dāng)直線l與圓弧M相切于點(diǎn)C（0，1）時(shí)，d取得最小值-1；所以

有-1≤d≤1+2，從而f（x）的取值范圍是（-∞，-1]∪[2-1，+∞）.

六、不等式問題

結(jié)構(gòu)復(fù)雜的不等式，沒有固定的解答模式，方法常常靈活多變.

例6 （第二屆世界數(shù)學(xué)錦標(biāo)賽）解不等式：2x-8

+24-2x-2≤2+π.

圖4分析原不等式變形為2x-8+16-2x≤2+π，設(shè)2x-8=X，16-2x=Y（X≥0，Y≥0），則問題轉(zhuǎn)化為：

在直角坐標(biāo)系XOY下，求圓弧X2+Y2=8（X≥0，Y≥0）

與區(qū)域X≥0，Y≥0X+Y≤2+π公共點(diǎn)的坐標(biāo)范圍.

解因圓心O到直線X+Y=2+π的距離|2+π|2>圓的半徑22，所以圓弧X2+Y2=8（X≥0，Y≥0）上的點(diǎn)均在區(qū)域內(nèi)，只需各式有意義即可，所以有：8≤2x≤16，即x∈[3，4].

七、其它問題

例7（第19屆“希望杯”高二試題）已知1-3b，2a，1+3b成等比數(shù)列，求8a+9b的取值范圍.

分析依題設(shè)應(yīng)有（2a）2+（3b）2=1（a≠0），設(shè)2a=u3b=v，8a+9b=t，則問題轉(zhuǎn)化為：

在直角坐標(biāo)系uov下，求圓u2+v2=1（u≠0）與直線4u+3v=t有交點(diǎn)時(shí)t的取值范圍.

解由圓心到直線的距離不大于圓的半徑得：

|t|42+32=|t|5≤1即-5≤t≤5.

（收稿日期：2014-02-12）

對于一個(gè)數(shù)學(xué)問題，若能根據(jù)已知與要求之間的關(guān)系，發(fā)散思維，善于聯(lián)系，可以得到多種不同的解法，從而訓(xùn)練思維的廣闊性、靈活性和深刻性.

題（2014年高考遼寧卷理16）對于c>0，當(dāng)非零數(shù)a、b滿足4a2-2ab+4b2-c=0且使|2a+b|最大時(shí)，3a-4b+5c的最小值為 .

分析先固定c，將|2a+b|取最大時(shí)的a、b用c表示，代入3a-4b+5c后將3a-4b+5c轉(zhuǎn)化為c的函數(shù)，再利用函數(shù)思想求出3a-4b+5c的最小值.

思路一、產(chǎn)生和式2a+b

解法1（利用實(shí)數(shù)平方的非負(fù)性）： c=4a2-2ab+4b2=58（2a+b）2+38（2a-3b）2≥58（2a

到有X2+Y2=r2，問題轉(zhuǎn)化為：在直角坐標(biāo)系XOY下，圓弧M：X2+Y2=r2（0≤X，Y，r≤1）與直線l：X+Y=M-r有交點(diǎn)時(shí)求M的最大值.

解由圓心O到直線l的距離不大于圓的半徑，得|M-r|2≤r即M≤（2+1）r≤2+1；當(dāng)圓與直線相切時(shí)，得X=Y=22r，所以當(dāng)r=1即x=1，y=12，z=0時(shí)，有Mmax=2+1.

五、函數(shù)值域問題

例5（2013年“希望杯”高二試題）函數(shù)f（x）=1x-1+2x-x2的值域是（ ）.

分析設(shè)x-1+2x-x2=d1+2x-x2=y，則問題轉(zhuǎn)化為：在直角坐標(biāo)系xoy下，求圓弧M：（x-1）2+y2=2（y≥0）與直線l：y=x-d（d≠0） 有公共點(diǎn)時(shí)截距d的倒數(shù)f（x）的范圍. 圖3

解如圖3，當(dāng)直線l經(jīng)過圓弧M的端點(diǎn)A（1+2，0）時(shí)，d取得最大值1+2；當(dāng)直線l與圓弧M相切于點(diǎn)C（0，1）時(shí)，d取得最小值-1；所以

有-1≤d≤1+2，從而f（x）的取值范圍是（-∞，-1]∪[2-1，+∞）.

六、不等式問題

結(jié)構(gòu)復(fù)雜的不等式，沒有固定的解答模式，方法常常靈活多變.

例6 （第二屆世界數(shù)學(xué)錦標(biāo)賽）解不等式：2x-8

+24-2x-2≤2+π.

圖4分析原不等式變形為2x-8+16-2x≤2+π，設(shè)2x-8=X，16-2x=Y（X≥0，Y≥0），則問題轉(zhuǎn)化為：

在直角坐標(biāo)系XOY下，求圓弧X2+Y2=8（X≥0，Y≥0）

與區(qū)域X≥0，Y≥0X+Y≤2+π公共點(diǎn)的坐標(biāo)范圍.

解因圓心O到直線X+Y=2+π的距離|2+π|2>圓的半徑22，所以圓弧X2+Y2=8（X≥0，Y≥0）上的點(diǎn)均在區(qū)域內(nèi)，只需各式有意義即可，所以有：8≤2x≤16，即x∈[3，4].

七、其它問題

例7（第19屆“希望杯”高二試題）已知1-3b，2a，1+3b成等比數(shù)列，求8a+9b的取值范圍.

分析依題設(shè)應(yīng)有（2a）2+（3b）2=1（a≠0），設(shè)2a=u3b=v，8a+9b=t，則問題轉(zhuǎn)化為：

在直角坐標(biāo)系uov下，求圓u2+v2=1（u≠0）與直線4u+3v=t有交點(diǎn)時(shí)t的取值范圍.

解由圓心到直線的距離不大于圓的半徑得：

|t|42+32=|t|5≤1即-5≤t≤5.

（收稿日期：2014-02-12）