圓錐曲線常見錯誤歸類剖析

方曉玲

圓錐曲線是解析幾何的核心內容，也是高考重點考察內容.在每年的高考中都占有較大的比例，然而其中也有許多知識點容易混淆或用錯，本文將一些常見的錯誤分類展示出來，期望能增強同學們防錯的“免疫力”.

一、套用定義，產生錯解

在歷年高考試題中，圓錐曲線的概念是一個必考點.圓錐曲線的定義、焦點坐標等，這些是要牢記的知識點，不能混淆.

例1已知雙曲線x216-y29=1上的點P到點（5，0）的距離為8.5，則點P到點（-5，0）的距離是.

錯解設雙曲線的兩個焦點分別為F1（-5，0），F2（5，0），由雙曲線的定義知|PF1|-|PF2|=8，所以|PF1|=16.5或|PF1|=0.5.故點P到點（-5，0）的距離為16.5或0.5.

剖析由題意知，雙曲線左支上的點到左焦點的最短距離為1，所以|PF1|=0.5不合題意.事實上，在求解此類問題時，應靈活運用雙曲線的定義，分析出點P的存在情況，然后再求解.本題中，因左支上的點到右焦點的最短距離為9>8.5，故點P只能在右支上，故|PF1|=16.5.

二、 忽視范圍，造成誤解

在解關于圓錐曲線的綜合題時，要考慮圓錐曲線本身的范圍，而在進行純代數運算時常常會忽略它.

例2已知實數x，y滿足x24+y2=1，試求z=（x-1）2+y2的最值.

錯解由x24+y2=1，得y2=1-x24，則有z=（x-1）2+y2=34（x-43）2+23≥23，

所以z的最小值為23，不存在最大值.

剖析圓錐曲線中的橫縱坐標存在其本身固有的范圍，求有關最值時若忽視了這一點，就會出現上述解法中的錯誤，事實上，本題中還應考慮到-2≤x≤2，于是可得z的最大值與最小值分別為9與23.

三、盲目互換，形成疵解

在求圓錐曲線方程時，要注意焦點在x軸還是y軸.

例3若雙曲線的漸近線方程為y=±

12x，焦距為10，則此雙曲線的方程為

.

錯解若雙曲線的焦點在x軸上，可設其標準方程為x2a2-y2b2=1，由a2+b2=（102）2及ba=12可解得a2=20，b2=5，所以此時雙曲線方程為x220-y25=1；若雙曲線的焦點在y軸上，由a2+b2=（102）2及ab=12可解得a2=5，b2=20，得雙曲線的方程為：x25-y220=1.故所求雙曲線方程為x220-y25=1或x25-y220=1.

剖析若雙曲線的焦點在y軸上，則其漸近線方程變為y=±abx（不是y=±bax），故應為ab=12，此時雙曲線標準方程為y2a2-x2b2=1，結合a2+b2=（102）2可解得a2=5，b2=20，從而雙曲線方程為y25-x220=1，故正確答案應為x220-y25=1或y25-x220=1.

其實這兩解互為共軛雙曲線方程.錯解的原因就是不針對具體情況進行認真考慮，而只是盲目地簡單互換.

四、考慮不周，導致漏解

在將方程變形時應注意范圍的變化，這樣才不會出錯.

例4設橢圓的中心是坐標原點，長軸

在x軸上，離心率e=32，已知點P（0，32）到這個橢圓上點的最遠距離是7，求這個橢圓的方程.

錯解依題意可設橢圓方程為：x2a2+y2b2=1（a>b>0）.

由e2=c2a2=a2-b2a2=1-b2a2=34， ∴b2a2=14，即a=2b.

設橢圓上的點（x，y）到點P的距離為d，則

d2=x2+（y-32）2=a2（1-y2b2）+y2-3y+94=-3（y+12）2+4b2+3

當y=-12時，d2有最大值，從而d也有最大值，∴4b2+3=（7）2.解得a2=4，b2=1.

于是，所求橢圓的方程為x24+y2=1.

剖析盡管上面的解法的最后結果是正確的，但這種解法卻是錯誤的，結果正確只是碰巧而已，當y=-12時，d2有最大值，這步推理是錯誤的，沒有考慮y的取值范圍.事實上，由于點（x，y）在橢圓上，∴-b≤y≤b，因此，在求d2的最大值時，應分類討論如下：

若-12<-b<0，即0

當y=-b時，d2取最大值，此時的d是點P（0，32）與橢圓和y軸負半軸交點的距離，由d2=|32+b|=7，得b=-32±7，這與0

若-b≤-12，即b≥12時，當y=-12時，d2取最大值. ∴由4b2+3=7得b2=1，a2=4.于是，所求橢圓的方程為x24+y2=1.

綜上兩種情況，所求橢圓的方程為：x24+y2=1.

五、忽視隱含，引起增解

在解關于圓錐曲線的綜合題或運用圓錐曲線性質時，要注意一些隱藏條件，避免出現增解.

例5 （人教A版（選修2-1）第62頁B組第4題）已知雙曲線x2-y22=1，過點A（1，1）能否作直線l，使l與雙曲線交于P、Q兩點，且點A是線段PQ的中點？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由.

錯解一假設存在直線l，設其方程為y-1=k（x-1），

由y-1=k（x-1）x2-y22=1整理得（2-k2）x2+2k（k-1）x-k2+2k-3=0

設P（x1，y1），Q（x2，y2），則由x1+x2=2k（k-1）k2-2得：k（k-1）k2-2=1，可得k=2.

故直線l存在，其方程為y-1=2（x-1），即2x-y-1=0.

錯解二假設滿足題設的直線l存在，并設P（x1，y1），Q（x2，y2）.

則x21-y212=1x22-y222=1兩式相減得：（x1+x2）（x1-x2）-（y1+y2）（y1-y2）2=0

∵x1+x22=1，y1+y22=1，∴kl=y1-y2x1-x2=2（x1+x2）y1+y2=2.

于是直線l存在，其方程為y-1=2（x-1），即2x-y-1=0.

剖析以上兩種解法出錯的原因都在于忽視了隱含條件“直線l與雙曲線有兩個交點”，故應該還有限制條件： Δ=4k2（k-1）2-4（2-k2）（-k2+2k-3）>0

得k<32，顯然符合題設的直線l不存在.

追本溯源關于中點問題一般可以采用兩種方法解決：（1）聯立方程組，消元，利用根與系數的關系進行設而不解，從而簡化運算解題；（2）利用“點差法”求出與中點、斜率有關的式子，進而求解.不管應用何種方法都必須注意判別式Δ的限制.因為對于圓、橢圓這種封閉的曲線，以其內部一點為中點的弦是存在的，而對于雙曲線，這樣的弦就不一定存在，故求出直線的斜率k值后需用判別式判定此時直線是否與雙曲線有交點.

跟蹤練習

1.在△ABC中，BC=4，2sinC=sinA+2sinB，求頂點A的軌跡方程.

正解以直線BC為x軸，線段BC的中垂線為y軸建立直角坐標系.

∵|BC|=4，∴B（-2，0），C（2，0），由2sinC=2sinB+sinA，利用正弦定理可得：2|AB|=|BC|+2|AC|，即|AB|-|AC|=12|BC|=2<4，即點A到點B的距離與點A到點C的距離之差是常數2. 由雙曲線定義可知，點A的軌跡是以B，C為焦點的雙曲線的右支（除頂點），其

中2a=2，∴a=1，

圓錐曲線是解析幾何的核心內容，也是高考重點考察內容.在每年的高考中都占有較大的比例，然而其中也有許多知識點容易混淆或用錯，本文將一些常見的錯誤分類展示出來，期望能增強同學們防錯的“免疫力”.

一、套用定義，產生錯解

在歷年高考試題中，圓錐曲線的概念是一個必考點.圓錐曲線的定義、焦點坐標等，這些是要牢記的知識點，不能混淆.

例1已知雙曲線x216-y29=1上的點P到點（5，0）的距離為8.5，則點P到點（-5，0）的距離是.

錯解設雙曲線的兩個焦點分別為F1（-5，0），F2（5，0），由雙曲線的定義知|PF1|-|PF2|=8，所以|PF1|=16.5或|PF1|=0.5.故點P到點（-5，0）的距離為16.5或0.5.

剖析由題意知，雙曲線左支上的點到左焦點的最短距離為1，所以|PF1|=0.5不合題意.事實上，在求解此類問題時，應靈活運用雙曲線的定義，分析出點P的存在情況，然后再求解.本題中，因左支上的點到右焦點的最短距離為9>8.5，故點P只能在右支上，故|PF1|=16.5.

二、 忽視范圍，造成誤解

在解關于圓錐曲線的綜合題時，要考慮圓錐曲線本身的范圍，而在進行純代數運算時常常會忽略它.

例2已知實數x，y滿足x24+y2=1，試求z=（x-1）2+y2的最值.

錯解由x24+y2=1，得y2=1-x24，則有z=（x-1）2+y2=34（x-43）2+23≥23，

所以z的最小值為23，不存在最大值.

剖析圓錐曲線中的橫縱坐標存在其本身固有的范圍，求有關最值時若忽視了這一點，就會出現上述解法中的錯誤，事實上，本題中還應考慮到-2≤x≤2，于是可得z的最大值與最小值分別為9與23.

三、盲目互換，形成疵解

在求圓錐曲線方程時，要注意焦點在x軸還是y軸.

例3若雙曲線的漸近線方程為y=±

12x，焦距為10，則此雙曲線的方程為

.

錯解若雙曲線的焦點在x軸上，可設其標準方程為x2a2-y2b2=1，由a2+b2=（102）2及ba=12可解得a2=20，b2=5，所以此時雙曲線方程為x220-y25=1；若雙曲線的焦點在y軸上，由a2+b2=（102）2及ab=12可解得a2=5，b2=20，得雙曲線的方程為：x25-y220=1.故所求雙曲線方程為x220-y25=1或x25-y220=1.

剖析若雙曲線的焦點在y軸上，則其漸近線方程變為y=±abx（不是y=±bax），故應為ab=12，此時雙曲線標準方程為y2a2-x2b2=1，結合a2+b2=（102）2可解得a2=5，b2=20，從而雙曲線方程為y25-x220=1，故正確答案應為x220-y25=1或y25-x220=1.

其實這兩解互為共軛雙曲線方程.錯解的原因就是不針對具體情況進行認真考慮，而只是盲目地簡單互換.

四、考慮不周，導致漏解

在將方程變形時應注意范圍的變化，這樣才不會出錯.

例4設橢圓的中心是坐標原點，長軸

在x軸上，離心率e=32，已知點P（0，32）到這個橢圓上點的最遠距離是7，求這個橢圓的方程.

錯解依題意可設橢圓方程為：x2a2+y2b2=1（a>b>0）.

由e2=c2a2=a2-b2a2=1-b2a2=34， ∴b2a2=14，即a=2b.

設橢圓上的點（x，y）到點P的距離為d，則

d2=x2+（y-32）2=a2（1-y2b2）+y2-3y+94=-3（y+12）2+4b2+3

當y=-12時，d2有最大值，從而d也有最大值，∴4b2+3=（7）2.解得a2=4，b2=1.

于是，所求橢圓的方程為x24+y2=1.

剖析盡管上面的解法的最后結果是正確的，但這種解法卻是錯誤的，結果正確只是碰巧而已，當y=-12時，d2有最大值，這步推理是錯誤的，沒有考慮y的取值范圍.事實上，由于點（x，y）在橢圓上，∴-b≤y≤b，因此，在求d2的最大值時，應分類討論如下：

若-12<-b<0，即0

當y=-b時，d2取最大值，此時的d是點P（0，32）與橢圓和y軸負半軸交點的距離，由d2=|32+b|=7，得b=-32±7，這與0

若-b≤-12，即b≥12時，當y=-12時，d2取最大值. ∴由4b2+3=7得b2=1，a2=4.于是，所求橢圓的方程為x24+y2=1.

綜上兩種情況，所求橢圓的方程為：x24+y2=1.

五、忽視隱含，引起增解

在解關于圓錐曲線的綜合題或運用圓錐曲線性質時，要注意一些隱藏條件，避免出現增解.

例5 （人教A版（選修2-1）第62頁B組第4題）已知雙曲線x2-y22=1，過點A（1，1）能否作直線l，使l與雙曲線交于P、Q兩點，且點A是線段PQ的中點？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由.

錯解一假設存在直線l，設其方程為y-1=k（x-1），

由y-1=k（x-1）x2-y22=1整理得（2-k2）x2+2k（k-1）x-k2+2k-3=0

設P（x1，y1），Q（x2，y2），則由x1+x2=2k（k-1）k2-2得：k（k-1）k2-2=1，可得k=2.

故直線l存在，其方程為y-1=2（x-1），即2x-y-1=0.

錯解二假設滿足題設的直線l存在，并設P（x1，y1），Q（x2，y2）.

則x21-y212=1x22-y222=1兩式相減得：（x1+x2）（x1-x2）-（y1+y2）（y1-y2）2=0

∵x1+x22=1，y1+y22=1，∴kl=y1-y2x1-x2=2（x1+x2）y1+y2=2.

于是直線l存在，其方程為y-1=2（x-1），即2x-y-1=0.

剖析以上兩種解法出錯的原因都在于忽視了隱含條件“直線l與雙曲線有兩個交點”，故應該還有限制條件： Δ=4k2（k-1）2-4（2-k2）（-k2+2k-3）>0

得k<32，顯然符合題設的直線l不存在.

追本溯源關于中點問題一般可以采用兩種方法解決：（1）聯立方程組，消元，利用根與系數的關系進行設而不解，從而簡化運算解題；（2）利用“點差法”求出與中點、斜率有關的式子，進而求解.不管應用何種方法都必須注意判別式Δ的限制.因為對于圓、橢圓這種封閉的曲線，以其內部一點為中點的弦是存在的，而對于雙曲線，這樣的弦就不一定存在，故求出直線的斜率k值后需用判別式判定此時直線是否與雙曲線有交點.

跟蹤練習

1.在△ABC中，BC=4，2sinC=sinA+2sinB，求頂點A的軌跡方程.

正解以直線BC為x軸，線段BC的中垂線為y軸建立直角坐標系.

∵|BC|=4，∴B（-2，0），C（2，0），由2sinC=2sinB+sinA，利用正弦定理可得：2|AB|=|BC|+2|AC|，即|AB|-|AC|=12|BC|=2<4，即點A到點B的距離與點A到點C的距離之差是常數2. 由雙曲線定義可知，點A的軌跡是以B，C為焦點的雙曲線的右支（除頂點），其

中2a=2，∴a=1，

圓錐曲線是解析幾何的核心內容，也是高考重點考察內容.在每年的高考中都占有較大的比例，然而其中也有許多知識點容易混淆或用錯，本文將一些常見的錯誤分類展示出來，期望能增強同學們防錯的“免疫力”.

一、套用定義，產生錯解

在歷年高考試題中，圓錐曲線的概念是一個必考點.圓錐曲線的定義、焦點坐標等，這些是要牢記的知識點，不能混淆.

例1已知雙曲線x216-y29=1上的點P到點（5，0）的距離為8.5，則點P到點（-5，0）的距離是.

錯解設雙曲線的兩個焦點分別為F1（-5，0），F2（5，0），由雙曲線的定義知|PF1|-|PF2|=8，所以|PF1|=16.5或|PF1|=0.5.故點P到點（-5，0）的距離為16.5或0.5.

剖析由題意知，雙曲線左支上的點到左焦點的最短距離為1，所以|PF1|=0.5不合題意.事實上，在求解此類問題時，應靈活運用雙曲線的定義，分析出點P的存在情況，然后再求解.本題中，因左支上的點到右焦點的最短距離為9>8.5，故點P只能在右支上，故|PF1|=16.5.

二、 忽視范圍，造成誤解

在解關于圓錐曲線的綜合題時，要考慮圓錐曲線本身的范圍，而在進行純代數運算時常常會忽略它.

例2已知實數x，y滿足x24+y2=1，試求z=（x-1）2+y2的最值.

錯解由x24+y2=1，得y2=1-x24，則有z=（x-1）2+y2=34（x-43）2+23≥23，

所以z的最小值為23，不存在最大值.

剖析圓錐曲線中的橫縱坐標存在其本身固有的范圍，求有關最值時若忽視了這一點，就會出現上述解法中的錯誤，事實上，本題中還應考慮到-2≤x≤2，于是可得z的最大值與最小值分別為9與23.

三、盲目互換，形成疵解

在求圓錐曲線方程時，要注意焦點在x軸還是y軸.

例3若雙曲線的漸近線方程為y=±

12x，焦距為10，則此雙曲線的方程為

.

錯解若雙曲線的焦點在x軸上，可設其標準方程為x2a2-y2b2=1，由a2+b2=（102）2及ba=12可解得a2=20，b2=5，所以此時雙曲線方程為x220-y25=1；若雙曲線的焦點在y軸上，由a2+b2=（102）2及ab=12可解得a2=5，b2=20，得雙曲線的方程為：x25-y220=1.故所求雙曲線方程為x220-y25=1或x25-y220=1.

剖析若雙曲線的焦點在y軸上，則其漸近線方程變為y=±abx（不是y=±bax），故應為ab=12，此時雙曲線標準方程為y2a2-x2b2=1，結合a2+b2=（102）2可解得a2=5，b2=20，從而雙曲線方程為y25-x220=1，故正確答案應為x220-y25=1或y25-x220=1.

其實這兩解互為共軛雙曲線方程.錯解的原因就是不針對具體情況進行認真考慮，而只是盲目地簡單互換.

四、考慮不周，導致漏解

在將方程變形時應注意范圍的變化，這樣才不會出錯.

例4設橢圓的中心是坐標原點，長軸

在x軸上，離心率e=32，已知點P（0，32）到這個橢圓上點的最遠距離是7，求這個橢圓的方程.

錯解依題意可設橢圓方程為：x2a2+y2b2=1（a>b>0）.

由e2=c2a2=a2-b2a2=1-b2a2=34， ∴b2a2=14，即a=2b.

設橢圓上的點（x，y）到點P的距離為d，則

d2=x2+（y-32）2=a2（1-y2b2）+y2-3y+94=-3（y+12）2+4b2+3

當y=-12時，d2有最大值，從而d也有最大值，∴4b2+3=（7）2.解得a2=4，b2=1.

于是，所求橢圓的方程為x24+y2=1.

剖析盡管上面的解法的最后結果是正確的，但這種解法卻是錯誤的，結果正確只是碰巧而已，當y=-12時，d2有最大值，這步推理是錯誤的，沒有考慮y的取值范圍.事實上，由于點（x，y）在橢圓上，∴-b≤y≤b，因此，在求d2的最大值時，應分類討論如下：

若-12<-b<0，即0

當y=-b時，d2取最大值，此時的d是點P（0，32）與橢圓和y軸負半軸交點的距離，由d2=|32+b|=7，得b=-32±7，這與0

若-b≤-12，即b≥12時，當y=-12時，d2取最大值. ∴由4b2+3=7得b2=1，a2=4.于是，所求橢圓的方程為x24+y2=1.

綜上兩種情況，所求橢圓的方程為：x24+y2=1.

五、忽視隱含，引起增解

在解關于圓錐曲線的綜合題或運用圓錐曲線性質時，要注意一些隱藏條件，避免出現增解.

例5 （人教A版（選修2-1）第62頁B組第4題）已知雙曲線x2-y22=1，過點A（1，1）能否作直線l，使l與雙曲線交于P、Q兩點，且點A是線段PQ的中點？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由.

錯解一假設存在直線l，設其方程為y-1=k（x-1），

由y-1=k（x-1）x2-y22=1整理得（2-k2）x2+2k（k-1）x-k2+2k-3=0

設P（x1，y1），Q（x2，y2），則由x1+x2=2k（k-1）k2-2得：k（k-1）k2-2=1，可得k=2.

故直線l存在，其方程為y-1=2（x-1），即2x-y-1=0.

錯解二假設滿足題設的直線l存在，并設P（x1，y1），Q（x2，y2）.

則x21-y212=1x22-y222=1兩式相減得：（x1+x2）（x1-x2）-（y1+y2）（y1-y2）2=0

∵x1+x22=1，y1+y22=1，∴kl=y1-y2x1-x2=2（x1+x2）y1+y2=2.

于是直線l存在，其方程為y-1=2（x-1），即2x-y-1=0.

剖析以上兩種解法出錯的原因都在于忽視了隱含條件“直線l與雙曲線有兩個交點”，故應該還有限制條件： Δ=4k2（k-1）2-4（2-k2）（-k2+2k-3）>0

得k<32，顯然符合題設的直線l不存在.

追本溯源關于中點問題一般可以采用兩種方法解決：（1）聯立方程組，消元，利用根與系數的關系進行設而不解，從而簡化運算解題；（2）利用“點差法”求出與中點、斜率有關的式子，進而求解.不管應用何種方法都必須注意判別式Δ的限制.因為對于圓、橢圓這種封閉的曲線，以其內部一點為中點的弦是存在的，而對于雙曲線，這樣的弦就不一定存在，故求出直線的斜率k值后需用判別式判定此時直線是否與雙曲線有交點.

跟蹤練習

1.在△ABC中，BC=4，2sinC=sinA+2sinB，求頂點A的軌跡方程.

正解以直線BC為x軸，線段BC的中垂線為y軸建立直角坐標系.

∵|BC|=4，∴B（-2，0），C（2，0），由2sinC=2sinB+sinA，利用正弦定理可得：2|AB|=|BC|+2|AC|，即|AB|-|AC|=12|BC|=2<4，即點A到點B的距離與點A到點C的距離之差是常數2. 由雙曲線定義可知，點A的軌跡是以B，C為焦點的雙曲線的右支（除頂點），其

中2a=2，∴a=1，