不同數學水平小學生問題表征的類型及對應用題解決的影響

大連大學 楊閏榮

大連海事大學 鄭琳娜

不同數學水平小學生問題表征的類型及對應用題解決的影響

大連大學 楊閏榮

大連海事大學 鄭琳娜

在小學數學教育實踐中，解決不同類型的應用題是基本教學目標之一，也是進一步發展高級問題解決能力的前提和基礎，因此了解并掌握問題類型對學生選擇表征類型的影響規律，對于提高學生的問題表征能力具有重要意義。

數學問題 小學生 應用題 解決問題

一、問題提出

問題表征是數學應用題解決的初始環節。根據小學數學教材中的典型應用題，可將小學生的問題表征劃分為言語表征和圖形表征兩大類，其中，言語表征包括“關系表征”和“語詞表征”；圖形表征包括“圖式表征”和“圖畫表征”。從表征形態上來講，言語表征與圖形表征是兩種不同的表征形態，前者主要借助于言語表述，即學生能夠用言語表達對問題中各種關系的理解；而后者是基于視——空感知的表征類型，是學生將問題中的數量關系轉化為視覺——空間關系，在頭腦中構建起問題情境及解決問題的算子空間（通過其外顯行為表現出來，如勾勒圖式或進行繪畫等）。從表征類型反映的認知水平高低來看，言語表征中關系表征要高于語詞表征，圖形表征中圖式表征要高于圖畫表征。依據小學數學教材及相關輔導資料中的數學應用題的主導特征，可將應用題分為四種類型：比較問題、比率問題、路程問題和植樹問題，其中比較問題和比率問題的語義特征較為突出，可考察兒童從語義分析中抽取相應數量關系的能力。而路程問題和植樹問題的視—空特征較為明顯，可考察兒童根據視—空想象概括數量關系的能力。

小學生在解決不同類型數學應用題時常常有不同的解題思路，對問題有著不同的表征方式，而行之有效的問題表征方式又與問題的成功解決緊密相關。因而，我們的研究目的是考察5年級不同數學水平的小學生在解決比較問題、比率問題、路程問題和植樹問題時的表征類型差異，以及不同的表征類型對應用題解決的影響。

二、研究方法

1.被試。隨機選取大連市某小學五年級學生60名，其中數優生、中等生、數困生各20人。數優生、中等生和數困生的選擇標準是：連續兩個學期期末數學考試成績在91～100分之間且任課教師一致評定為數學成績優秀的學生為數優生；成績在80～90分之間且任課教師一致評定為數學成績一般的學生為中等生；成績在79分以下且任課教師一致評定為數學成績落后的學生為數困生。

2.實驗材料。參考小學現行數學教材（三年級以上），結合數學教學標準對小學5年級學生數學能力的要求，編制4道不同類型的應用題，即比較問題、比率問題、路程問題和植樹問題作為實驗材料。應用題難度水平較低，難度值分別為比較問題0.74、比率問題0.71、路程問題0.70、植樹問題0.63。在實驗過程中，按照比較問題、植樹問題、行程問題和比率問題的順序依次進行。

三、結果分析

1.不同水平的學生對四類應用題的表征類型的數量比較。將被試在解決比率問題、比較問題、路程問題和植樹問題中使用不同表征類型數量的人數進行比較，結果見表1。

表1 使用不同表征類型數量的人數百分比（%）

從表1可以看出，在解決四類應用題上，被試使用的表征類型數量在不斷變化。進一步分析發現，數優生只采用兩種或三種表征類型解決應用題。中等生選擇的表征類型數量呈分散態式。數困生的表征類型數量則集中于一到兩種。因此，數優生的問題表征方式更多樣。

2.不同水平的學生對四類表征應用頻率的差異比較。將被試在問題解決過程中對四類表征的應用頻率進行比較，結果見表2。

表2 被試對四類表征的應用頻率（%）

實驗結果顯示，數優生對語詞表征和圖畫表征的應用頻率明顯少于關系表征和圖式表征，而中等生對這四種表征方式幾乎沒有差異，數困生卻對語詞表征、圖畫表征的應用頻率高于關系表征和圖式表征。因此，數優生更傾向于選擇高級別的問題表征形式。

四、討論

1.不同數學水平小學生表征類型數量的差異分析

研究結果表明，隨著數學水平的增長，被試掌握的表征類型的數量越多。這是因為，隨著小學生數學知識經驗的豐富以及總體認知水平的提高，小學生的問題表征類型趨向豐富化和深刻化，即小學生問題表征的水平更高。在本研究中，我們采用了四種類型的應用題，也界定了四類問題表征，從表征水平看，與比較問題和比率問題相匹配的言語表征中，語詞表征的水平低，關系表征的水平高；與路程問題和植樹問題相匹配的圖形表征中，圖畫表征的水平低，而關系表征的水平高。隨著數學水平的增高，兒童逐漸放棄水平較低的表征類型，趨向較高水平的表征類型。

2.不同數學水平小學生在四類應用題上對四類表征的應用頻率的差異分析

隨著數學水平的增長，被試對關系表征和圖式表征的應用頻率顯著提高，對語詞表征和圖畫表征的應用頻率顯著降低，這與小學生認知發展的水平是一致的。具體來看，在解決比率問題和比較問題時，被試越來越傾向使用關系表征；在解決路程問題和植樹問題時，被試越來越傾向選擇圖式表征。對解決路程和植樹問題中應用語詞表征和關系表征的被試進行個案分析發現，應用語詞表征的多為數困生，因為他們缺乏其他更有效的表征方式，而應用關系表征的多為數優生，這些數優生能夠從抽象的言語邏輯上建構問題中的數量關系，不需要視—空表象的支持。從小學數學教學的實踐看，在數學應用題教學中，教師向學生傳達的信息是重言語邏輯的推理，而輕視—空模型的建構，即使在視—空特征鮮明的應用題類型中，也強調數學關系式的推導，如在解決“直線種樹問題”上，強調學生識記“總距離與間隔距離之比加1”的關系式，而很少建立視—空模型加以詳細地推理說明，以致學生在解決變式問題時不能舉一反三，如解決“環形種樹問題”時，簡單提取如上的關系式，其實是對原理的錯誤運用，此時應該是“總距離與間隔距離之比減1”。所以，小學生的言語邏輯強于視—空邏輯，需要注意的一點是，圖畫表征嚴格來說不是視—空邏輯表征，它只是對文字內容的形象再現，而不強調結構性關系。小學生只有進入高年級，隨著立體幾何等課程內容的開展，小學生數與形認知能力的發展，其言語邏輯和視—空邏輯的相互轉換的能力才有進一步的提高。

五、結論

數學水平高的小學生問題表征類型更具多樣化。數學水平高的小學生，對語詞表征和圖畫表征的應用頻率顯著降低，對關系表征和圖式表征的應用頻率顯著提高。

[1]曾盼盼，俞國良.小學生視覺-空間表征類型和數學問題解決的研究[J].心理科學，2003

[2]路海東，董 妍.小學生表征數學應用題策略的研究[J].心理發展與教育，2003

ISSN2095-6711/Z01-2015-07-0056