數形結合思想在高中解題過程中的運用

文/童光余

數學家華羅庚說“數與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛。數缺形時少直覺，形少數時難人微。數形結合萬般好，割離分家萬事非。切莫忘幾何代數統一體，永遠聯系，切莫分離!”［1］，這句話恰到好處的闡述了數形結合的內涵， “數”可以把復雜問題簡單化，是一種抽象思維;“形”可以把抽象問題具體化，是一種形象思維。數形結合就是抽象思維和形象思維的結合、相互之間的補充，從而培養解決問題的能力。在解決問題的過程中，要幫助學生習慣于、善于把數與形結合在一起考慮，既注意數的幾何意義，也分析形的數量關系。根據問題的條件，實現數與形的相互利用，相互轉化，從而更好的理解、掌握數形結合思想的實際內涵。

一、“形”化“數”，用代數來解決幾何問題

幾何圖形雖然有形象、直觀的優點，但在定量方面還必須借助代數的計算，用數論形，可以讓學生理解圖形幾何意義下的數量關系。在高中數學立體幾何解題過程中我們運用的向量法就是典型的例子，它通過建立空間直角坐標系把線線垂直和平行轉化為向量垂直和平行的代數表達形式，把線面垂直和平行轉化為線面中向量垂直和平行的代數形式，進而把幾何問題轉化為代數問題。

在三角函數中形化數的思想也有很重的運用，把幾何圖形中有關的邊與角的關系式轉化為二角函數的關系式，再借助于三角函數的有關概念與性質解決問題，如:

二、“數”化“形”，把數賦予幾何直觀

數是比較抽象的，我們難以把握，而形具有形象、直觀的優點，能表達較多的思維。所以利用數形結合思想，把抽象的數轉化為直觀的圖形，化難為易，利用圖形來解決數的問題是一類常用的方法。

我們常用這種思想解決方程根的問題以及比較大小的問題轉化為函數圖像的問題，如:

例四:比較y1= 2x、y2= x3和y3= lnx 當x=0. 5 時的大小

分析:前面兩個的值可以通過計算大概的計算出來，但是第三個無法計算出來，所以不能夠直接的比較第三者與前面這兩個的大小關系。觀察這三個值，會發現它們的形式和高中所學的指數函數、冪函數和對數函數十分相似，可以看成它們分別取0. 5、3 和0. 5 是的函數值，我們可以通過所學知識畫出它們的函數圖像，如圖所示:從函數圖像中很容易判斷當x=0. 5 是三者之間的大小關系，y1＞y2＞y3。

還有平方差公式以及等差數列前n 項和的公式等都可以個圖形結合起來理解，既方便記憶，同時又學習理解了其幾何意義。

“數無形不直觀，形無數難入微”，形結合的基本思想方法，就是在研究問題的過程中，注意把數和形結合起來考察，斟酌問題的具體情形，把圖形的性質問題轉化為數量關系的問題，或者把數量關系的問題轉化為圖形性質的問題，使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，化難為易，獲得簡便易行的成功方案。

［1］錢佩玲，中學數學思想方法［M］. 北京師范大學出版社.2010. 6:123 -141