淺談分類討論思想在數(shù)學解題中的應(yīng)用

文/王芳芳

引言

數(shù)學課程標準明確提出數(shù)學思想方法是數(shù)學基礎(chǔ)知識的重要組成部分，分類討論思想是一種普遍應(yīng)用的數(shù)學思想，應(yīng)用較為廣泛。作為數(shù)學教師，如何發(fā)現(xiàn)并挖掘分類討論思想，并將這一思想傳遞給學生，已經(jīng)成為數(shù)學教師普遍關(guān)注的問題。在新課程中，分類思想在教材中的體現(xiàn)是豐富多彩的，在整個初中、高中階段很多問題都用了分類的思想，將不同的事物分為不同的種類，尋找它們各自的共同點及內(nèi)在的規(guī)律性。

一、分類討論思想概述

1. 分類討論的定義

分類討論思想是指在解決問題時，研究對象存在多種情況，不能一并解決，要求我們搞清研究問題的本質(zhì)，進行適當?shù)臍w類劃分，然后根據(jù)分類情況分別討論研究，最后將各類結(jié)果匯總，得到解決問題的最終結(jié)果。

2. 分類討論的類型

(1)概念型。所研究問題所涉及的數(shù)學概念是分類進行定義的。如| m| 的定義分為m ＞0、m=0、m ＜0 三種情況。(2)條件型。所研究問題涉及到的數(shù)學問題有范圍或者條件約束的。如推導(dǎo)等比數(shù)列的前n 項和的公式，分m=1 和m≠1 兩種情況。(3)含參型。解含參變量的題目時，必須根據(jù)參數(shù)的不同取值范圍分別進行討論。如解不等式mx ＞4 時分m ＞0、m=0 和m ＜0 三種情況討論。

3. 分類討論解題步驟

(1)確定討論對象和確定研究的全域;(2)對研究問題進行分類(分類時注意做到不重和不漏);(3)分類討論:即對各類問題進行討論，然后分類解決;(4)歸納匯總，整理得出結(jié)論。

二、分類討論思想在解題中的應(yīng)用

1. 分類討論思想在集合中的應(yīng)用

例1. 已知集合P= {m2，m+1，-3}，Q= {m-3，2m -1，m2+1}，若P∩Q= {-3}，則m 的值( )

A. 0 B. -1 C. 1 D. 2

解:選B;∵ P∩Q= {-3}，

∴ -3 ∈Q= {m-3，2m-1，m2+1}，

當m-3= -3 時，m=0，P= {0，1，-3}，Q= {-3，-1，1}，則P∩Q= {-3，1}，與題設(shè)矛盾，

當2m-1= -3 時，m= -1，P= {1，0，-3}，Q= {-4，-3，2}，

當m2+1= -3 時，方程無實數(shù)解。

小結(jié):該題考查了集合在運算時的分類討論思想，分類的標準為集合的性質(zhì):確定性、無序性、互異性。

2. 分類討論思想在解不等式中的應(yīng)用

剖析:此題主要考察含參數(shù)不等式的解法，參數(shù)m 決定了2m+1 的正負和兩根-4m、6m 的大小，所以要對參數(shù)m 分四種情況

分以下四種情況討論:

2 時，(x+4m)(x-6m) ＜0，解得:6m ＜x ＜-4m。

綜上得:當m ＞0 時，x ＜-4m 或x ＞6m;當m=0 時，x≠0;當-＜m ＜0 時，x ＜6m 或x ＞-4m;當時，6m ＜x ＜-4m。

小結(jié):做含參變量的題目時，要分清參量和變量，做到合理有效的分類，不重不漏。

3. 分類討論思想在方程和函數(shù)中的應(yīng)用

例3. (2011 天津文16)設(shè)函數(shù). 對任意，恒成立，則實數(shù)的取值范圍是;

【解析】解法1。顯然，由于函數(shù)對是增函數(shù)，則當時，不恒成立，因此。

當時，函數(shù)在是減函數(shù)，因此當時，取得最大值，于是恒成立等價于的最大值，即，解得。所以實數(shù)的取值范圍為。

小結(jié):含有參數(shù)的二次函數(shù)的最值問題是一類常見問題，分類的關(guān)鍵是抓住對稱軸，對其在不同的區(qū)間進行分類討論。

三、小結(jié)

分類討論思想的應(yīng)用非常廣泛，涉及到的知識點較多，這里不能一一列舉出來，分類討論思想的關(guān)鍵是分清引起分類的原因，明確分類討論的事物和標準，按可能出現(xiàn)的所有情況做出準確分類，再分門別類加以求解，最后將各類結(jié)論綜合歸納，得出正確答案。分類討論思想是一類重要的數(shù)學思想，教師一方面引導(dǎo)學生理解其分類精髓，學會運用分類思想解題，另一方面也要不斷培養(yǎng)學生的數(shù)學思維能力，對學生學習其它數(shù)學思想會產(chǎn)生積極作用。

［1］安玉祿，分類討論思想在數(shù)學教學中的應(yīng)用［J］，中學生數(shù)理化，2010 年08 期.

［2］趙慧，分類討論思想在高中數(shù)學教學中的運用［J］，考試周刊，2010 年38 期.

［3］ 楊建平，淺談分類討論思想在中學數(shù)學教學中的應(yīng)用［J］，學周刊，2013 年07 期.

［4］ 葉偉文，例說分類討論思想在高中數(shù)學解題中的應(yīng)用［J］，數(shù)學教學通訊，2010 年27 期.

［5］李克大，分類討論的數(shù)學思想及其應(yīng)用［J］，中學生數(shù)學，2010 年09 期.