例析無棱二面角的常用求法

宋春燕

求二面角的大小是立體幾何的一個重點內容，也是高考的熱點問題.其中二面角的棱在示意圖中未出現，即所謂無棱二面角的情形又為難點.因此掌握無棱二面角大小的常用求法是至關重要的.本文就其常用求法例析如下.

一、隱棱顯化法

把被隱藏的二面角的棱通過相應手段和方法顯現出來，即把無棱二面角問題轉化為有棱二面角問題，再根據二面角的定義，作出二面角的平面角，然后求解.這里關鍵是作棱，有以下幾種基本方法.

1.已知一個公共點，找出另一個公共點作棱法

如果兩個平面α、β有一個公共點，那么只要找到另一個公共點，則這兩個公共點的連線即α、β所成二面角的棱.要注意，另一個公共點一般是分別在α、β的兩條直線上，同時又是第三個平面γ內兩相交直線的交點.此法的實質是拓展平面，故又叫做延展平面法.

圖1

例1已知四棱錐P-ABCD的底為直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥平面ABCD，且PA=AD=DC=1，AB=2，求平面PAD與平面PBC所成銳二面角的一個三角函數值.

分析已知兩平面有一個公共點P，且這兩平面內的AD、BC又在第三個平面ABCD內，而AD、BC必有交點F，則PF即所找的棱.

解如圖1示，延長AD、BC相交于F，連PF，則PF為面PAD與面PBC所成二面角的棱.作AG⊥PF于G，連BG.

∵∠DAB=90°，PA⊥AB，∴AB⊥平面PAD.

∴由三垂線定理，得GB⊥PF.

于是∠BGA就是平面PAD與平面PBC所成銳二面角的平面角.

由2DC=AB，得AF=2，PF=PA2+AF2=12+22=5.

又AG·PF=PA·AFAG=255，

∴在Rt△BAG中，tanAGB=ABAG=

2255=5.

故所求的二面角的正切值是5.

2.平移半平面作棱法

把無棱二面角的一個半平面平移，使其與另一個半平面有兩個明顯的公共點，連這兩個公共點得棱.于是把所求的無棱二面角轉化為與之相等的新的有棱二面角.

例2如圖2（1），在正三棱柱ABC-A1B1C1中，E∈BB1，截面A1EC⊥側面AC1，若AA1=A1B1，求面A1EC與面A1B1C1所成二面角的大小.

圖2

分析取棱C1C的中點為K，若E為棱B1B中點（需證明），作EG⊥A1C于G，即可將平面A1B1C1平移至平面GEK，將所求的二面角轉化為求二面角C-GE-K的大小.

解如圖2（2），作EG⊥A1C于G，因為A1EC⊥面AC1，故EG⊥面AC1.而面ABC⊥面AC1，取AC中點F，連BF，則BF⊥AC，于是BF⊥面AC1，∴EG∥BF，從而B、E、G、F四點共面.

連FG，由BE∥側面AC1知BE∥GF，所以BEGF是平行四邊形，

∴BE=GF=12AA1=12BB1，即E為棱BB1的中點.

取棱CC1的中點K，連EK，GK，易知EK∥面A1B1C1，GK∥面A1B1C1，所以面GEK∥面A1B1C1.

∴二面角C-GE-K的大小等于面A1EC與面A1B1C1所成二面角的大小.

易知∠CGK即為二面角C-GE-K的平面角，

∴∠CGK=45°，即所求.

評注本題也可采用例1的方法分別延長CE、C1B1得交點D，則A1D為二面角的棱，但仍然要確定E為棱BB1的中點.

3.補形作棱法

把一個不容易找到所求二面角的棱的幾何體，補成一個容易找到這兩個面交線為棱的一個新幾何體.

圖3

例3如圖3，四棱錐S-ABCD的底面是邊長為1的正方形，SD⊥底面ABCD，SB=3.

求二面角的大小是立體幾何的一個重點內容，也是高考的熱點問題.其中二面角的棱在示意圖中未出現，即所謂無棱二面角的情形又為難點.因此掌握無棱二面角大小的常用求法是至關重要的.本文就其常用求法例析如下.

一、隱棱顯化法

把被隱藏的二面角的棱通過相應手段和方法顯現出來，即把無棱二面角問題轉化為有棱二面角問題，再根據二面角的定義，作出二面角的平面角，然后求解.這里關鍵是作棱，有以下幾種基本方法.

1.已知一個公共點，找出另一個公共點作棱法

如果兩個平面α、β有一個公共點，那么只要找到另一個公共點，則這兩個公共點的連線即α、β所成二面角的棱.要注意，另一個公共點一般是分別在α、β的兩條直線上，同時又是第三個平面γ內兩相交直線的交點.此法的實質是拓展平面，故又叫做延展平面法.

圖1

例1已知四棱錐P-ABCD的底為直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥平面ABCD，且PA=AD=DC=1，AB=2，求平面PAD與平面PBC所成銳二面角的一個三角函數值.

分析已知兩平面有一個公共點P，且這兩平面內的AD、BC又在第三個平面ABCD內，而AD、BC必有交點F，則PF即所找的棱.

解如圖1示，延長AD、BC相交于F，連PF，則PF為面PAD與面PBC所成二面角的棱.作AG⊥PF于G，連BG.

∵∠DAB=90°，PA⊥AB，∴AB⊥平面PAD.

∴由三垂線定理，得GB⊥PF.

于是∠BGA就是平面PAD與平面PBC所成銳二面角的平面角.

由2DC=AB，得AF=2，PF=PA2+AF2=12+22=5.

又AG·PF=PA·AFAG=255，

∴在Rt△BAG中，tanAGB=ABAG=

2255=5.

故所求的二面角的正切值是5.

2.平移半平面作棱法

把無棱二面角的一個半平面平移，使其與另一個半平面有兩個明顯的公共點，連這兩個公共點得棱.于是把所求的無棱二面角轉化為與之相等的新的有棱二面角.

例2如圖2（1），在正三棱柱ABC-A1B1C1中，E∈BB1，截面A1EC⊥側面AC1，若AA1=A1B1，求面A1EC與面A1B1C1所成二面角的大小.

圖2

分析取棱C1C的中點為K，若E為棱B1B中點（需證明），作EG⊥A1C于G，即可將平面A1B1C1平移至平面GEK，將所求的二面角轉化為求二面角C-GE-K的大小.

解如圖2（2），作EG⊥A1C于G，因為A1EC⊥面AC1，故EG⊥面AC1.而面ABC⊥面AC1，取AC中點F，連BF，則BF⊥AC，于是BF⊥面AC1，∴EG∥BF，從而B、E、G、F四點共面.

連FG，由BE∥側面AC1知BE∥GF，所以BEGF是平行四邊形，

∴BE=GF=12AA1=12BB1，即E為棱BB1的中點.

取棱CC1的中點K，連EK，GK，易知EK∥面A1B1C1，GK∥面A1B1C1，所以面GEK∥面A1B1C1.

∴二面角C-GE-K的大小等于面A1EC與面A1B1C1所成二面角的大小.

易知∠CGK即為二面角C-GE-K的平面角，

∴∠CGK=45°，即所求.

評注本題也可采用例1的方法分別延長CE、C1B1得交點D，則A1D為二面角的棱，但仍然要確定E為棱BB1的中點.

3.補形作棱法

把一個不容易找到所求二面角的棱的幾何體，補成一個容易找到這兩個面交線為棱的一個新幾何體.

圖3

例3如圖3，四棱錐S-ABCD的底面是邊長為1的正方形，SD⊥底面ABCD，SB=3.

求二面角的大小是立體幾何的一個重點內容，也是高考的熱點問題.其中二面角的棱在示意圖中未出現，即所謂無棱二面角的情形又為難點.因此掌握無棱二面角大小的常用求法是至關重要的.本文就其常用求法例析如下.

一、隱棱顯化法

把被隱藏的二面角的棱通過相應手段和方法顯現出來，即把無棱二面角問題轉化為有棱二面角問題，再根據二面角的定義，作出二面角的平面角，然后求解.這里關鍵是作棱，有以下幾種基本方法.

1.已知一個公共點，找出另一個公共點作棱法

如果兩個平面α、β有一個公共點，那么只要找到另一個公共點，則這兩個公共點的連線即α、β所成二面角的棱.要注意，另一個公共點一般是分別在α、β的兩條直線上，同時又是第三個平面γ內兩相交直線的交點.此法的實質是拓展平面，故又叫做延展平面法.

圖1

例1已知四棱錐P-ABCD的底為直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥平面ABCD，且PA=AD=DC=1，AB=2，求平面PAD與平面PBC所成銳二面角的一個三角函數值.

分析已知兩平面有一個公共點P，且這兩平面內的AD、BC又在第三個平面ABCD內，而AD、BC必有交點F，則PF即所找的棱.

解如圖1示，延長AD、BC相交于F，連PF，則PF為面PAD與面PBC所成二面角的棱.作AG⊥PF于G，連BG.

∵∠DAB=90°，PA⊥AB，∴AB⊥平面PAD.

∴由三垂線定理，得GB⊥PF.

于是∠BGA就是平面PAD與平面PBC所成銳二面角的平面角.

由2DC=AB，得AF=2，PF=PA2+AF2=12+22=5.

又AG·PF=PA·AFAG=255，

∴在Rt△BAG中，tanAGB=ABAG=

2255=5.

故所求的二面角的正切值是5.

2.平移半平面作棱法

把無棱二面角的一個半平面平移，使其與另一個半平面有兩個明顯的公共點，連這兩個公共點得棱.于是把所求的無棱二面角轉化為與之相等的新的有棱二面角.

例2如圖2（1），在正三棱柱ABC-A1B1C1中，E∈BB1，截面A1EC⊥側面AC1，若AA1=A1B1，求面A1EC與面A1B1C1所成二面角的大小.

圖2

分析取棱C1C的中點為K，若E為棱B1B中點（需證明），作EG⊥A1C于G，即可將平面A1B1C1平移至平面GEK，將所求的二面角轉化為求二面角C-GE-K的大小.

解如圖2（2），作EG⊥A1C于G，因為A1EC⊥面AC1，故EG⊥面AC1.而面ABC⊥面AC1，取AC中點F，連BF，則BF⊥AC，于是BF⊥面AC1，∴EG∥BF，從而B、E、G、F四點共面.

連FG，由BE∥側面AC1知BE∥GF，所以BEGF是平行四邊形，

∴BE=GF=12AA1=12BB1，即E為棱BB1的中點.

取棱CC1的中點K，連EK，GK，易知EK∥面A1B1C1，GK∥面A1B1C1，所以面GEK∥面A1B1C1.

∴二面角C-GE-K的大小等于面A1EC與面A1B1C1所成二面角的大小.

易知∠CGK即為二面角C-GE-K的平面角，

∴∠CGK=45°，即所求.

評注本題也可采用例1的方法分別延長CE、C1B1得交點D，則A1D為二面角的棱，但仍然要確定E為棱BB1的中點.

3.補形作棱法

把一個不容易找到所求二面角的棱的幾何體，補成一個容易找到這兩個面交線為棱的一個新幾何體.

圖3

例3如圖3，四棱錐S-ABCD的底面是邊長為1的正方形，SD⊥底面ABCD，SB=3.