平面向量問題的破解之道

朱賢良

平面向量融數、形于一體，在知識的呈現上，既有代數形式的向量加法、減法、數乘運算以及數量積運算，又有向量加法、減法、數乘運算的幾何意義和數量積的坐標運算，表現出形式多樣，方法靈活，給高考提供了多渠道的命題視角，成為近十年來每年高考必考的一個熱點問題，并在考查力度上有日漸加強、加深、加活之態勢.在求解平面向量試題時，要緊抓向量“數”與“形”的特征，讓向量不再難.

策略一巧選基底，化繁為簡

根據平面向量基本定理，平面內的任一向量p都可以用兩個不共線的向量a、b唯一地線性表示為p=xa+yb（x，y∈R）.一般地，選取基底時，首選已知模和夾角的一對向量，實在不行，至少也要是已知夾角的一對向量（至于坐標法，本質上就是找到一對夾角為直角的向量為基底的基底法）.找到基底后，把要求的向量用基底線性表示即可.

例1（蘇北四市2014屆高三第一次質量檢測·13）在平面四邊形ABCD中，已知AB=3，DC=2，點E，F分別在邊AD，BC上，且AD=3AE，BC=3BF.若向量AB與DC的夾角為60°，則AB·EF的值為 .

解析本題中AB與DC的模與夾角都已知，故可選為基底，關鍵是將EF表示出來.

圖1

如圖1，EF=EA+AB+BF=-13AD+AB+13BC=-13（AB+BD）+AB+13BC=23AB+13DC，故AB·EF=AB·（23AB+13DC）=23AB2+13AB·DC=7.

評注選取AB與DC作為基底，充分體現了轉化與化歸的數學思想，化“未知向量”為“已知向量”，從而使問題的求解思路清晰、明確.

策略二妙構圖形，彰顯“形”之直觀

在進行平面向量運算時，也可以嘗試直接構造圖形，化難為易，求解直觀簡潔.

例2（2008年高考浙江卷·理9）已知a，b是

平面向量融數、形于一體，在知識的呈現上，既有代數形式的向量加法、減法、數乘運算以及數量積運算，又有向量加法、減法、數乘運算的幾何意義和數量積的坐標運算，表現出形式多樣，方法靈活，給高考提供了多渠道的命題視角，成為近十年來每年高考必考的一個熱點問題，并在考查力度上有日漸加強、加深、加活之態勢.在求解平面向量試題時，要緊抓向量“數”與“形”的特征，讓向量不再難.

策略一巧選基底，化繁為簡

根據平面向量基本定理，平面內的任一向量p都可以用兩個不共線的向量a、b唯一地線性表示為p=xa+yb（x，y∈R）.一般地，選取基底時，首選已知模和夾角的一對向量，實在不行，至少也要是已知夾角的一對向量（至于坐標法，本質上就是找到一對夾角為直角的向量為基底的基底法）.找到基底后，把要求的向量用基底線性表示即可.

例1（蘇北四市2014屆高三第一次質量檢測·13）在平面四邊形ABCD中，已知AB=3，DC=2，點E，F分別在邊AD，BC上，且AD=3AE，BC=3BF.若向量AB與DC的夾角為60°，則AB·EF的值為 .

解析本題中AB與DC的模與夾角都已知，故可選為基底，關鍵是將EF表示出來.

圖1

如圖1，EF=EA+AB+BF=-13AD+AB+13BC=-13（AB+BD）+AB+13BC=23AB+13DC，故AB·EF=AB·（23AB+13DC）=23AB2+13AB·DC=7.

評注選取AB與DC作為基底，充分體現了轉化與化歸的數學思想，化“未知向量”為“已知向量”，從而使問題的求解思路清晰、明確.

策略二妙構圖形，彰顯“形”之直觀

在進行平面向量運算時，也可以嘗試直接構造圖形，化難為易，求解直觀簡潔.

例2（2008年高考浙江卷·理9）已知a，b是

平面向量融數、形于一體，在知識的呈現上，既有代數形式的向量加法、減法、數乘運算以及數量積運算，又有向量加法、減法、數乘運算的幾何意義和數量積的坐標運算，表現出形式多樣，方法靈活，給高考提供了多渠道的命題視角，成為近十年來每年高考必考的一個熱點問題，并在考查力度上有日漸加強、加深、加活之態勢.在求解平面向量試題時，要緊抓向量“數”與“形”的特征，讓向量不再難.

策略一巧選基底，化繁為簡

根據平面向量基本定理，平面內的任一向量p都可以用兩個不共線的向量a、b唯一地線性表示為p=xa+yb（x，y∈R）.一般地，選取基底時，首選已知模和夾角的一對向量，實在不行，至少也要是已知夾角的一對向量（至于坐標法，本質上就是找到一對夾角為直角的向量為基底的基底法）.找到基底后，把要求的向量用基底線性表示即可.

例1（蘇北四市2014屆高三第一次質量檢測·13）在平面四邊形ABCD中，已知AB=3，DC=2，點E，F分別在邊AD，BC上，且AD=3AE，BC=3BF.若向量AB與DC的夾角為60°，則AB·EF的值為 .

解析本題中AB與DC的模與夾角都已知，故可選為基底，關鍵是將EF表示出來.

圖1

如圖1，EF=EA+AB+BF=-13AD+AB+13BC=-13（AB+BD）+AB+13BC=23AB+13DC，故AB·EF=AB·（23AB+13DC）=23AB2+13AB·DC=7.

評注選取AB與DC作為基底，充分體現了轉化與化歸的數學思想，化“未知向量”為“已知向量”，從而使問題的求解思路清晰、明確.

策略二妙構圖形，彰顯“形”之直觀

在進行平面向量運算時，也可以嘗試直接構造圖形，化難為易，求解直觀簡潔.

例2（2008年高考浙江卷·理9）已知a，b是