構造輔助函數法在中學數學中的應用

吳維群

輔助函數，是人們在數學研究和教學的活動中，為了便于解決所探討的問題，將已掌握的函數經過有限次的四則運算及復合，構造一個新的函數關系.這個新構造出來的函數必須存在于已知的知識體系中，且與所討論的問題緊密相關又易于研究，以達到轉化“矛盾”，進而解決矛盾的目的.在中學數學中構造輔助函數法主要用來證明不等式.

利用函數單調性證明不等式常用的是構造輔助函數的方法.構造輔助函數的方法靈活多變，不同的知識段有著不同的技巧和方法，用函數單調性證明不等式常用以下幾種方法.1.用不等式兩邊“求差”構造輔助函數

例1證明當x>1時，2x>3-1x.

分析利用“求差”法構造輔助函數f（x）=

2x-（3-1x），x>1.則將要證明的結論轉化為要證f（x）>0，而f（1）=0.因而只需證明當x>1時，f（x）>f（1）.

證明令f（x）=2x-（3-1x），則f ′（x）=1x-1x2=1x2（xx-1）>0.所以當x>1時，f（x）>f（1），又由于f（1）=0，所以f（x）>f（1）=0，即2x-（3-1x）>0.

故2x>3-1x（x>1）.

2.用不等式兩邊適當“求商”構造輔助函數

例2當02πx.

分析如果用“求差”構造輔助函數f（x）=2πx-sinx， f ′（x）=2π-cosx，在區間（0，π2）內f（x）的單調性無法判斷.利用“求商”構造輔助函數f（x）=sinxx，再根據f（x）在區間（0，π2）的單調性來證明.

證明令f（x）=sinxx，則f ′（x）=cosx（x-tanx）x2（0f（π2）.即sinxx>2π，故sinx>2πx，（0

3.用參數變易法構造輔助函數解題

取一個端點為自變量構造函數，含雙字母的不等式，可以考慮以其中一個字母為自變量，另外一個為常數來構造相應函數.

例3已知g（x）=xlnx，0

分析本題是在一個區間上證明不等式，而不等式涉及的變量就是區間的兩個端點，因此設輔助函數時把其中的一個端點設為自變量.

證明設F（x）=g（a）+g（x）-2g（a+x2），則

F′（x）=g′（x）-2g′（a+x2）=lnx-lna+x2，

當x=a時F′（x）=0，F（x）取得極小值F（a），所以F（b）>F（a），即0

設G（x）=F（x）-（x-a）ln2，則G′（x）=lnx-ln（a+x），當x>0時，G′（x）<0，G（x）是減函數.G（b）

4.根據不等式兩邊結構，構造“形似”輔助函數.

例4求證|a+b|1+|a+b|≤|a|1+|a|+|b|1+|b|.

分析不等式兩邊有相同的形式A1+A，利用“形似”將某個字母換成x，構造輔助函數f（x）=x1+x（x≥0），再利用函數的單調性證明不等式.

證明令f（x）=x1+x（x≥0），顯然f（x）在[0，+∞）上連續且可導，因為f ′（x）=1（1+x）2>0，所以f（x）在[0，+∞）上嚴格單調遞增.由于0≤|a+b|≤|a|+|b|，所以f（|a+b|）≤f（|a|+|b|），故|a+b|1+|a+b|≤|a|+|b|1+|a|+|b|

輔助函數，是人們在數學研究和教學的活動中，為了便于解決所探討的問題，將已掌握的函數經過有限次的四則運算及復合，構造一個新的函數關系.這個新構造出來的函數必須存在于已知的知識體系中，且與所討論的問題緊密相關又易于研究，以達到轉化“矛盾”，進而解決矛盾的目的.在中學數學中構造輔助函數法主要用來證明不等式.

利用函數單調性證明不等式常用的是構造輔助函數的方法.構造輔助函數的方法靈活多變，不同的知識段有著不同的技巧和方法，用函數單調性證明不等式常用以下幾種方法.1.用不等式兩邊“求差”構造輔助函數

例1證明當x>1時，2x>3-1x.

分析利用“求差”法構造輔助函數f（x）=

2x-（3-1x），x>1.則將要證明的結論轉化為要證f（x）>0，而f（1）=0.因而只需證明當x>1時，f（x）>f（1）.

證明令f（x）=2x-（3-1x），則f ′（x）=1x-1x2=1x2（xx-1）>0.所以當x>1時，f（x）>f（1），又由于f（1）=0，所以f（x）>f（1）=0，即2x-（3-1x）>0.

故2x>3-1x（x>1）.

2.用不等式兩邊適當“求商”構造輔助函數

例2當02πx.

分析如果用“求差”構造輔助函數f（x）=2πx-sinx， f ′（x）=2π-cosx，在區間（0，π2）內f（x）的單調性無法判斷.利用“求商”構造輔助函數f（x）=sinxx，再根據f（x）在區間（0，π2）的單調性來證明.

證明令f（x）=sinxx，則f ′（x）=cosx（x-tanx）x2（0f（π2）.即sinxx>2π，故sinx>2πx，（0

3.用參數變易法構造輔助函數解題

取一個端點為自變量構造函數，含雙字母的不等式，可以考慮以其中一個字母為自變量，另外一個為常數來構造相應函數.

例3已知g（x）=xlnx，0

分析本題是在一個區間上證明不等式，而不等式涉及的變量就是區間的兩個端點，因此設輔助函數時把其中的一個端點設為自變量.

證明設F（x）=g（a）+g（x）-2g（a+x2），則

F′（x）=g′（x）-2g′（a+x2）=lnx-lna+x2，

當x=a時F′（x）=0，F（x）取得極小值F（a），所以F（b）>F（a），即0

設G（x）=F（x）-（x-a）ln2，則G′（x）=lnx-ln（a+x），當x>0時，G′（x）<0，G（x）是減函數.G（b）

4.根據不等式兩邊結構，構造“形似”輔助函數.

例4求證|a+b|1+|a+b|≤|a|1+|a|+|b|1+|b|.

分析不等式兩邊有相同的形式A1+A，利用“形似”將某個字母換成x，構造輔助函數f（x）=x1+x（x≥0），再利用函數的單調性證明不等式.

證明令f（x）=x1+x（x≥0），顯然f（x）在[0，+∞）上連續且可導，因為f ′（x）=1（1+x）2>0，所以f（x）在[0，+∞）上嚴格單調遞增.由于0≤|a+b|≤|a|+|b|，所以f（|a+b|）≤f（|a|+|b|），故|a+b|1+|a+b|≤|a|+|b|1+|a|+|b|

輔助函數，是人們在數學研究和教學的活動中，為了便于解決所探討的問題，將已掌握的函數經過有限次的四則運算及復合，構造一個新的函數關系.這個新構造出來的函數必須存在于已知的知識體系中，且與所討論的問題緊密相關又易于研究，以達到轉化“矛盾”，進而解決矛盾的目的.在中學數學中構造輔助函數法主要用來證明不等式.

利用函數單調性證明不等式常用的是構造輔助函數的方法.構造輔助函數的方法靈活多變，不同的知識段有著不同的技巧和方法，用函數單調性證明不等式常用以下幾種方法.1.用不等式兩邊“求差”構造輔助函數

例1證明當x>1時，2x>3-1x.

分析利用“求差”法構造輔助函數f（x）=

2x-（3-1x），x>1.則將要證明的結論轉化為要證f（x）>0，而f（1）=0.因而只需證明當x>1時，f（x）>f（1）.

證明令f（x）=2x-（3-1x），則f ′（x）=1x-1x2=1x2（xx-1）>0.所以當x>1時，f（x）>f（1），又由于f（1）=0，所以f（x）>f（1）=0，即2x-（3-1x）>0.

故2x>3-1x（x>1）.

2.用不等式兩邊適當“求商”構造輔助函數

例2當02πx.

分析如果用“求差”構造輔助函數f（x）=2πx-sinx， f ′（x）=2π-cosx，在區間（0，π2）內f（x）的單調性無法判斷.利用“求商”構造輔助函數f（x）=sinxx，再根據f（x）在區間（0，π2）的單調性來證明.

證明令f（x）=sinxx，則f ′（x）=cosx（x-tanx）x2（0f（π2）.即sinxx>2π，故sinx>2πx，（0

3.用參數變易法構造輔助函數解題

取一個端點為自變量構造函數，含雙字母的不等式，可以考慮以其中一個字母為自變量，另外一個為常數來構造相應函數.

例3已知g（x）=xlnx，0

分析本題是在一個區間上證明不等式，而不等式涉及的變量就是區間的兩個端點，因此設輔助函數時把其中的一個端點設為自變量.

證明設F（x）=g（a）+g（x）-2g（a+x2），則

F′（x）=g′（x）-2g′（a+x2）=lnx-lna+x2，

當x=a時F′（x）=0，F（x）取得極小值F（a），所以F（b）>F（a），即0

設G（x）=F（x）-（x-a）ln2，則G′（x）=lnx-ln（a+x），當x>0時，G′（x）<0，G（x）是減函數.G（b）

4.根據不等式兩邊結構，構造“形似”輔助函數.

例4求證|a+b|1+|a+b|≤|a|1+|a|+|b|1+|b|.

分析不等式兩邊有相同的形式A1+A，利用“形似”將某個字母換成x，構造輔助函數f（x）=x1+x（x≥0），再利用函數的單調性證明不等式.

證明令f（x）=x1+x（x≥0），顯然f（x）在[0，+∞）上連續且可導，因為f ′（x）=1（1+x）2>0，所以f（x）在[0，+∞）上嚴格單調遞增.由于0≤|a+b|≤|a|+|b|，所以f（|a+b|）≤f（|a|+|b|），故|a+b|1+|a+b|≤|a|+|b|1+|a|+|b|