畫畫數數解難題，思維升華展奇跡

劉慧+劉孫淵

教學內容：雞兔同籠

教學對象：小學二年級學生

教學目標：

知識與技能：了解“雞兔同籠”問題，掌握畫畫數數的解法及其升華——假設法，并能用來解決生活中簡單的該類問題。

過程與方法：掌握將畫畫數數解法抽象升華到假設法的過程，培養初步的抽象邏輯思維能力、符號和數學建模意識，滲透對應思想、優化思想。

情感與價值：獲得解決問題的成功體驗，提高學習數學的興趣和自信心；了解有關的數學史，增強民族自豪感；體會“雞兔同籠”問題的應用價值。

教學重點與難點：將畫畫數數的解題方法抽象升華為假設法及模型的過程。

教學準備：多媒體課件、白紙等

教學過程：

一、觀察提煉，做好鋪墊

師：同學們，你們喜歡小雞和小兔嗎？

生：喜歡。

師（放錄像）：我們先放一段有小雞和小兔的錄像，同學們觀察一下一只雞和一只兔子各有幾個頭、幾個身子、幾條腿，一樣多嗎？

生1：一只雞有一個頭，一個身子，兩條腿；一只兔有一個頭，一個身子，四條腿；一只兔比一只雞多兩條腿。

師：很好！可雞和兔子的腿長在哪里呢？

生1：長在身子上。

師：雞和兔的身子都像什么圖形？

生1：扁圓形。

師：同學們觀察得很仔細。雞和兔的身子有相似性，都接近于扁圓（橢圓）形，也就是這種 形狀。

【評析：引導學生對雞兔的頭、身子、腿的數量及對應關系進行觀察，提煉出身子的形狀，為后面畫身子、畫腿做了鋪墊。這有別于大多數教學設計“用圓或橢圓表示頭，在頭上畫腿”的不合情理的教學設計。】

二、創設情境，導入新課

師（課件展示）：一天傍晚，小明去王阿姨家串門，發現阿姨把養的雞和兔關進了一個籠子里。他就問：“為啥關在一個籠子里？”阿姨說：“家里只有這一個籠子，晚上把它們關在一個籠子里睡覺好管理。”小明又問：“您養了多少只雞，多少只兔？”阿姨說：“籠子里的雞和兔共有8個頭，20條腿，你就自己算算吧。”“啊！這也需要數學？”

師：是啊！生活中到處都要用到數學。為了方便，我們先結合這個問題產生的背景給它起個名字，然后幫幫小明吧。

生2：叫“籠子里的雞兔問題”。

生3：名字太長，也沒說明是同一個籠子。叫“雞兔同籠”吧。

師：同學們真善于動腦筋。我國古代的勞動人民早就給它起了“雞兔同籠”問題這個名字，既簡短，又能反映其產生的背景。這節課，我們就來探討這個問題。（板書課題：雞兔同籠問題）

【評析：教者從創設生活情景入手，既體現了數學與生活的密切聯系，又使問題的引出水到渠成。】

三、誘導啟發，主動探索

師：同學們都喜歡畫畫，看看能不能用畫畫數數的辦法來解決這個問題呢？當然，沒有必要像美術課那樣去畫，只要簡單地畫出來，能體現題目中雞和兔子的有關數量關系就行。可不知道各有幾只，畫多少個雞頭、兔頭好呢？頭的差異又比較大，難畫，畫錯了改的時候也麻煩。怎么畫好呢？

生4：一個頭對應一個身子，身子都是扁圓形，先畫身子，再畫腿，確定了雞和兔后再畫頭。

師：同學們真善于動腦筋。那就用 表示身子，用一道豎杠“|”表示一條腿試試吧。少畫了補上好辦，多畫了擦掉麻煩，不多畫當然最好。

（教師巡視，以便選擇不同畫法的學生回答）

師：我看到同學們都畫完了，也都畫對了，而且畫法好多啊！有的先全畫成雞；有的先全畫成兔；有的先畫2只雞，再畫6只兔；有的先畫5只雞，再畫3只兔；有的先畫4只雞，再畫4只兔；有的按一只雞一只兔的順序畫；有的按兩只雞兩只兔的順序畫；等等。結果都是——

生（齊答）：6只雞，2只兔。

師：由于時間關系，老師下面請三位同學把畫的過程說出來。

生5：我先畫了8個身子，再在身子下畫腿。考慮到多畫了還得擦掉，就把它們當雞來畫，在每個身子下畫2條腿，數一數畫了16條腿，比實際的20條腿少4條腿，需添上4條腿。一只兔比一只雞多兩條腿，畫的每只雞上添2條腿就改成兔，4條腿添到了兩只雞上，所以兔有2只，雞有6只。

師：這個同學很善于動腦，思路很清晰，表述得也很好。

生6：我也先畫了8個身子，再在身子下畫腿。我估計雞應該多，就先在5個身子下畫2條腿當雞，在3個身子下畫4條腿當兔，數一數畫了22條腿，比20條腿多2條腿，就把畫4條腿的一個身子擦掉了2條腿改成雞，所以兔2只，雞6只。

師：這個同學首先進行了估計，思路也很清晰，值得我們學習。

生7：我也先畫了8個身子，再在身子下畫腿。我喜歡兔，就先在每個身子下畫4條腿當兔，數一數畫了32條腿，比20條腿多12條腿，就每個擦去2條腿改成雞，擦到第6個時就一共擦去了12條腿，所以6只雞，2只兔。可惜我喜歡的兔太少了。

師：這個同學從喜歡的角度出發開始畫，思路也很清晰，表述也很好。老師也給出了多種畫法，就包含這三位同學的畫法。同學們比較一下這三種畫法，哪種最簡單呢？（展示課件，讓學生瀏覽）

生8：第一種畫法簡單，沒多畫腿，省了擦的工夫。

師：以后我們解題時，既要善于探討不同的方法，又要比較哪個方法更好，爭取掌握最好的方法。

【評析：不同畫法的展示及優劣比較，既培養了學生的發散思維能力，又滲透了數學優化思想。尤其是讓學生把畫的過程用語言表述出來，實際上是解決問題思維過程的展現，有利于學生思維的清晰化、條理化、系統化，以及方法的內化和語言表達能力的培養。】

四、抽象提煉，思維升華

師：既然大家都認為第一種畫法簡單，我們一起把這種畫畫數數的過程邊說邊用算式來表示一下。endprint

師（課件展示過程）：把8個身子當雞來畫，在每個身子下畫2條腿，數一數畫了16條腿，可以列成——

生9：2×8=16（條）腿。

師：比實際的20條腿少4條腿，可以列成——

生10：20-16=4（條）腿。

師：一只兔比一只雞多兩條腿，可以列成——

生11：4-2=2（條）腿。

師：畫的每只雞上添2條腿就改成兔，4條腿添到了2只雞上，所以兔有2只，雞有6只。可以列成——

生12：4÷2=2（只）兔，8-2=6（只）雞。

師：同學們真棒！寫出畫的過程太麻煩，我們把能用式子表示的語言替換下來，寫成下面的解法。

解：全當做雞，有2×8=16（條）腿，比實際少20-16=4（條）腿。一只兔比一只雞多4-2=2（條）腿，兔有4÷2=2（只），雞有8-2=6（只）。

答：有6只雞，2只兔。

師：同學們看，簡單吧？

生：簡單。

師：以后我們再解這類問題就沒有必要真的去畫，只要在自己大腦里展現畫的過程，邊說邊寫就行了。

【評析：首先，教者不厭其煩地引導學生從畫法中提煉、抽象算式的做法有著重要的意義。這種把漢語語言轉化為數學語言過程的展現，有利于學生掌握轉化的方法，為升入高年級解數學應用題奠定了基礎。因為，解應用題的實質就是實現這兩種語言的轉化。同時，也有利于學生的認知由具體運算階段向形式運算階段過渡，由具體形象思維向抽象邏輯思維發展。

其次，教者在畫畫數數方法的基礎上進行提煉、升華，呈現出了用假設法解決雞兔同籠問題的解題過程。這一渾然天成的處理方式，既抓住了兩種方法之間的聯系，又展現了假設法的實質就是畫畫數數解決問題的這一學前兒童都能掌握的方法，實現了兩種方法的統一，有利于學生掌握。另外，假設法出而不點的處理方法還是很有新意的，既避免了不同方法的羅列，又避免了學生產生新的疑惑。】

師：同學們能仿照著老師寫解法的過程，把第二和第三種畫畫數數的過程，邊說邊寫嗎？（課件展示畫法及畫圖過程）

（教師巡視指導，讓兩個學生板演）

生13：寫第二種。

解：5只當做雞，3只當做兔，共有2×5+4×3=22（條）腿，比實際多22-20=2（條）腿。一只兔比一只雞多4-2=2（條）腿，所以多了2÷2=1（只）兔，兔有3-1=2（只），雞有8-2=6（只）。

答：有6只雞，2只兔。

生14：寫第三種。

解：全當做兔，有4×8=32（條）腿，比實際多32-20=12（條）腿。一只兔比一只雞多4-2=2（條）腿，雞有12÷2=6（只），兔有8-6=2（只）。

答：有6只雞，2只兔。

師：同學們都寫得很好（課件展示這兩個解法）。大家都掌握這個問題的解法了嗎？

生（齊聲答）：掌握了。

【評析：教者首先示范，再讓學生去抽象、提煉解法，既發揮了低年級學生模仿性強的優勢，又可促進學生抽象邏輯思維的發展。尤其是三種不同假設法的展現，打破了大多數書籍、教學論文中只假設全是雞或全是兔的做法。事實上，若雞和兔共有n個頭，可以假設有m（0≤m≤n）只雞（兔）來解答。】

五、鞏固拓展，建立模型

師：前面說過，我國古代的勞動人民早就提出了雞兔同籠問題。大約在1500年前，數學著作《孫子算經》中就有一個這樣的問題。（課件展示）“今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？”

師：雉就是雞，足就是腳，幾何是指多少。用現代話來說是“現在有若干只雞和兔在一個籠子里，從上面數，有35個頭；從下面數，有94只腳，問雞兔各有幾只？”

師：同學們幫古人解決這個問題好嗎？要邊在大腦里畫，邊說邊寫解法。

（學生獨立練習，小組交流自己的解法）

師：《孫子算經》中的“雞兔同籠”問題還漂洋過海傳到了世界上很多國家，如日本、俄羅斯等。人們又仿照它編出了“龜鶴問題”、“人狗問題”等，這說明了它具有重要的價值。其實，“雞兔同籠”問題不是一個題，而是一類問題，畫畫數數的解題過程可作為一個模型用來解決很多類似的問題。

師（課件展示）：這個問題就屬于“雞兔同籠”類問題。老師買了兩種不同的圓珠筆共16支，一種每支3元，另一種每支5元，共花了62元。問兩種圓珠筆各買了多少支？

生15：這里沒有雞和兔啊？

師：不要緊啊，我們可以把每支3元的圓珠筆當成“1個頭，3條腿”的“怪雞”，把每支5元的圓珠筆當成“1個頭，5條腿”的“怪兔”。這樣，16支變成了什么？62元變成了什么？

生16：16支變成了16個頭，62元變成了62條腿。真有意思！

師：那就在大腦里想象畫畫數數的過程，邊說邊寫，把解法寫出來吧。可要靈活啊！

生17：全當做是3元的圓珠筆共花3×16=48（元），比實際少62-48=14（元）。1支5元的圓珠筆比1支3元的圓珠筆多花5-3=2（元），所以5元的圓珠筆有14÷2=7（支），3元的圓珠筆有16-7=9（支）。3元的圓珠筆有9支，5元的圓珠筆有7支。

師：大部分同學解的都很好，只是個別同學把圓珠筆真的寫成了“怪雞”、“怪兔”。我們說可以當做 “怪雞”與“怪兔”，但不要機械地往上套啊！

【評析：教者通過對有關史料的介紹，在傳承我國古代數學文化的同時，也使學生體會到我國文化的博大精深，有利于學生民族自豪感的培養。另外，讓學生感受問題的變式，使其解法成為解決這類問題的模型，既滲透了建模思想，又有利于學生的靈活應用。】

六、課堂小結

師：今天我們學習了什么內容？你有什么收獲？

生18：學習了“雞兔同籠”問題，會解這類問題了。

師：這類問題難不難？

生：不難。

師：這可是五六年級的哥哥姐姐們才學的呀！

生：啊！

師：這說明只要我們勤動手、勤動腦，數學一點都不難。也說明同學們真棒（伸大拇指）！最后請同學們在大腦里再畫一遍，嘴里默默地把過程再說一遍好嗎？

生：好！

【評析：通過回顧總結，讓學生對知識進行梳理，再次鞏固和內化了解“雞兔同籠”問題的數學模型。最后揭示該問題是五六年級所學知識，使學生樹立了信心，培養了學生的自豪感。】

七、課后作業（略）

總評：“雞兔同籠”問題是我國廣為流傳的有名的古算題。由于解決這個問題的思維含量高，人們常常拿它來考察一個人的智力狀況，也成了小學高年級奧數的經典題型，現已進入小學五六年級的數學教材。因此，讓二年級的學生掌握這類問題的解法，是一具有挑戰性的教學任務。當我的學生劉慧進行課外實踐，提出想給二年級學生講這堂課時，我為她捏了一把汗。沒想到的是，她的教學設計取得了很好的教學效果，不僅深受學生歡迎，還得到了任課教師的好評。總之，這是一堂出色的課，除了穿插的評析外，再指出以下幾點。

1.符合學生的認知和思維發展水平是本節課成功的關鍵

教學從畫畫數數入手，抽象與提煉解法時要求學生腦子里想象畫法、邊說邊寫，以及解法用語言與式子混合寫出，沒有只用算術表達式（含綜合算式）等，均符合二年級學生的認知發展與思維發展水平。

2.引導到位，放收合理

本節課教師的引導與學生的自主探究結合得比較好，教師始終有效地掌控教學，沒有大撒把，避免了自主探究流于熱熱鬧鬧的形式。

3.語言簡練，親和力強，不乏幽默感

語言表達通俗易懂，猶如日常交流談話，具有親和力但又不多余，拉近了師生之間的距離，易被學生接受；沒有華麗的語言，但像怪雞、怪兔等語言的出現又不乏幽默感，有利于活躍課堂氣氛。

（責編 金 鈴）endprint