借助幾何直觀教學體悟數學基本思想

◎福建省永泰縣東門小學林先銘

借助幾何直觀教學體悟數學基本思想

◎福建省永泰縣東門小學林先銘

借助幾何直觀，讓學生充分體悟蘊含其中的數學基本思想，是有效教學的一種途徑。為此，本文主要借助幾何直觀教學，讓學生體悟抽象思想、推理思想和建模思想，以期學生終身獲益。

幾何直觀；抽象思想；推理思想；建模思想

馮·諾依曼說過，數學思想一旦被構思出來，這門學科就開始經歷它本身所特有的生命。數學思想在本質上有三個：抽象、推理、模型。被構思出來就是抽象；經歷它本身所特有的生命，就是推理；能主動尋找數學內容的現實原型，主動利用數學發現現實世界中的問題，提出數學問題，并加以分析和解決，就是建模。幾何直觀是指利用圖形描述和分析問題，把復雜的數學問題變得簡明、形象。由此可見，幾何直觀既能幫助學生有效地解決數學問題，又能引領學生體悟數學基本思想。鑒于這種認識，筆者結合自己教學實踐，談談如何借助幾何直觀來引導學生感悟蘊含其中的數學基本思想。

一、借助幾何直觀，讓學生體悟抽象思想

抽象思想是將現實世界中的數量關系和空間形式進行適度抽象，是從異彩紛呈的事物中抽象出最具共性的本質的東西，它需要經歷從感性認識到理性認識的過程。幾何直觀對學生理解算理，掌握算法，建構法則有不可估量的作用，為運算能力的提高奠定堅實基礎。如，在教學“兩位數乘兩位數”時，筆者借助幾何直觀，來引導學生體驗并感悟建構法則的逐步抽象過程。

1.創設情境。教師呈現現實情境：“雙休日，小東的爸爸為了增長孩子的知識，便帶小東去三元書店購買《名家文學讀本》，每套12本，每本24元。”這里所提供的買書情境，為后面提出問題和列出算式做了很好的鋪墊。

2.列出算式。教師先讓學生讀題明意，并指出“你獲取了那些信息”。接著教師引導學生根據情境，能否提出問題？學生提出：“買這1套書應付多少錢？”，列出算式“24×12”。此時的數學問題不再是課本知識上的數學問題，而是富有生活實際意義的數學問題，是學生從感性認識到理性認識的一次飛躍。

3.以圖示理。學生雖弄清了題意，學會了列式。但如何計算，還是不知所措，為讓學生理清兩位數乘兩位數的算理，教師可引導學生觀察直觀模型，厘清計算思路。如上述情景題，教師可以利用多媒體呈現一個每行24格，共有12行的格子圖，隨后，讓學生觀察思考格與行之間的關系，最后讓學生計算出一共有多少格。（格子圖略）此格子圖能形象直觀地呈現24和12的關系，學生一目了然，茅塞頓開。這時，教師應趁勢引導學生自主闡述，可以先算10行有多少格，再算2行有多少格，列式為24×10=240，24×2=48，240+48=288。教學到此，學生對算理已有所領悟，為下面抽象概括和理解法則起到了舉足輕重的作用。

4.符號表征。教學“符號表征”這一步，教師應著力把語言表述與符號表征進行無縫對接，并互相轉換。可借助已有的直觀經驗，用“先算什么，再算什么，最后算什么”等語言表述，來解決符號表征對應問題。此時，教師應做好兩件事：一是根據學生語言表述，利用課件把計算法則逐步呈現出來；二是將學生語言表述的內容抽象成用數學符號表征的形式（即豎式）。（如下圖）

由此可見，“以圖示理”是最直接、最形象的，它能讓學生領悟算理；“符號表征”是最簡潔、最明了的，它能讓學生明白算法，抽象出法則。讓學生經歷“情境創設—列出算式—以圖示理—符號表征”之抽象漸進過程，是讓學生體會抽象思想的一種好的策略。

二、借助幾何直觀，讓學生體悟推理思想

推理是數學的重要思維方式。置身在形態各異、色彩紛呈的現實世界中，人們時常會遇到繁雜的數學問題，但仔細一想，這些問題都有一些數量結構和幾何結構蘊含其中。面對這些問題，教師可引導學生借助幾何直觀，把復雜的問題簡單化、條理化、明晰化，讓學生在觀察和操作、比較和分析、抽象和概括中嘗試推理，構建新知。運用假設豐富推理活動經驗，感悟推理思想，是一條好的途徑。如教學“假設應用題”時，教師引導學生經歷“感知情境—借助直觀—運用假設—總結規律”這一過程，以此來體悟推理思想。具體教學流程如下四步進行。

第一步，出示題目，感知情境，激發欲望。教師出示“有五元、二元人民幣共10張，共32元，兩種錢各幾張？”，讓學生審題、思考、動筆計算，由于學生尚未進行推理訓練，解題無頭緒，一片茫然，所示答案也是各不相同。

第二步，借助直觀，引導假設，產生矛盾。教師讓學生先假設10張全是2元的，隨機問學生你發現了什么？學生發現了，假設結果與題中已知條件相矛盾。原題中人民幣總值32元，假設后總值只有20元，少了12元。這是什么原因呢？如上圖所示。

第三步，思考原因，發現問題，解決問題。教師讓學生說出其中原因，并找出解決問題的辦法，學生經過觀察分析，找到了矛盾的原因和解決問題的辦法。即，剛才假設中把其中五元的人民幣都看成2元，這樣每張5元人民幣都少了3元，一共少了12元，算式：12÷3，就可以求出5元人民幣的張數。

第四步，進行驗證，總結規律，運用規律。教師引領學生繼續探究：剛才我們是把10張人民幣假設成全是2元的，現在把10張人民幣假設成全是5元的，又會產生什么矛盾呢？學生通過計算發現，人民幣的總值比已知多了18元，那是因為把2元看成5元，每張多了3元，算式：18÷3，就可以求出2元人民幣的張數。教學至此，教師讓學生觀察比較這兩個算式，看看有什么發現？學生通過這兩種假設比較，發現：（1）假設都是2元時，先求出的是5元的張數；（2）假設都是5元時，先求出的是2元的張數；（3）少的總錢數÷每張少的錢數=5元人民幣的張數；（4）多的總錢數÷每張多的錢數=2元人民幣的張數。為了鞏固深化知識，運用假設方法，讓學生進行自主解決生活實際問題，教師再次出示題目：“30元1千克的茶葉和50元1千克的茶葉共5千克，共用去190元。問兩種茶葉各有多少千克？”這一訓練，促使學生知其然知其所以然。

由此可見，教學中，通過圖案或圖形，對情境描述的量進行假設，促進學生直觀、有序地進行數學思考，找準問題穴點，疏通解題思路，掌握推理方法，長此訓練，就能提高學生推理能力。

三、借助幾何直觀，讓學生體悟建模思想

數學模型是聯系數學與現實世界的橋梁。數學建模就是建立數學模型的過程，即“情境體驗—圖示理解—建立模型—應用模型”的過程，讓學生獲得數學建模的直接經驗和體驗，進而逐步體會、感悟建模思想。幾何直觀對于數學問題的分析，具有“一畫勝百言”的作用，在眾多數學問題的解決中，靈感大多出自幾何直觀。如教學《相遇行程應用題》時，教師可以這樣展開教學。

1.情境體驗。教師創設情境引導學生實施。（1）演示。教師提出演示要求：設定AB兩地，讓甲乙兩位學生進行表演，由教師發出指令，學生行走，再讓幾位學生用秒表為他們計時。具體演示內容：①甲乙同時出發，相向而行，結果相遇；②甲先行，乙后行，結果相遇；③甲乙同時同地相背而行，X秒后到達AB兩地。（2）觀察。教師要求學生仔細觀察兩位同學的演示過程。（3）思考。教師讓學生思考行程中的出發地點、出發時間、運動方向、運動時間、運動結果等各個基本要素的變化情況。

2.圖示理解。教師引導學生在充分觀察、思考、交流、嘗試的基礎上，將實踐體驗的眾多信息用線段圖形式描繪出來。圖示情況如下：

（1）甲乙同時從兩地出發，相向而行，結果相遇。

（2）甲乙從兩地出發，甲先行，乙后行，結果相遇。

（3）甲乙同時同地相背而行，X秒后到達AB兩地。

縱觀上圖，學生通過畫線段圖，直觀地呈現相遇行程問題的模型，可見學生對如何解決此類問題有個初步的認識。

3.建立模型。教師引導學生利用上面線段圖，找出等量關系式：①從兩地同時出發，相向而行，所用時間相同，即甲行的路程+乙行的路程=全程；②從兩地出發，甲先行，乙后行，相向而行，所用時間不同，即甲先行的路程+甲后行的路程+乙行的路程=全程；③同時同地相背而行，所用時間相同，即甲行的路程+乙行的路程=全程。

4.應用模型。為了深化和拓展所學知識，教師趁勢呈現信息：①小虎和小麗同時從兩地出發相向而行；②兩地相距540米；③小虎每分鐘走65米；④小麗每分鐘走70米；⑤經過4分鐘兩人相遇。接著教師提出要求：請選擇適當條件，編寫相遇應用題，并自主列式解答。

從上面教學過程可以看出，引導學生建構數學模型，讓學生體悟模型思想，教師要充分利用情境體驗，運用直觀圖形，構建起相應的數量關系模型，從而利用模型解決實際問題，在應用模型的過程中不斷完善對已建立的數學模型的理解，有助于提高學生發現數學、創造數學、運用數學的素養和能力。

（責任編輯：陳志華）