淺談靈活應用函數與方程的轉化求參數范圍

蔣敏

函數與方程思想是最重要的一種數學思想，高考中所占比重較大，綜合知識多、題型多、應用技巧多。函數思想，即將所研究的問題借助建立函數關系式亦或構造中間函數，結合初等函數的圖像與性質，加以分析、轉化、解決有關求值、解（證）不等式、解方程以及討論參數的取值范圍等問題。方程思想，即將問題中的數量關系運用數學語言轉化為方程模型加以解決。

函數和方程是密切相關的，對于函數y=f（x），當y=0時，就轉化為方程f（x）=0，也可以把函數式y=f（x）看做二元方程y-f（x）=0。而方程y-f（x）=0的解也可以看成是圖像f（x）與圖像 y=0交點的橫坐標，兩者相輔相成。

但有的問題，并不一定是把方程轉化為圖像f（x）與圖像 y=0交點的橫坐標，還可以轉化為圖像f（x）與圖像g（x）交點問題，從而達到簡化解題的目的。如何選擇合適的圖像f（x）與圖像g（x），也就是本文所要探討的問題。

本文希望通過由易到難的例題，利用圖形計算器畫出函數的圖像，結合函數的圖像，選擇合適的圖像來求參數范圍，通過觀察、討論，最后能形成一些分析選擇合適函數圖像問題的經驗（本文中圖像上的A對應題中的參數a）。

一、例題

問題1：若函數f（x）=x2-x-a有2個零點，則求a的范圍。

分析：

方法一：函數f（x）=x2-x-a有零點，即方程x2-x-a=0有兩個不同實數根，只要滿足△>0即可求a的范圍。

方法二：可以從函數的圖像角度來理解，看成是二次函數f（x）=x2-x-a圖像與x軸有兩個交點，即只要求出f（x）的最小值小于0即可。

實際上，等式還可以變形為：

1.x2-x=a;

2.x2=a+x;

3.x2-a=x。

那也可以分別看成是等式左邊的函數圖像與等式右邊的函數圖像有兩個交點，展示如下：

展示1：畫出y=x2-x與y=a圖像，可以明顯看出只a要大于y=x2-x的最小值即可。

■

展示2：畫出y=x2與y=x+a圖像，只要兩個圖像相切時是臨界狀態。

■

生3：畫出y=x2-a與y=x圖像，只要兩個圖像相切時是臨界狀態。

師：大家展示得都很好，也都能解決問題。從這個問題我們可以總結點什么出來呢？

生：方程的解的問題可以轉化為函數圖像的交點來解決。方程解的問題，可以選擇不同的函數圖像來構造交點。

通過對比，發現展示一的函數圖像容易操作，優勢明顯。

問題2：若方程ax2-x-1=0的解在（0，1）上，則求a的范圍。

分析：根據剛剛的解題經驗，從函數角度，此題可以看成f（x）=ax2-x-1圖像在（0，1）上與x軸只有一個交點。要考慮當a<0，a=0，a>0的情況，發現函數圖像過定點（0，-1），并且只要當a>0，f（1）>0時，滿足題意，求出的范圍。

其實還可以根據等式的恒等變形，還有可能這樣幾種情形：

1.a=■=■+■

2.ax2=x+1

展示1：a=■=■+■，即畫y=g（x）=■與y=a圖像，看在區間（0，1）上的交點，通過圖像，很容易知道只要a>g（1）即可。

■

但從圖像上來看y=■圖像要不通過計算器來作圖，比較困難。因此只能通過令t=■換元，把等式變成a=t2+t來處理。

展示2：ax2=x+1，即畫y=f（x）=ax2與y=g（x）=x+1圖像，看交點，如下圖展示。

通過動態圖變化a，也能很容易得出結論，f（1）>g（1）即可。

■

通過上面的比較，大家會選擇f（x）=ax2-x-1圖像在（0，1）上與x軸只有一個交點，或者ax2=x+1形式來處理。因為這兩種形式，在不用計算器的情況下，也能進行分析，而且所畫圖形不復雜，是我們常見的圖形。

問題3：若關于x的方程■=ax2有四個不同的實數根，則實數a的取值范圍為 ? .

分析：討論完零為解得情況后，方程還可以變形為■=a，■=a（x-1），■=|x|（x-1），（x≠0且x≠1）。

展示1：■=a|x|，（x≠0且x≠1）

■

展示2：■=a（x-1），（x≠0且x≠1）

■

展示3：■=|x|（x-1），（x≠0且x≠1）

■

通過圖像展示，發現都能解出實數的范圍。但是前兩幅圖像不通過計算器，畫出來比較困難，第三幅看起來比較容易畫出來。

二、小結

在本文研究過程中，我們發現了函數與方程是可以轉化的，并且在轉化的過程中，需要選擇合適的函數來解題，選擇的原則是盡可能讓函數簡單、易畫，以轉化為初等函數形式為主。

函數與方程思想是最重要的一種數學思想，高考中所占比重較大，綜合知識多、題型多、應用技巧多。函數思想，即將所研究的問題借助建立函數關系式亦或構造中間函數，結合初等函數的圖像與性質，加以分析、轉化、解決有關求值、解（證）不等式、解方程以及討論參數的取值范圍等問題。方程思想，即將問題中的數量關系運用數學語言轉化為方程模型加以解決。

函數和方程是密切相關的，對于函數y=f（x），當y=0時，就轉化為方程f（x）=0，也可以把函數式y=f（x）看做二元方程y-f（x）=0。而方程y-f（x）=0的解也可以看成是圖像f（x）與圖像 y=0交點的橫坐標，兩者相輔相成。

但有的問題，并不一定是把方程轉化為圖像f（x）與圖像 y=0交點的橫坐標，還可以轉化為圖像f（x）與圖像g（x）交點問題，從而達到簡化解題的目的。如何選擇合適的圖像f（x）與圖像g（x），也就是本文所要探討的問題。

本文希望通過由易到難的例題，利用圖形計算器畫出函數的圖像，結合函數的圖像，選擇合適的圖像來求參數范圍，通過觀察、討論，最后能形成一些分析選擇合適函數圖像問題的經驗（本文中圖像上的A對應題中的參數a）。

一、例題

問題1：若函數f（x）=x2-x-a有2個零點，則求a的范圍。

分析：

方法一：函數f（x）=x2-x-a有零點，即方程x2-x-a=0有兩個不同實數根，只要滿足△>0即可求a的范圍。

方法二：可以從函數的圖像角度來理解，看成是二次函數f（x）=x2-x-a圖像與x軸有兩個交點，即只要求出f（x）的最小值小于0即可。

實際上，等式還可以變形為：

1.x2-x=a;

2.x2=a+x;

3.x2-a=x。

那也可以分別看成是等式左邊的函數圖像與等式右邊的函數圖像有兩個交點，展示如下：

展示1：畫出y=x2-x與y=a圖像，可以明顯看出只a要大于y=x2-x的最小值即可。

■

展示2：畫出y=x2與y=x+a圖像，只要兩個圖像相切時是臨界狀態。

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生3：畫出y=x2-a與y=x圖像，只要兩個圖像相切時是臨界狀態。

師：大家展示得都很好，也都能解決問題。從這個問題我們可以總結點什么出來呢？

生：方程的解的問題可以轉化為函數圖像的交點來解決。方程解的問題，可以選擇不同的函數圖像來構造交點。

通過對比，發現展示一的函數圖像容易操作，優勢明顯。

問題2：若方程ax2-x-1=0的解在（0，1）上，則求a的范圍。

分析：根據剛剛的解題經驗，從函數角度，此題可以看成f（x）=ax2-x-1圖像在（0，1）上與x軸只有一個交點。要考慮當a<0，a=0，a>0的情況，發現函數圖像過定點（0，-1），并且只要當a>0，f（1）>0時，滿足題意，求出的范圍。

其實還可以根據等式的恒等變形，還有可能這樣幾種情形：

1.a=■=■+■

2.ax2=x+1

展示1：a=■=■+■，即畫y=g（x）=■與y=a圖像，看在區間（0，1）上的交點，通過圖像，很容易知道只要a>g（1）即可。

■

但從圖像上來看y=■圖像要不通過計算器來作圖，比較困難。因此只能通過令t=■換元，把等式變成a=t2+t來處理。

展示2：ax2=x+1，即畫y=f（x）=ax2與y=g（x）=x+1圖像，看交點，如下圖展示。

通過動態圖變化a，也能很容易得出結論，f（1）>g（1）即可。

■

通過上面的比較，大家會選擇f（x）=ax2-x-1圖像在（0，1）上與x軸只有一個交點，或者ax2=x+1形式來處理。因為這兩種形式，在不用計算器的情況下，也能進行分析，而且所畫圖形不復雜，是我們常見的圖形。

問題3：若關于x的方程■=ax2有四個不同的實數根，則實數a的取值范圍為 ? .

分析：討論完零為解得情況后，方程還可以變形為■=a，■=a（x-1），■=|x|（x-1），（x≠0且x≠1）。

展示1：■=a|x|，（x≠0且x≠1）

■

展示2：■=a（x-1），（x≠0且x≠1）

■

展示3：■=|x|（x-1），（x≠0且x≠1）

■

通過圖像展示，發現都能解出實數的范圍。但是前兩幅圖像不通過計算器，畫出來比較困難，第三幅看起來比較容易畫出來。

二、小結

在本文研究過程中，我們發現了函數與方程是可以轉化的，并且在轉化的過程中，需要選擇合適的函數來解題，選擇的原則是盡可能讓函數簡單、易畫，以轉化為初等函數形式為主。

函數與方程思想是最重要的一種數學思想，高考中所占比重較大，綜合知識多、題型多、應用技巧多。函數思想，即將所研究的問題借助建立函數關系式亦或構造中間函數，結合初等函數的圖像與性質，加以分析、轉化、解決有關求值、解（證）不等式、解方程以及討論參數的取值范圍等問題。方程思想，即將問題中的數量關系運用數學語言轉化為方程模型加以解決。

函數和方程是密切相關的，對于函數y=f（x），當y=0時，就轉化為方程f（x）=0，也可以把函數式y=f（x）看做二元方程y-f（x）=0。而方程y-f（x）=0的解也可以看成是圖像f（x）與圖像 y=0交點的橫坐標，兩者相輔相成。

但有的問題，并不一定是把方程轉化為圖像f（x）與圖像 y=0交點的橫坐標，還可以轉化為圖像f（x）與圖像g（x）交點問題，從而達到簡化解題的目的。如何選擇合適的圖像f（x）與圖像g（x），也就是本文所要探討的問題。

本文希望通過由易到難的例題，利用圖形計算器畫出函數的圖像，結合函數的圖像，選擇合適的圖像來求參數范圍，通過觀察、討論，最后能形成一些分析選擇合適函數圖像問題的經驗（本文中圖像上的A對應題中的參數a）。

一、例題

問題1：若函數f（x）=x2-x-a有2個零點，則求a的范圍。

分析：

方法一：函數f（x）=x2-x-a有零點，即方程x2-x-a=0有兩個不同實數根，只要滿足△>0即可求a的范圍。

方法二：可以從函數的圖像角度來理解，看成是二次函數f（x）=x2-x-a圖像與x軸有兩個交點，即只要求出f（x）的最小值小于0即可。

實際上，等式還可以變形為：

1.x2-x=a;

2.x2=a+x;

3.x2-a=x。

那也可以分別看成是等式左邊的函數圖像與等式右邊的函數圖像有兩個交點，展示如下：

展示1：畫出y=x2-x與y=a圖像，可以明顯看出只a要大于y=x2-x的最小值即可。

■

展示2：畫出y=x2與y=x+a圖像，只要兩個圖像相切時是臨界狀態。

■

生3：畫出y=x2-a與y=x圖像，只要兩個圖像相切時是臨界狀態。

師：大家展示得都很好，也都能解決問題。從這個問題我們可以總結點什么出來呢？

生：方程的解的問題可以轉化為函數圖像的交點來解決。方程解的問題，可以選擇不同的函數圖像來構造交點。

通過對比，發現展示一的函數圖像容易操作，優勢明顯。

問題2：若方程ax2-x-1=0的解在（0，1）上，則求a的范圍。

分析：根據剛剛的解題經驗，從函數角度，此題可以看成f（x）=ax2-x-1圖像在（0，1）上與x軸只有一個交點。要考慮當a<0，a=0，a>0的情況，發現函數圖像過定點（0，-1），并且只要當a>0，f（1）>0時，滿足題意，求出的范圍。

其實還可以根據等式的恒等變形，還有可能這樣幾種情形：

1.a=■=■+■

2.ax2=x+1

展示1：a=■=■+■，即畫y=g（x）=■與y=a圖像，看在區間（0，1）上的交點，通過圖像，很容易知道只要a>g（1）即可。

■

但從圖像上來看y=■圖像要不通過計算器來作圖，比較困難。因此只能通過令t=■換元，把等式變成a=t2+t來處理。

展示2：ax2=x+1，即畫y=f（x）=ax2與y=g（x）=x+1圖像，看交點，如下圖展示。

通過動態圖變化a，也能很容易得出結論，f（1）>g（1）即可。

■

通過上面的比較，大家會選擇f（x）=ax2-x-1圖像在（0，1）上與x軸只有一個交點，或者ax2=x+1形式來處理。因為這兩種形式，在不用計算器的情況下，也能進行分析，而且所畫圖形不復雜，是我們常見的圖形。

問題3：若關于x的方程■=ax2有四個不同的實數根，則實數a的取值范圍為 ? .

分析：討論完零為解得情況后，方程還可以變形為■=a，■=a（x-1），■=|x|（x-1），（x≠0且x≠1）。

展示1：■=a|x|，（x≠0且x≠1）

■

展示2：■=a（x-1），（x≠0且x≠1）

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展示3：■=|x|（x-1），（x≠0且x≠1）

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通過圖像展示，發現都能解出實數的范圍。但是前兩幅圖像不通過計算器，畫出來比較困難，第三幅看起來比較容易畫出來。

二、小結

在本文研究過程中，我們發現了函數與方程是可以轉化的，并且在轉化的過程中，需要選擇合適的函數來解題，選擇的原則是盡可能讓函數簡單、易畫，以轉化為初等函數形式為主。