常微分方程課程中應用能力的培養

劉漢武 侯文斌

【摘要】常微分方程是數學專業開設的一門基礎課程，有著廣泛的應用，是數學理論聯系實際的一個重要橋梁。現行教學模式沿用了傳統的聽講教學方法，忽略了教學過程中師生的交流，限制了學生應用能力的培養，已不能適應社會發展對應用型人才的需要。研究常微分課程中應用能力的培養問題迫在眉睫。本文通過對常微分方程課程教育現狀和應用能力進行分析，提出了結合實際應用；利用計算機輔助學習；整合課本內容，讓學生對知識有整體掌握；利用現代教學手段，提高教學效果；授課過程中注意引導學生進行思考；改革考核方法，加強對學生學習效果檢測等解決途徑。

【關鍵詞】常微分方程 應用能力 改革方法

【中圖分類號】G642.0 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2014）10 -0182-02

1 常微分方程課程教學現狀

常微分方程是大學本科數學專業的一門專業基礎課，是基礎數學的一個重要內容，有著廣泛的應用，是數學理論聯系實際的一個重要組成部分。它是眾多精確社會科學、自然科學中表述基本定律和各種問題的基本工具之一；從誕生之日起，它日益成為人類認識自然、改造自然的有力工具；自動控制、電子技術、力學、生物學、海洋學、經濟學等各個學科的科研人員都把它作為必需的研究工具。常微分方程為后續課程的學習起著鋪墊作用，它是學習偏微分方程、微分幾何等相關課程的基礎；它所體現的數學分析思想、邏輯推理方法以及處理問題的技巧，在整個大學數學學習中都起著奠基作用；常微分方程模型是數學建模的重要內容之一，也是部分碩士研究生入學復試的筆試內容。因此，伴隨著數學在現代社會中的作用和地位的不斷提高，常微分方程課程也越來越受到重視。

現實中，常微分方程課程教學略顯枯燥，部分學生不愿意學，即便掌握了充足的理論，也缺少解決問題的能力。隨著教學改革的不斷深入，專業課程的課時相對減少，內容卻相對增加，這對常微分方程教學有不小的負面影響。由于高校擴招，使得學生整體素質下降，部分學生接受新知識的能力下降，再加上受一些不正確思想的誤導，學生的學習主動性不足、積極性不高、知識融會貫通的能力較差。教師對教學內容的處理不夠得當，忽視了相關課程知識間的聯系，教學方式和教學手段的使用不夠恰當，不能調動學生主動探究知識、獲取知識、分析問題、解決問題的積極性，同時也忽略了學生能力、素質的培養。教學中缺乏數學思想方法的滲透，不利于學生創新意識及應用能力的培養和提高。

應用人才培養已成為國家人才培養戰略的重點之一。數學系在課程教學中如何培養學生的應用能力是一個緊迫而必須回答好的問題。數學系，具有自己的課程特點和培養目標，學生應該具有獨特的應用能力。

1. 通過數學模型解決實際問題的能力。數學是一門工具學科，除了使這一工具更加有力之外，重要的是使用這一工具去解決實際問題。數學在物理、生物、經濟、環境等方面已經有了很多的應用分支。學生應該具有數學建模的能力，對相關其他專業知識了解之后，可以迅速建立數學模型，運用數學理論進行分析或數值模擬，給出解決方案。

2. 運用數學軟件解決實際問題的能力。隨著計算機的發展，很多問題都可以借助計算機加以解決，對較復雜的問題需要使用專業軟件，并需要進行適當的程序設計。數學系的學生要掌握較專業的數學軟件，熟悉程序設計，對一些實際問題可以編寫適當的程序利用數學軟件迅速解決。

3. 傳授數學知識的能力。除了口語、板書、課件設計與制作、課堂組織等教師的基本能力之外，還要熟悉專業知識的脈絡，了解學習中的思維過程，據此設計出合理的教學方案并實施。

常微分方程作為數學系的基礎課程，具有很強的應用性，所以責無旁貸的要在教學中培養學生的應用能力。高校課程改革正風起云涌，人們正改變傳統的授課方式，積極探索科學、高效、目的明確的授課方式。四川大學的張偉年把教學內容和重點同當今微分方程發展主流及非線性科學飛速發展實際相結合，同時實行雙語教學，多媒體教學等，努力培養學生的創新意識和能力[1]。張紅雷從教學內容、教學方法和加強學生創新能力的培養等方面，探索常微分方程課程的教學改革[2]。儲亞偉等從教學觀念、內容、方法、手段等方面探討了常微分方程課程的改革[3]。鐘秀蓉在分析常微分方程課程對自動化專業學生的重要性的基礎上，結合目前常微分方程的教學改革現狀，提出“兩重”和“四原則”的思想[4]。藍師義提出了教學內容與教學方法改革的一些設想和建議，以促進大學生獨立思考能力和創新能力的培養，提高課堂教學質量[5]。方輝平以建模的思想作為切入點，在常微分方程的教學內容、方法和手段上進行了探索和改革[6]。程國華把常微分方程分成若干模塊，將數學實驗、建模思想和方法融入常微分方程教學[7]。

如何學習常微分方程這門課程，如何提高課堂教學質量，如何激發學生的學習興趣，如何提高學生的應用能力，如何促進學生基本數學素養的形成和提高是每位任課教師都應思考的問題。

2 常微分課程中應用能力的培養

2.1 結合實際應用

在講授常微分方程的過程中，教師應引入一些實際問題，多介紹一些微分方程的來源與應用背景，讓學生認識到微分方程的重要性及其廣泛的應用性，感受到常微分方程的魅力，培養學生學習常微分方程的興趣和信心。這樣，既鞏固了課堂的理論知識，降低了理論講解的枯燥性，提高了學生的學習興趣，又增強了學生的應用能力。

在常微分方程課程中可以引入傳染病模型，分析其變化規律。設時刻t的健康人數為y（t），染病人數為x（t）。假設傳染病傳播期間總人數不變，設為n，則有x（t）+y（t）=n。在單位時間內一個病人能傳染的人數與當時的健康人數成正比，設比例常數為k，稱為傳染系數。于是

=ky（t）xt

或

=kx（n-x）

這個模型稱為SI模型，是伯努利方程，可以解出這個方程并通過它的解分析疾病的流行規律。這樣不僅開闊了學生的視野，還讓學生經歷了用所學知識解決實際問題的過程，激發學生的學習興趣。

類似的，針對我國2011年進行的人口普查，可以引入Malthus模型、Logistic模型等人口模型預測人口的發展趨勢；針對2008年SARS的傳播可以引入適當的模型，并結合實際數據，分析疾病的流行動態。

2.2 利用計算機輔助學習

隨著計算機的發展，產生了很多數學軟件，如Mathematica、MATLAB、Maple等，可以利用這些軟件輔助常微分方程的學習。一方面通過數值計算和繪圖迅速了解或探討某些常微分方程的性態；另一方面應用軟件中符號計算功能可直接求解某些常微分方程。

Mathematica語言中，符號運算、數值計算及圖形繪制均有特色，特別是輸入顯示界面可以直接輸入及顯示人們習慣的數學符號，非常直觀。

如可按下面的過程求方程組 基解矩陣：

A={{2，1} {0，2}} 建立矩陣A；

Eigensystem[A] 求矩陣的特征值、特征向量；

Exp[A*t] 得到基解矩陣。

再如，常微分方程 可如下求解：

DSolve 。

此外，Mathematica語言在向量場、等高線、微分方程數值解及作圖、拉普拉斯變換等問題上都可以很方便應用。

2.3 整合課本內容，讓學生對知識有整體掌握

不要拘泥于教材的內容，可以從課外找出相應問題作為例題，這樣會擴大學生的知識范圍，吸引學生的注意力，培養學習興趣和應用能力。

對教材中的一些內容進行歸納總結，例如，由于高階微分方程與線性微分方程組在可解的意義下是等價的，可以把高階線性微分方程解的存在唯一性定理及其基本理論與一階線性微分方程組的相應內容放到一起，它們解的結構及其性質也基本相同。經過對比講解可以指出它們的異同，站在更高處審視所學的知識，這樣這部分內容能較容易地被學生掌握，同時還能解決學時少，課堂效率低的問題。

可以以解決實際問題為主線，引導學生建立學習團隊，通過自身或團隊開展發掘、調查、訪問、資料收集、操作等多樣的學習活動，分析、解決問題，以培養和提高學生的應用和創新能力。

2.4 利用現代教學手段，提高教學效果

隨著科技的發展，各種現代教育技術異彩紛呈。作為現代教育技術典型代表的多媒體輔助教學，有利于提高課堂的教學效率和教學質量。但多媒體教學也有操作速度快、學生反映跟不上等弊端。對于常微分方程教學，在傳授知識的同時，不可缺少的是嚴謹的推理過程，推理的每一步都是對學生思維的訓練過程，如果把內容一股腦地全顯示出來，這很難給人留下深刻印象，簡化了學生對知識的思維過程，抑制了學生的思維能力，效果較差。因此，為了提高教學效果，教師可將板書和多媒體結合使用，在需要推導的時候使用板書，對只需要展示的內容可事先做好課件。

通過建設課程網站，建立個人主頁、建立課程郵箱、設立網上討論區等方式，打破傳統的師生之間教與學的關系，增加學生主動學習的機會，建立平等討論、互相促進的關系，開拓出新的教學空間。

2.5 授課過程中注意引導學生進行思考

教師應該授之以漁而非授之以魚。在常微分方程的教學過程中，教學工作是教會“如何把未知問題歸結為已知問題求解”的思想和方法，引導學生如何由已知探求未知知識，培養他們認識問題、理解問題、解決問題的能力，同時他們也會領會知識的整體體系，達到融會貫通的目的。

2.6 改革考核方法，加強對學生學習效果檢測

考試是教學過程中的重要環節，是檢驗學生學習情況，評價教學質量的手段。現行的閉卷考察方式更多考察的是記憶能力、知識本身、理論基礎而忽略了理解能力、智力因素、實踐能力，存在著弊端。選擇什么樣的考核方式對教學具有重要影響。常微分方程課程的考核可采取N+1的考核方式，可將常微分方程的考核分為平時到課率、期中考試成績、上機考試（如實驗設計能力的考核、計算機數學軟件使用等的考核），再加上期末理論考試成績。分別設置不同的權重，取綜合成績。這種考核方式，除了讓學生掌握課本的理論知識外，還注重學生平時各方面的表現以及各種能力的訓練，有利于應用型人才的培養。

參考文獻：

[1] 張偉年.本科數學專業常微分方程教學改革與實踐.高等理科教育.2003（1）

[2] 張紅雷.信息與計算科學專業常微分方程教學改革初探.徐州教育學院學報.2008（1）

[3] 儲亞偉，朱茱.高師本科常微分方程教學改革的探究.阜陽師范學院學報（自然科學版）.2008（3）

[4] 鐘秀蓉.本科自動化專業常微分方程教學之改革與實踐.內江科技.2009（4）

[5] 藍師義.常微分方程教學改革的探索.廣西民族大學學報（自然科學版）.2009（3）

[6] 方輝平.常微分方程教學改革與實踐.滁州學院學報.2010（2）

[7] 程國華.數學建模融入常微分方程教學的研究.科教文匯.2010 （12下旬）

基金項目：運城學院教學綜合改革項目，項目名稱："常微分方程教學中學生應用能力的培養"（課題編號：JG201203），主持人：劉漢武。