分類討論思想在解題中的應用

龐忠全

分類討論思想是解決問題的一種邏輯方法，也是一種數學思想，這種思想在簡化研究對象，發展思維方面起著重要作用，因此，有關分類討論的思想的數學命題在高考試題中占有重要地位.

所謂分類討論，就是當問題所給的對象不能進行統一研究時，就需要對研究對象按某個標準分類，然后對每一類分別研究得出每一類的結論，最后綜合各類結果得到整個問題的解答.實質上，分類討論是“化整為零，各個擊破，再積零為整”的數學策略.要用好分類討論的思想解決問題必須注意以下方面.

一、弄清分類討論的原因

1.由數學概念而引起的分類討論：如|a|的定義分a>0、a=0、a<0三種情況，二次函數的定義、一元二次方程根的個數，直線的斜率等.

2.由數學定理、公式和運算性質、法則有范圍或者條件限制引起的分類討論.如等比數列的前n項和的公式，分q=1和q≠1兩種情況;指數、對數運算中真數與底數的要求等.

3.由參數的變化而引起的分類討論：如解不等式ax>2時分a>0、a=0和a<0三種情況討論.

二、確定分類討論依據

1.依據數學概念分類

已知函數f（x）=■（sinx+cosx）-■|sinx-cosx|，則f（x）的值域是（ ? ?）

（A）[-1，1] ? ? ? ? ? ? ?（B）？搖-■，1

（C）？搖-1，■ ? ? ?（D）？搖-1，-■

解析：f（x）=■（sinx+cosx）-■|sinx-cosx|=cosx（sinx≥cosx）sinx（sinx

答案：C

點評：本題考查絕對值的定義、分段函數、三角函數等知識，同時考查了分類討論思想和估算能力.

2.依據數學中的定理、公式和性質分類

設等比數列{a■}的公比q<1，前n項和為S■.已知a■=2，S■=5S■，求{a■}的通項公式.

解析：本題是考查數列的基本題，“知三求二”.

答案：由題設知a■≠0，S■=■，

則a■q■=2，■=5×■.

從而得1-q■=5（1-q■），（q■-4）（q■-1）=0，（q-2）（q+2）（q-1）（q+1）=0，

因為q<1，解得q=-1或q=-2.

當q=-1時，解得a■=2，通項公式a■=2×（-1）■;

當q=-2時，解得a■=■，通項公式a■=■×（-2）■.

點評：本題在運算過程中，由于參數值的不同導致結果的變化，因而需要分類討論.

3.依據題目中字母的取值范圍分類

設函數f（x）=ln（x+a）+x■.

（I）若當x=-1時，f（x）取得極值，求a的值，并討論f（x）的單調性;

（II）若f（x）存在極值，求a的取值范圍，并證明所有極值之和大于ln■.

解析：函數的極值、單調性是函數的重要性質.極值問題的解決，需要利用導數知識判斷在該點兩側函數的單調性;而函數單調性的討論則需要考查相應導數的符號問題.

答案：（Ⅰ）f′（x）=■+2x，依題意有f′（-1）=0，故a=■.

從而f′（x）=■=■.

f（x）的定義域為-■，+∞.

當-■0;

當-1

當x>-■時，f′（x）>0.

從而，f（x）分別在區間-■，-1，-■，+∞單調增加，在區間-1，-■單調減少.

（Ⅱ）f（x）的定義域為（-a，+∞），f′（x）=■.

方程2x■+2ax+1=0的判別式△=4a■-8.

（ⅰ）若△<0，即-■0，故f（x）無極值.

（ⅱ）若△=0，則a=■或a=-■.

若a=■，x∈（-■，+∞），f′（x）=■.

當x=-■時，f′（x）=0，當x∈-■，-■∪-■，+∞時，f′（x）>0，所以f（x）無極值.

若a=-■，x∈（■，+∞），f′（x）=■>0，f（x）也無極值.

（ⅲ）若△>0，即a>■或a<-■，則2x■+2ax+1=0有兩個不同的實根

x■=■，x■=■.

當a<-■時，x■<-a，x■<-a，從而f′（x）在f（x）的定義域內沒有零點，故f（x）無極值.

當a>■時，x■>-a，x■>-a，f′（x）在f（x）的定義域內有兩個不同的零點，

由極值判別方法知f（x）在x=x■，x=x■取得極值.

綜上，f（x）存在極值時，a的取值范圍為（■，+∞）.

f（x）的極值之和為：

f（x■）+f（x■）=ln（x■+a）+x■■+ln（x■+a）+x■■=ln■+a■-1>1-ln2=ln■.

點評：本題主要考查函數的導數、極值、單調區間的求法，考查利用導數和函數知識解綜合問題的能力.