分類討論思想在高中數學中的應用

錢俊

摘 ? ?要： 分類討論是一種重要的邏輯方法，也是高中數學中經常使用的數學思想方法之一.突出考查學生思維的嚴謹性和周密性，以及認識問題的全面性和深刻性，提高學生分析問題、解決問題的能力，能體現“著重考查數學能力”的要求.

關鍵詞： 分類討論 ? ?高中數學 ? ?教學應用

分類討論是一種重要的邏輯方法，也是高中數學中經常使用的數學思想方法之一.突出考查學生思維的嚴謹性和周密性，以及認識問題的全面性和深刻性，提高學生分析問題、解決問題的能力，能體現“著重考查數學能力”的要求.因此分類討論是歷年數學高考的重點與熱點，也是高考的一個難點.

一、解決集合與方程問題

例1：已知集合A={x|x■-ax+4=0}，B={x|x■-5x■+2x+8=0}，若A？哿B，求a的取值范圍.

【解】B={-1，2，4}，且A？哿B，則集合A可能是空集、單元素集合和兩個元素集合，

（1）當△=a■-16<0，即-4

（2）當△=0，即a=±4時，由A？哿B得a=4;當△>0，即a>4或a<-4時，A？埭B.

綜上可得，當a∈（-4，4]時，A？哿B.

【注】此題研究對象是一元二次方程x■-ax+4=0的根的判別式△，分成大于零，小于零和等于零這三種情況，這種分類符合同一性原則，沒有遺漏任一情況.

二、解決函數與不等式問題

例2：已知a是實數，函數f（x）=2ax■+2x-3-a，如果函數y= ?f（x）在區間[-1，1]上有零點，求a的取值范圍.

【解】若a=0，則f（x）=2x-3=0時，解得x=1.5∈[-1，1]，所以a≠0.

當a≠0時，若△=0，即拋物線與x軸有唯一的一個公共點，此時：

-1≤-■≤12■-8a（-3-a）=0解得-2≤■≤2a■=■，a■=■，則a=■.

當拋物線與x軸在[-1，1]上有唯一的一個公共點，此時：

f（-1）·f（1）≤0，即（a-1）（a-5）≤0，解得1≤a≤5.

因為當a=5時，△=2■-8×5×（-3-5）=324>0，拋物線與軸有兩個不同的交點，所以1≤a≤5符合要求.

當拋物線與x軸在[-1，1]上有2個公共點，此時：

Ia>0-1<-■<1f（-1）≥0f（1）≥0△>0或Ⅱa<01<-■<1f（-1）≤0f（1）≤0△>0，解Ⅰ得：a≥5，解Ⅱ得：a<■.

綜上，a的取值范圍是（-∞，■]∪[1，+∞）.

【注】題目敘述雖然簡短，但是對考生的思維深刻和嚴謹性要求很高.既考查分類討論的思想方法，又考查學生數形結合思想方法的運用，利用圖形的直觀性是指導分類的依據.

三、解決數列問題

例3：在數列{a■}中，a■=2，a■=λa■+λ■+（2-λ）2■（n∈N■），其中λ>0.求數列{a■}的前n項和S■.

【解】由a■=λa■+λ■+（2-λ）2■（n∈N■），λ>0，可得■-（■）■=■-（■）■+1，所以{■-（■）■}為等差數列，其公差為1，首項為0，故■-（■）■=n-1，所以數列{a■}的通項公式為a■=（n-1）λ■+2■.

設T■=λ■+2λ■+3λ■+…+（n-2）λ■+（n-1）λ■，①

λT■=λ■+2λ■+3λ■+…+（n-2）λ■+（n-1）λ■，②

當λ≠1時，①式減去②式，

得T■=■-■

=■.

這時數列{a■}的前n項和S■=■+2■-2.

當λ=1時，T■=■.這時數列{a■}的前n項和S■=■+2■-2.

【注】對于等比數列的前n項和公式，由于公比的取值不同而需要分類討論。

通過上面例題分析我們可看出運用分類討論的思想解題的基本步驟：（1）確定討論對象和確定研究的全域;（2）對所討論的問題進行合理的分類;（3）逐類討論：即對各類問題詳細討論，逐步解決;（4）歸納總結，整合得出結論.

總之，在教學中要注重分類討論思想方法的培養，在培養學生分類討論思想的過程中，要充分挖掘教材內容，“授之以魚，不如授之以漁”，只有方法的掌握、思想的形成，才能使學生受益終生.

參考文獻：

[1]徐望斌.對解題教學中分類討論思想方法的探討.湖北師范學院學報，2005（04）.