計算機輔助在《固體物理學》教學中的應用

馮春寶，胡錫奎，聶錦蘭，李登峰，周 平

（1.重慶郵電大學理學院，重慶 400065;2.電子科技大學物理電子學院，成都 610054）

一、《固體物理學》教學概述

《固體物理學》不管是作為物理類專業的核心課程還是其他相關專業的選修課程，它對理科學生整個知識體系的奠基性及引導性的重要作用都是不容質疑的。因此，如何提高《固體物理學》課程的教學效果，如何更有效地傳授它的知識要點和難點是高校教育工作者應該持續關注的一個問題。

學習《固體物理學》課程的困難主要有兩大方面:一方面，這門課程具有很強的綜合性，要求學生對包括《量子力學》在內的多門課程都有較好的知識基礎[1－2]。其次，該課程包含較多需要空間展示或是進行數值化計算、作圖才能較好地講授的知識要點。第一方面的問題基本取決于學生對“鋪墊”課程掌握的好壞，而在講授本課程的過程中也可以適當對相應的“鋪墊”知識進行回顧或者深化。而第二方面的問題，則完全取決于講授者的教學技巧。若能在教學過程中引入更多傳統教學方法之外的工具或是平臺，直觀地解釋相關的物理概念及現象，將更能激發學生的學習興趣，更好地講授相關的知識，提高教學效果[3－6]。

隨著計算機硬件及軟件的飛速發展，越來越多的原子分子計算模擬軟件被廣泛應用在科研領域。由于其豐富的功能，除了在科研上的應用，這些軟件也可在固體物理及材料物理等課程教學中發揮重要的作用。它們不僅可以使分子原子等微觀粒子的結構形象化、可視化，而且可通過模型構建、計算模擬、數據處理、作圖分析等步驟，從微觀角度揭示結構與性質的關系。其中Accelrys公司研發的Materials Studio（MS）軟件因具有非常直觀的可視化界面以及豐富的建模和模擬功能而成為應用最為廣泛的計算模擬軟件之一。而Crystal Maker（CM）軟件在晶體建模和演示方面的功能也非常突出，界面美觀，易于掌握使用。該軟件還有兩個非常實用的插件CrystalDiffract以及SingleC-rystal，可模擬晶體的粉末衍射及單晶衍射圖樣。這兩個軟件均可在Windows系統下安裝運作，在教學用電腦上使用切實可行。

本文結合《固體物理學》教學中的實際需求，分析討論MS以及CM軟件在實際教學中的輔助功能，形象直觀地展示固體物理中較抽象、復雜的概念和模型，將抽象的平面教學轉變為立體的形象教學，以提高學生的學習興趣，增強學生的創造性思維。

二、晶體結構與對稱性

（一）建模及演示

對晶體結構的認知是學習《固體物理學》的基礎，但若局限于平面模型，學生的理解往往都要慢半拍。MS具有強大的建模功能，我們可以從軟件自帶的結構數據庫中導入常見的晶體結構，也可以通過輸入其結構和對稱性參數來構建晶體。對于結構比較復雜的晶胞，如六角晶胞、復式晶格等，學生們對這一類結構認知往往容易有偏差。因此，三維晶體建模及演示在此類晶體相關的教學中更為重要。通過MS的模型界面，我們可以對晶體結構進行空間旋轉，從不同的角度去演示結構，幫助學生準確地理解晶體的空間結構。如圖1（a）所示為金屬Cu的晶體結構，而圖1（b）為Cu晶體的密排面。通過對密排面構建過程的演示，可幫助學生更好地理解密排面與晶體結構的空間關系。而通過圖1（b）也可直觀地看到立方密堆積晶體密排面的原子排布特征，即呈ABC堆垛的相鄰原子層的空間關系。對于六角密堆積，我們可采用同樣的方法進行體相和密排面結構的構建和演示。

除了完美晶體，MS也可以幫助我們建立缺陷晶體結構。常見的缺陷類型，包括肖特基缺陷，弗倫克爾對以及替位式的外來雜質缺陷，都可以通過MS輕松構建相應的模型。通過缺陷模型的展示，學生可更為直觀地了解不同缺陷的空間結構特點。

圖1 Cu晶體的（a）體相結構及（b）密排面

（二）晶體對稱性

利用MS的建模功能，我們也可進一步加深學生對晶體對稱性的理解。空間群以及晶系不一樣，空間點子的排列就不一樣。使用同樣的晶格尺寸10×10×10?，而變化其空間群類型，保持立方晶系不變，我們將得到完全不一樣的晶體結構。如圖2（a）為選用空間群FM－3M得到的晶體結構，為簡單面心立方。圖2（b）則為空間群FD－3M的情況，可見為金剛石結構。通過變化空間群或是晶系得到不同的晶體結構，學生們對晶體對稱性將有更為深入的理解。

圖2 晶體結構與空間群

（三）晶體結構與X射線衍射

倒易空間是《固體物理學》中較為抽象的一個概念。為了對倒易空間建立更為清晰的概念，我們有必要在晶體衍射部分采用更為形象的教學方法。通過對勞厄衍射和布拉格反射定律的推導，學生已初步建立晶體衍射問題的物理圖像，但對于實際晶體結構與衍射圖樣之間的關系，仍然難以關聯起來。CM軟件的兩個插件CrystalDiffract以及SingleCrystal可非常直觀地模擬和展示晶體結構的衍射圖。我們可在CM界面通過導入或新建晶體結構的方式得到需要的晶體結構，而利用CrystalDiffract我們可以直接模擬X射線或者中子粉末衍射圖樣。如圖3中左圖為晶體Si的結構圖，右圖則為相應的粉末衍射圖樣。通過對衍射圖樣的解釋，可幫助學生對晶體衍射特別是粉末衍射法的進一步掌握。SingleCrystal插件的功能更為豐富且互動性非常強，它能夠模擬單晶的X射線、中子和電子衍射圖，還可以顯示其倒易晶格和球面投影。若與CM軟件鏈接使用，還可以在一個窗口查看晶體結構，在另一個窗口查看晶體衍射圖。使用CM的“Live Rotation Mode”功能時，旋轉晶體能引起衍射圖的同步旋轉，反之亦然，從而可非常生動且有效地展示晶體結構與倒易晶格以及衍射圖樣之間的關系。圖4中為Si晶體的（111）晶面（左圖）及勞厄背散射圖樣（右圖）同步展示的效果。當旋轉晶體結構時，散射圖樣將同時發生變化。

圖3 Si晶體結構（左）與粉末衍射圖（右）

圖4 Si晶體的（111）面（左）與勞厄背散射圖（右）

三、布里淵區及能帶計算

能帶理論是《固體物理學》至關重要的一部分內容。然而，在推導能帶理論的一些重要結論時，我們使用的是一維近自由電子近似模型。基于一維原子鏈模型推導得到的能帶表達式及能帶結構示意圖雖然能幫助學生們初步認知能帶的形成以及能隙的出現，但并不能使他們進一步理解實際材料的能帶結構。而對于能帶結構所需涉及的布里淵區，對于初學《固體物理學》的學生而言更是一個十分抽象的概念。MS軟件可以幫助我們展示三維晶體的布里淵區。如圖5（a）所示，即為Si原胞對應的第一布里淵區，為截角八面體。通過晶體結構與布里淵區圖的直觀對照，可幫助學生們更好地理解布里淵區這樣一個虛擬的空間。此外，我們也可以在不同角度展示布里淵區里的高對稱K點。在進行能帶計算時，我們可以在布里淵區圖中看到定義的積分路徑，如圖5（a）中紅線所示，其路徑為W－L－G－X－W－K。確定積分路徑后，我們可使用Castep模塊計算晶體的能帶結構。圖5（b）即為Si的能帶結構圖。通過三維晶體的能帶結構圖，授課者可以更為直觀地解釋直接帶隙和間接帶隙，以及帶頂和帶底的位置。此外，我們也可以得到禁帶寬度的計算值，可與實驗值進行對照。

圖5 Si原胞的第一布里淵區（左）與能帶結構圖（右）

四、結束語

通過對Materials Studio及Crystal Maker軟件在《固體物理學》課堂教學中實際應用的深入探討，我們進一步掌握了本課程的教學技巧。對于三維結構各種類型的晶體，Materials Studio軟件的建模及展示功能可十分有效地輔助相應的教學。而布里淵區作為一個十分抽象的物理概念，亦可借助Materials Studio進行展示，并進一步計算晶體的能帶結構。Crystal Maker及其插件則可生動地幫助我們建立晶體結構與倒易空間及衍射圖樣之間的對應關系。

[1] 王矜奉.固體物理教程[M].濟南:山東大學出版社，2013.

[2] 黃昆，韓汝琦.固體物理學[M].北京:高等教育出版社，1998.

[3] 陸冰，裴東.計算機輔助教學在大學物理教學中的實踐[J].物理教育，2003（1）:53.

[4] 熊萬杰.MATLAB用于大學物理教學[J].物理通報，2004（2）:16.

[5] 溫俊青.Gaussian 03/Gauss View在原子簇結構教學中的應用[J].長春理工大學學報，2013（3）:199.

[6] 張麗萍.Material Studio軟件在固體物理教學中的應用[J].課程教育研究，2015（3）:193.