子空間與直接和概述

摘 要：本文主要概述了子空間與直接和，首先介紹向量空間中的子空間，各種具體的子空間，如：交空間、和空間、生成子空間、余子空間；之后，給出了判斷兩個子空間及多個子空間的和為直接和的若干方法。其次介紹歐幾里德空間中的正交子空間，及歐氏空間分解成子空間及其正交子空間的直接和。最后介紹線性變換下的不變子空間，主要討論向量空間的直接和分解問題。可以將向量空間分解成特征子空間的直接和，也可在特殊數域下將其分解成根子空間的直接和，根子空間還可分解為循環子空間的直接和。

關鍵詞：子空間；直接和；向量空間；分解

中圖分類號：TP11 文獻標識碼：A 文章編號：1674-7712 （2014） 20-0000-01

一、向量空間中的子空間

（一）子空間定義

V為數域F上的一個向量空間，W是數域F上V的一個非空子集，如果W對于V的加法以及標量乘法是封閉的，那么就稱W是V的一個子空間。

（二）各種子空間

1.交空間

設W1和W2都是數域F上的向量空間V的兩個子空間， 叫做W1和W2的交空間。

2.和空間

如果W1、W2是V的子空間，那么他們的和W1+W2={u+v|u∈W1，v∈W2}叫做W1和W2的和空間。

3.生成子空間

設V是數域F上的一個向量空間，u1，u2，…，un∈V.u1，u2，…，un的一切線性組合作成V的一個子空間。記為L（u1，u2，…，un）。

4.余子空間

設W是向量空間V的一個子空間，V的子空間W'叫做W的一個余子空間，如果（1）V=W+W'；（ ；就說V是子空間W與W'的直和。

（三）兩個子空間的直接和

若W中每個向量w表示成：w=u+v，u∈W1，v∈W2的表示方法唯一，則說W是W1 W2的直接和。記為

如何證明 呢？下面給出五種方法：

方法一 利用定義。

方法二 利用零向量表法唯一

方法三 利用交空間為零空間

方法四 dim（W）=dim（W1）+dim（W2）

方法五 利用W1的每一個基底與W2的每一個基底合起來構成W的基底

（四）多個子空間的直接和

二、歐幾里德空間中的正交子空間

設V1，V2是歐幾里德空間V中兩個子空間，如果對任意的α∈V1，β∈V2，恒有，（α，β）=0，則稱V1，V2為正交的，記為V1⊥V2。

（一）正交子空間

設u是歐氏空間V的一個向量，那么V中所有與u正交的向量構成V的子空間，稱為u的正交子空間，記為u⊥。

設S是歐氏空間V的一個子空間，那么V中所有與S中每個向量均正交的向量構成V的一個子空間，稱為S的正交子空間，記為S⊥。

定理1 如果子空間V1，V2，…，Vs兩兩正交，那么和V1+V2+…+Vs是直接和。

（二）歐氏空間V分解成子空間及其正交子空間的直接和

定理2 設S是n維歐氏空間V的一個子空間，那么必有 。[1]

三、線性變換下的不變子空間

（一）定義

設σ是數域F上向量空間V上的一個線性變換，W是V的一個子空間，如果 ，都有σ（u）α∈W，則稱W為σ的不變子空間。

（二）向量空間的直和分解

定理3 如果σ是數域F上的n維向量空間V上的線性變換，那么V能分解成σ的s個不變子空間W1，W2，…，Ws的直接和的充分必要條件是：σ能在V的某基底下對應一對角形分塊矩陣 ；

其中Ai為ni階方陣（i=1，2，…，s）。

（1）向量空間可分解成特征子空間的直接和；

（2）將向量空間可分解為根子空間的直接和；

（3）根子空間可分解成循環子空間的直接和。

綜上，設σ是復數域上的n（n≠0）維向量空間V上的線性變換，則V可分解成σ的根子空間的直接和，而每個根子空間又可分解成循環子空間的直接和。

參考文獻：

[1]張禾瑞.高等代數[M].北京：高等教育出版社，1975.

[2]北京大學數學系.高等代數[M].北京：高等教育出版社，1988.

[3]牛鳳文，原永久，杜現昆.高等代數[M].長春：吉林大學出版社，1985.

[4]李師正.高等代數解題方法與技巧[M].北京：高等教育出版社，1979.

作者簡介：谷亮（1983-），女，講師，研究方向：基礎數學。