淺談混沌的基本理論

摘 要：混沌無處不在，它普遍存在自然界中，它揭示了自然界和人類社會普遍存在的復(fù)雜性，它是一種確定的系統(tǒng)中出現(xiàn)的無規(guī)則運(yùn)動，其內(nèi)部遵循固有的確定的規(guī)律，研究混沌理論的目的就是找到貌似隨機(jī)的現(xiàn)象背后的規(guī)律性，研究利用這種規(guī)律性。

關(guān)鍵詞：混沌；基本；理論

中圖分類號：O415.6 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1674-7712 （2015） 02-0000-01

科學(xué)中的混沌（chaos）概念與日常生活語言中的理解不同，它是一種確定的系統(tǒng)中出現(xiàn)的無規(guī)則運(yùn)動。混沌看似無規(guī)則、似隨機(jī)，但又不是完全隨機(jī)的，其內(nèi)部遵循固有的確定的規(guī)律。

一、混沌的定義

混沌的原意是指無序和混亂的狀態(tài)。它[1]表面上看起來無規(guī)律、不可預(yù)測，實(shí)際上有它自己的規(guī)律可循。它是一種貌似隨機(jī)的運(yùn)動，60年代，混沌學(xué)作為一門新興學(xué)科悄然興起，滲透到物理學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)、氣象學(xué)等多種領(lǐng)域。其行為表現(xiàn)為不可確定、不可重復(fù)、不可預(yù)測，這就是混沌現(xiàn)象。混沌是非線性動力學(xué)系統(tǒng)的固有特性，是非線性系統(tǒng)普遍存在的現(xiàn)象。

（一）數(shù)學(xué)上的定義

1975年，李天巖和約克首先提出混沌一詞，并給出數(shù)學(xué)上的定義，現(xiàn)在稱為Li-Yorke定義。

Li-Yorke定義： 是區(qū)間 上的連續(xù)自映射，確定它是否有混沌現(xiàn)象，關(guān)鍵看是否滿足如下條件：

（1） 的周期點(diǎn)的周期無上界；（2）存在不可數(shù)子集S，S不含周期點(diǎn)，滿足：

根據(jù)上述定理和定義，連續(xù)函數(shù) 在閉區(qū)間I上如果存在一個周期為3的周期點(diǎn)時，就一定存在任何正整數(shù)的周期點(diǎn)，即一定出現(xiàn)混沌現(xiàn)象。

（二）物理學(xué)上的定義

數(shù)學(xué)上的定義對于非研究者來說很難理解，需要給出一個具有普遍性和適用性的定義，為大多數(shù)人所理解和接受。因此，給出了依賴于混沌現(xiàn)象的物理學(xué)定義，所謂混沌是指具有以下現(xiàn)象的行為：（1）對初始條件極端敏感性；（2）非周期性；（3）確定性；（4）有界性。

二、混沌的基本特征

混沌運(yùn)動是非線性確定性[2]系統(tǒng)中產(chǎn)生的極其復(fù)雜的現(xiàn)象，它與通常概念下的運(yùn)動狀態(tài)不同，它被限制在有限區(qū)域內(nèi)，運(yùn)動軌跡永不重復(fù)，永不相交，運(yùn)動形態(tài)復(fù)雜。與其他系統(tǒng)相比較，混沌系統(tǒng)具有自己獨(dú)有的特征：

（一）初值敏感性

對初始值敏感是混沌系統(tǒng)的典型特征，初值稍有偏差或微小的變化，經(jīng)過很長的時間后，最終系統(tǒng)的狀態(tài)可能相差甚遠(yuǎn)，隨著時間的推移，其差異將會變得越來越大，從這一點(diǎn)可以看出，混沌系統(tǒng)經(jīng)過長期演化其運(yùn)動軌跡是難以預(yù)測和估計(jì)的。

（二）內(nèi)隨機(jī)性

隨機(jī)性指的是不規(guī)則的、不能預(yù)測的行為，有外隨機(jī)性和內(nèi)隨機(jī)性兩種。外隨機(jī)性來自于系統(tǒng)外部，它自身是不會出現(xiàn)隨機(jī)性的。內(nèi)隨機(jī)性是確定性系統(tǒng)產(chǎn)生的混沌現(xiàn)象，它來自于系統(tǒng)內(nèi)部，而與外在因素?zé)o關(guān)。

（三）確定性

混沌是由確定性系統(tǒng)產(chǎn)生的，是一種貌似隨機(jī)的確定性行為。混沌系統(tǒng)表面上看是隨機(jī)的，無法預(yù)見的，實(shí)質(zhì)上混沌是有規(guī)律可循的，在將來的某一時刻系統(tǒng)是確定的而不是隨機(jī)的，我們可以按照某種規(guī)則預(yù)測系統(tǒng)的某一時刻的行為。

（四）遍歷性和有界性

遍歷性是指混沌運(yùn)動歷經(jīng)混沌吸引域內(nèi)所有各點(diǎn)，其混沌軌跡永不重復(fù)，不紊亂。有界性是指混沌運(yùn)動的軌跡始終局限在混沌吸引域內(nèi)，這是一個確定的區(qū)域，是有界的。混沌的運(yùn)動軌跡始終在一個確定的區(qū)域里，看似有點(diǎn)亂，但有一定的規(guī)律性。

（五）分維性

在傳統(tǒng)的歐氏空間里，直線看成是一維的，平面看成是二維的，普通立體空間看成是三維的。混沌系統(tǒng)在相空間中的運(yùn)動軌跡是在某個有限區(qū)間內(nèi)無限次折疊和拉伸，其運(yùn)動狀態(tài)具有豐富的層次和自相似性結(jié)構(gòu)。混沌運(yùn)動不同于一般的確定性運(yùn)動，無法用一般的幾何用語來表示，這種無限次的折疊與拉伸正好可以用分?jǐn)?shù)維來表示，分維性刻畫了混沌系統(tǒng)自相似結(jié)構(gòu)的運(yùn)動形態(tài)。

（六）普適性

混沌運(yùn)動是非周期的、不規(guī)則運(yùn)動，是另一種類型的有序運(yùn)動，當(dāng)系統(tǒng)[3]處于混沌狀態(tài)時，所表現(xiàn)出來的特征具有普遍性和適用性。其特征不因具體系統(tǒng)的不同和系統(tǒng)運(yùn)動方程的差異而變化。

三、混沌行為的判據(jù)

混沌的判別有定性分析和定量分析兩種。定性分析是用混沌吸引子和功率譜等做定性分析來判斷系統(tǒng)是否是混沌的。定量分析是定量計(jì)算李雅普諾夫指數(shù)，根據(jù)李雅普諾夫指數(shù)的值來判斷系統(tǒng)是否產(chǎn)生了混沌現(xiàn)象。

（一）奇異吸引子

奇異吸引子是混沌運(yùn)動的主要特征之一，它具有不斷拉伸、折疊的多層次自相似的結(jié)構(gòu)。

（二）Lyapunov指數(shù)

混沌運(yùn)動的最主要特征就是對初始條件具有高度的敏感性，只要初始條件有細(xì)微的變化，兩個距離很近的兩條軌線隨著時間的演化將會按指數(shù)規(guī)律發(fā)生變化。Lyapunov （李雅普諾夫）指數(shù)定量的描述這一現(xiàn)象的重要參數(shù)。

（三）連續(xù)功率譜

對于周期運(yùn)動的功率譜，尖峰只在基頻及其倍頻處出現(xiàn)，準(zhǔn)周期對應(yīng)的功率譜尖峰出現(xiàn)在幾個不可約的基頻以及它們疊加所在頻率處，發(fā)生倍周期分岔時，功率譜將出現(xiàn)分頻和倍頻，在這些頻率點(diǎn)上也會出現(xiàn)尖峰。而混沌運(yùn)動是非周期的，所以其功率譜是連續(xù)的。在倍周期分岔過程中，每分岔一次，功率譜中就會有一批相對應(yīng)的新分頻及倍頻的峰出現(xiàn)，所以混沌信號的功率譜不是平滑的，即功率譜中出現(xiàn)了噪聲背景的尖峰，這與具不同。

除了上述之外，混沌行為的判據(jù)[5]還有分形有連續(xù)平坦的功率譜的白噪聲維數(shù)法、測度熵法等。在實(shí)際應(yīng)用中，為了使獲得的結(jié)果更準(zhǔn)確，往往不是單純的采用一種方法，而是采用定性分析和定量分析相結(jié)合的方法來研究系統(tǒng)狀態(tài)。

四、結(jié)束語

本問對混沌的定義，混沌的主要特征及混沌行為的判據(jù)進(jìn)行了簡單的介紹，為了獲得準(zhǔn)確的結(jié)果，通常把幾種混沌行為判據(jù)方法相結(jié)合來研究混沌狀態(tài)，使更多的人們了解混沌。

參考文獻(xiàn)：

[1]顧勤龍.混沌理論及其在信息安全和優(yōu)化中的應(yīng)用研究[D].浙江工業(yè)大學(xué)，2003.

[2]高敏.擴(kuò)頻序列超混沌保密通信系統(tǒng)研究[D].長春理工大學(xué)，2006.